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4.3　用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的度量關系(一)
【學習目標】
　　1.能用向量方法解決異面直線的夾角、直線與平面的夾角問題.
　　2.體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
◆ 知識點一　兩條直線的夾角
1.當兩條直線a與b相交時,我們把兩條直線交角中范圍在　　　　內的角叫作兩條直線的夾角.
當兩條直線平行時,規定它們的夾角為　　　;
當兩條直線a與b是異面直線時,在空間任取一點O,過點O作直線a'和b',使得a'∥a,b'∥b,把a',b'的夾角叫作異面直線a與b的夾角.
2.若向量a,b分別為直線a,b的方向向量,則直線a與b的夾角θ∈ 　　　　,
且cos θ=　　　　　　　　.
◆ 知識點二　直線與平面的夾角
1.平面的一條斜線和它在平面內的投影所成的　　　　就是這條直線與這個平面的夾角;
當一條直線與一個平面平行或在這個平面內時,規定這條直線與這個平面的夾角為　　　　;
當一條直線與一個平面垂直時,規定這條直線與這個平面的夾角為　　　　.
2.直線與平面的夾角和直線與平面的垂線的夾角　　　　;
設向量l為直線l的一個方向向量,n是平面α的一個法向量,則直線l與平面α的夾角θ∈　　　　,且　　　　=|cos|=.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)異面直線的夾角與其方向向量的夾角相等. (　 )
(2)直線與平面的夾角等于直線與平面的垂線的夾角. (　 )
(3)直線與平面夾角的正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值. (　 )
◆ 探究點一　兩條直線的夾角
例1 (1)已知正四棱錐S-ABCD的側棱長與底面邊長都相等,E是SB的中點,則異面直線AE,SD夾角的余弦值為　　　　.
(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,則異面直線AB1與C1B夾角的大小為　　　　.
(3)在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等邊三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=AB,N,M分別是A1B1,A1C1的中點,則直線AM與BN的夾角的余弦值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
變式 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,動點P在體對角線BD1上,記=λ(0≤λ≤1).
(1)求證:AP⊥B1C;
(2)若異面直線AP與D1B1的夾角為,求λ的值.
[素養小結]
若與分別為a,b的方向向量,用向量法求異面直線的夾角θ時,空間兩條直線的夾角θ與兩個方向向量的夾角相等或互補,則cos θ=,θ∈.
◆ 探究點二　直線與平面的夾角
例2 (1)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四邊形ABCD為正方形,且PD=AB=1,G為△ABC的重心,則PG與底面ABCD夾角的余弦值為　　　　.
(2)[2024·河南洛陽高二期末] 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=3,AB=2,Q為側棱AA1上的點,且AQ=2,點M,N分別為AB,A1C1的中點.
①求異面直線MN與QC1夾角的余弦值;
②求直線MN與平面AA1B1B夾角的正弦值.
變式 [2024·浙江杭州高二期中] 如圖,在三棱錐S-ABC中,SC⊥平面ABC,點P,M分別是SC和SB的中點,設PM=AC=1,∠ACB=90°,直線AM與直線SC的夾角為60°.
(1)求SC的長;
(2)求直線CM與平面AMP的夾角的正弦值.
[素養小結]
向量法求線面角的一般步驟:
(1)分析所給的位置關系,建立空間直角坐標系;
(2)求出直線的方向向量s和平面的法向量n;
(3)求出夾角;
(4)判斷直線和平面的夾角θ和的關系,求出角θ.
4.3　用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的度量關系(一)
【課前預習】
知識點一
1.　0　2.　|cos|=
知識點二
1.銳角　0　　2.互余　　sin θ
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)×
【課中探究】
例1　(1)　(2)90°　(3)C
[解析] (1)記底面ABCD的中心為O,建立如圖所示的空間直角坐標系,設正四棱錐的棱長為2,則A(1,-1,0),D(-1,-1,0),S(0,0,),E,∴=,=(-1,-1,-),設AE與SD的夾角為θ,則cos θ=|cos<,>|==,∴異面直線AE,SD夾角的余弦值為.
(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,設BB1=1,則A(0,0,1),B1,C1(0,,0),B.可得=,=,∴·=--1=0,∴⊥,即異面直線AB1與C1B夾角的大小為90°.
(3)如圖所示,取AC的中點D,以D為原點,以BD,DC,DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,不妨設AC=2,則A(0,-1,0),M(0,0,2),B(-,0,0),N,所以=(0,1,2),=,所以cos<,>====,故選C.
變式　解:(1)證明:如圖,連接BC1,AD1.
由已知可得,AB⊥平面BCC1B1,B1C 平面BCC1B1,所以AB⊥B1C,又四邊形BCC1B1是正方形,所以B1C⊥BC1,
又BC1 平面ABC1D1,AB 平面ABC1D1,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1,
又動點P在體對角線BD1上,所以P∈平面ABC1D1,所以AP 平面ABC1D1,
所以AP⊥B1C.
(2)以C為坐標原點,分別以CD,CB,CC1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
設CD=1,則B(0,1,0),D1(1,0,1),B1(0,1,1),A(1,1,0),
則=(-1,1,-1),=(-1,1,0),||=.
由=λ,可得=λ,設點P(x0,y0,z0),則=(x0-1,y0,z0-1),
所以所以即P(-λ+1,λ,-λ+1),所以=(-λ,λ-1,-λ+1),
||==.
又異面直線AP與D1B1的夾角為,所以|cos<,>|=cos=,即|cos<,>|====,整理可得λ2=1,因為0≤λ≤1,所以λ=1,即點P位于點B處時,滿足條件.
例2　(1)　[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系,則P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以G,=,因為平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,即與平面ABCD的一個法向量夾角的余弦值為-,所以PG與底面ABCD夾角的余弦值為=.
(2)解:①取A1B1的中點D,連接MD,MC,由正三棱柱的性質可知AA1⊥平面ABC,又AA1∥MD,
所以MD⊥平面ABC.
因為△ABC為正三角形,M為AB的中點,所以MC⊥AB.
可得MB,MC,MD兩兩垂直,
以M為原點,MB,MC,MD所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則M(0,0,0),N,C1(0,,3),Q(-1,0,2),
所以=,=(1,,1).
因為cos<,>===,
所以異面直線MN與QC1夾角的余弦值為.
②易知平面AA1B1B的一個法向量為n=(0,1,0),
則cos<,n>===.
設直線MN與平面AA1B1B的夾角為θ,
則sin θ=|cos<,n>|=,
即直線MN與平面AA1B1B夾角的正弦值為.
變式　解:(1)由題意可知,SC⊥平面ABC,且∠ACB=90°,
如圖,以C為坐標原點,以AC,BC,SC所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.
設SC=2a,則A(1,0,0),C(0,0,0),S(0,0,2a),M(0,1,a),P(0,0,a),可得=(-1,1,a),=(0,0,2a),由題意可得,|cos<,>|=
==,解得a=,
所以SC=2a=.
(2)由(1)可得,=,=(0,1,0),=,設平面AMP的法向量為n=(x,y,z),則令x=,則y=0,z=,可得n=(,0,),則cos===,所以直線CM與平面AMP的夾角的正弦值為.

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