資源簡(jiǎn)介

第三章　空間向量與立體幾何
§1　空間直角坐標(biāo)系
1.1　點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)
1.2　空間兩點(diǎn)間的距離公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.會(huì)表示空間中點(diǎn)的坐標(biāo).
　　2.能利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式表示空間中的距離.
【課前預(yù)習(xí)】
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　空間直角坐標(biāo)系
1.如圖,過空間任意一點(diǎn)O,作三條兩兩垂直的直線,并以點(diǎn)O為原點(diǎn),在三條直線上分別建立數(shù)軸:x軸、y軸和z軸,這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz.點(diǎn)O叫作　　　,x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)叫作　　　,通過每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫作　　　　　,分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2.一般是將x軸和y軸放置在水平面上,那么z軸就垂直于水平面.它們的方向通常符合　　　　　　　,即伸出右手,讓四指與大拇指垂直,并使四指先指向x軸正方向,然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)90°指向y軸正方向,此時(shí)大拇指的指向即為z軸正方向.我們也稱這樣的坐標(biāo)系為　　　　(如圖).
【診斷分析】 1.是否任意三條直線均可建立空間直角坐標(biāo)系
2.一個(gè)確定的空間直角坐標(biāo)系,可以組成幾個(gè)坐標(biāo)平面
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系中,對(duì)于空間任意一點(diǎn)P,都可以用唯一的一個(gè)三元有序?qū)崝?shù)組
　　　　來表示;反之,對(duì)于任意給定的一個(gè)三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),都可以確定空間中的一個(gè)點(diǎn)P(如圖).這樣,在空間直角坐標(biāo)系中,任意一點(diǎn)P與三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)之間,就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系:P (x,y,z).三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作點(diǎn)P在此空間直角坐標(biāo)系中的　　　　,記作P(x,y,z),其中x叫作點(diǎn)P的　　　　,y叫作點(diǎn)P的　　　　,z叫作點(diǎn)P的　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)在空間直角坐標(biāo)系中x軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=0,豎坐標(biāo)z=0. (　 )
(2)在空間直角坐標(biāo)系中xOz平面上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足z=0. (　 )
(3)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的縱、豎坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)相反. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　空間兩點(diǎn)間的距離公式
已知空間中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)兩點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的距離為　　　　　　　　　　.這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式.
【診斷分析】 1.空間兩點(diǎn)間的距離公式與平面兩點(diǎn)間的距離公式有何異同
2.方程(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=9表示什么圖形
【課中探究】
◆ 探究點(diǎn)一　點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)
例1 (1)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,點(diǎn)E在CC1上,且C1E=3EC.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(0,2,0)
B.(0,2,2)
C.(0,2,1)
D.(2,2,1)
(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn),正方體的棱長(zhǎng)為1.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)E,F的坐標(biāo).
變式 (1)(多選題)下列關(guān)于空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的一點(diǎn)P(1,2,3)的說法正確的有 (　 )
A.線段OP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為
B.點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-2,-3)
C.點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3)
D.點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3)
(2)討論滿足下列條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y,z)的特征:
①點(diǎn)P在坐標(biāo)平面上;
②點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上.
[素養(yǎng)小結(jié)]
1.已知空間中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)兩點(diǎn),則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
2.點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于yOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于zOx平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y,z).
◆ 探究點(diǎn)二　空間兩點(diǎn)間的距離公式
例2 (1)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,已知點(diǎn)A(1,2,2),則OA=　　　　,點(diǎn)A到y(tǒng)Oz平面的距離是　　　　.
(2)(多選題)已知點(diǎn)A(-2,3,4),若在z軸上有一點(diǎn)B,使AB=7,則點(diǎn)B的坐標(biāo)可能為 (　 )
A.(0,0,10) B.(0,10,0)
C.(0,0,-2) D.(0,0,2)
變式 (1)滿足(x-1)2+(y+1)2+(z-2)2=3的所有點(diǎn)(x,y,z)構(gòu)成的幾何圖形是 (　 )
A.以點(diǎn)(1,-1,2)為球心,以3為半徑的球面
B.以點(diǎn)(1,-1,2)為球心,以為半徑的球面
C.以點(diǎn)(-1,1,-2)為球心,以3為半徑的球面
D.以點(diǎn)(-1,1,-2)為球心,以為半徑的球面
(2)[2024·武漢高二期中] 一束光線自點(diǎn)P(-1,1,1)發(fā)出,被yOz平面反射后到達(dá)點(diǎn)Q(-3,3,3)被吸收,則光線所走的路程是 (　 )
A.2 B.6
C.2 D.4
[素養(yǎng)小結(jié)]
1.空間中點(diǎn)P(x,y,z)到xOy平面的距離為|z|;
空間中點(diǎn)P(x,y,z)到y(tǒng)Oz平面的距離為|x|;
空間中點(diǎn)P(x,y,z)到zOx平面的距離為|y|.
2.在求滿足條件的點(diǎn)時(shí),可以根據(jù)點(diǎn)所在的位置,通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),建立方程(組),解出未知數(shù),即可得到所要求的點(diǎn)的坐標(biāo).
◆ 探究點(diǎn)三　空間兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用
例3 已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),則△ABC是　　　　三角形.(填“等腰”“等邊”或“等腰直角”)
變式 (1)與A(3,4,5),B(-2,3,0)兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件是 (　 )
A.10x+2y+10z-37=0
B.5x-y+5z-37=0
C.10x-y+10z+37=0
D.10x-2y+10z+37=0
(2)已知空間直角坐標(biāo)系O-xyz中有一點(diǎn)A(-1,-1,2),點(diǎn)B是xOy平面內(nèi)的直線x+y=1上的動(dòng)點(diǎn),則A,B兩點(diǎn)間的距離的最小值是 (　 )
A. B. C.3 D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
空間兩點(diǎn)間的距離公式可以解決與距離有關(guān)的問題.解題的一般步驟是將題干中與距離有關(guān)的條件利用距離公式表示出來,通過化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化等步驟得到所需的結(jié)論,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸的思想.
第三章　空間向量與立體幾何
§1　空間直角坐標(biāo)系
1.1　點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)
1.2　空間兩點(diǎn)間的距離公式
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.坐標(biāo)原點(diǎn)　坐標(biāo)軸　坐標(biāo)平面
2.右手螺旋法則　右手系
診斷分析
1.解:不是.必須是兩兩垂直的三條直線才可建立空間直角坐標(biāo)系.
2.解:三個(gè).分別是xOy平面、yOz平面、zOx平面.
知識(shí)點(diǎn)二
(x,y,z)　坐標(biāo)　橫坐標(biāo)　縱坐標(biāo)　豎坐標(biāo)
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√
知識(shí)點(diǎn)三
PQ=
診斷分析
1.解:空間兩點(diǎn)間的距離公式和平面兩點(diǎn)間的距離公式都是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的差值平方和的平方根,只不過空間兩點(diǎn)間的距離公式多了豎坐標(biāo)之差的平方.
2.解:方程(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=9可以寫成=3,即表示點(diǎn)P(x,y,z)到點(diǎn)(1,1,1)的距離為定值3,故點(diǎn)P的軌跡為球面,即方程(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=9表示球面.
【課中探究】
例1　(1)C
(2)解:易知點(diǎn)E在xDy平面上的投影為點(diǎn)B,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1,0),又點(diǎn)E的豎坐標(biāo)為,所以E.連接BD,取BD的中點(diǎn)G,易知點(diǎn)F在xDy平面上的投影為點(diǎn)G,點(diǎn)G的坐標(biāo)為,又點(diǎn)F的豎坐標(biāo)為1,所以F.
變式　(1)AD　[解析] 由題意可知線段OP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以A中說法正確;點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2,-3),所以B中說法錯(cuò)誤;點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-2,-3),所以C中說法錯(cuò)誤;點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3),所以D中說法正確.故選AD.
(2)解:①若點(diǎn)P(x,y,z)在坐標(biāo)平面上,則x,y,z中至少有一個(gè)為0,可得xyz=0.
②若點(diǎn)P(x,y,z)在坐標(biāo)軸上,則x,y,z中至少有兩個(gè)為0.
例2　(1)3　1　(2)AC　[解析] (1)根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式得OA==3.∵點(diǎn)A(1,2,2),∴點(diǎn)A到y(tǒng)Oz平面的距離為1.
(2)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,0,c),由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得AB==7,解得c=-2或c=10,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,0,10)或(0,0,-2).故選AC.
變式　(1)B　(2)C　[解析] (1)由題意得=,該方程的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)(x,y,z)到定點(diǎn)(1,-1,2)的距離為,則動(dòng)點(diǎn)(x,y,z)構(gòu)成的幾何圖形是以點(diǎn)(1,-1,2)為球心,以為半徑的球面.故選B.
(2)點(diǎn)P(-1,1,1)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為M(1,1,1),則光線所走的路程是MQ==2.故選C.
例3　等腰　[解析] 由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得AB=,AC=,BC=,又AC2+BC2≠AB2,所以△ABC為等腰三角形.
變式　(1)A　(2)B　[解析] (1)由MA=MB,得(x-3)2+(y-4)2+(z-5)2=(x+2)2+(y-3)2+z2,化簡(jiǎn)得10x+2y+10z-37=0,故選A.
(2)設(shè)點(diǎn)B(x,1-x,0),因?yàn)辄c(diǎn)A(-1,-1,2),所以AB===≥,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即點(diǎn)B時(shí)取等號(hào),所以A,B兩點(diǎn)間的距離的最小值是.故選B.

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