資源簡介

3.2　空間向量運算的坐標表示及應用
第1課時　空間向量運算的坐標表示及平行(共線)和垂直的條件
【學習目標】
　　1.掌握空間向量的線性運算及數量積的坐標表示.
　　2.會判斷兩個向量的共線或垂直,并能運用這些知識解決一些相關問題.
◆ 知識點一　空間向量的坐標
1.在空間直角坐標系O-xyz中,分別沿x軸、y軸、z軸正方向作單位向量i,j,k,這三個互相垂直的單位向量就構成空間向量的一組基{i,j,k},這組基叫作　　　　　　.且對于任意一個向量p,都存在唯一的三元有序實數組(x,y,z),使得　　　　　　.
2.把三元有序實數組(x,y,z)叫作向量p在標準正交基{i,j,k}下的坐標,記作　　　　　　.
3.一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標,即:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則=　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)(x,y,z)既可以表示向量,也可以表示點.(　 )
(2)已知 x軸、y軸、z軸正方向的單位向量分別為i,j,k,若a=i+2j+3k,則向量a的坐標為(1,2,3). (　 )
(3)若A(0,1,2),B(1,0,1),則向量的坐標為(-1,1,1). (　 )
◆ 知識點二　空間向量運算的坐標表示
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則
加法 a+b=　　　　　　　
減法 a-b=　　　　　　　
數乘 λa=　　　　　　　　,λ∈R
數量積 a·b=　　　　　　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)已知向量a=(1,-1,-2),b=(-4,2,0),則a+b=(3,-1,2). (　 )
(2)已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),則向量2a-3b+4c的坐標為(16,0,19). (　 )
◆ 知識點三　空間向量平行(共線)和垂直的條件
若b≠0,a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則
共線 a∥b 　　　　 　　　　　　　(λ∈R)
垂直 a⊥b 　　　　 　　　　　　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)在空間直角坐標系中,向量的坐標與終點B的坐標相同. (　 )
(2)設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)且b≠0,若a∥b,則==. (　 )
(3)若四邊形ABCD是平行四邊形,則與的坐標相同. (　 )
◆ 探究點一　空間向量的坐標
例1 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分別為A1B1,A1A的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系,求:
(1)點B,C1,B1,M,N的坐標;
(2)向量,,的坐標.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)在空間直角坐標系O-xyz中,已知點A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且=2a,則點B的坐標為 (　 )
A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24)
C.(-6,8,24) D.(-5,6,24)
(2)如圖,以長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點D為坐標原點,過D的三條棱所在的直線為坐標軸,建立空間直角坐標系,若的坐標為(4,3,1),則的坐標是　　　　.
[素養小結]
用坐標表示空間向量的步驟:
◆ 探究點二　空間向量的坐標運算
例2 設向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),計算2a+3b,3a-2b,a·b.
變式 (1)已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C為線段AB上一點,且=3,則點C的坐標為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,則實數λ=　　　　.
(3)已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·(2b)=-2,則實數x=　　　　.
[素養小結]
利用向量坐標運算解決問題的關鍵是熟記向量坐標運算的法則;進行向量坐標運算時,可以先代入坐標再運算,也可先進行向量式的化簡再代入坐標運算.
◆ 探究點三　空間向量平行(共線)和垂直的
條件
例3 已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若a⊥b,則x=　　　　;若a∥b,則x=　　　　.
變式 (1)[2024·浙江寧波高二期中] 點A(1,2,1),B(3,3,2),C(1,4,3),若D在線段AB上,且滿足CD⊥AB,則點D的坐標為　　　　.
(2)已知空間向量a=(1,0,1),b=(2,-1,0),c=(λ+4,-λ,λ).
①若(a+b)∥c,求λ;
②若ka+b與2a-b相互垂直,求k.
[素養小結]
判斷空間向量是否平行(共線)或垂直,可以利用平行(共線)或垂直的充要條件;已知兩個向量平行(共線)或垂直求參數值,可以利用平行(共線)或垂直的充要條件列方程(組)求解.
3.2　空間向量運算的坐標表示及應用
第1課時　空間向量運算的坐標表示及平行(共線)和垂直的條件
【課前預習】
知識點一
1.標準正交基　p=xi+yj+zk
2.p=(x,y,z)　3.(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
診斷分析 (1)√　(2)√　(3)×
知識點二
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)　(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
(λx1,λy1,λz1)　x1x2+y1y2+z1z2
診斷分析 (1)×　(2)×
知識點三
a=λb　x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2　a·b=0
x1x2+y1y2+z1z2=0
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√
【課中探究】
例1　解:(1)∵CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分別為A1B1,A1A的中點,∴B(0,1,0),C1(0,0,2),B1(0,1,2),M,N(1,0,1).
(2)由(1)知B(0,1,0),N(1,0,1),A1(1,0,2),
∴=(1,-1,1),=(1,-1,2),=(-1,1,-2).
變式　(1)D　(2)(-4,3,1)　[解析] (1)∵a=(-3,4,12),且=2a,∴=(-6,8,24),∵A(1,-2,0),∴點B的坐標是(-5,6,24),故選D.
(2)因為=(4,3,1),D為坐標原點,所以B1(4,3,1),又因為幾何體ABCD-A1B1C1D1為長方體,所以A(4,0,0),C1(0,3,1),所以=(-4,3,1).
例2　解:2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16).
3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).a·b=3×2+5×1+(-4)×8=-21.
變式　(1)C　(2)　(3)-8　[解析] (1)設C(x,y,z),則=(x-4,y-1,z-3).∵=(-2,-6,-2),=3,∴(-2,-6,-2)=(3x-12,3y-3,3z-9),∴解得∴點C的坐標為.
(2)因為向量a,b,c共面,所以存在x,y∈R,使得c=xa+yb,即解得
(3)由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以(c+a)·(2b)=4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.
例3　　-6　[解析] 若a⊥b,則a·b=-8-2+3x=0,得x=.若a∥b,則==,得x=-6.
變式　(1)　[解析] 設D(x,y,z),則=(x-1,y-4,z-3),=(2,1,1),=(x-1,y-2,z-1),因為D在線段AB上,且滿足CD⊥AB,所以即解得所以點D的坐標為.
(2)解:①∵a+b=(3,-1,1),(a+b)∥c,∴(a+b)=μc,μ∈R,即3=μ(λ+4),且-1=-μλ,1=μλ,解得λ=2,μ=.
②∵ka+b=(k+2,-1,k),2a-b=(0,1,2),ka+b與2a-b互相垂直,∴(ka+b)·(2a-b)=2k-1=0,解得k=.

展開更多......

收起↑