資源簡介

第2課時　空間向量的數量積
【學習目標】
　　1.了解空間向量夾角的相關概念及表示方法.
　　2.掌握兩個向量的數量積的概念、性質、計算與運算律.
　　3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.
　　4.能初步運用數量積解決空間中的垂直、夾角及距離問題.
【課前預習】
◆ 知識點一　兩個向量的夾角
1.概念:如圖,已知兩個非零向量a,b,在空間中任取一點O,作=a,=b,則∠AOB叫作向量a與b的　　　　,記作　　　　.
2.夾角的取值范圍:a與b的夾角的取值范圍是　　　　,其中當=0時,a與b方向　　　　;當=π時,a與b方向　　　;當=時,稱a與b　　　　　　,記作a⊥b.反之,若a∥b,則=0或π;若a⊥b,則=.
3.(1)=;
(2)規定:零向量與任意向量垂直.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)向量與的夾角等于向量與的夾角. (　 )
(2)若向量與的夾角為α,則直線AB與CD的夾角也為α. (　 )
◆ 知識點二　兩個向量的數量積
1.概念:已知兩個空間向量a,b,把　　　　　叫作a與b的數量積,記作a·b,即a·b=　　　　　　　.
2.空間向量數量積的性質
(1)cos=(a≠0,b≠0).
(2)|a|=　　　　　.
(3)a⊥b a·b=　　　　.
3.空間向量數量積的運算律
(1)a·b=　　　　(交換律).
(2)a·(b+c)=　　　　　　(分配律).
(3)(λa)·b=　　　　,λ∈R.
注:不滿足結合律(a·b)·c=a·(b·c).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)對于向量a,b,若a·b=0,則一定有a=0或b=0. (　 )
(2)對于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c. (　 )
(3)若a·b<0,則是鈍角. (　 )
(4)對于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c). (　 )
◆ 知識點三　投影向量與投影數量
1.投影向量的概念
如圖,已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作=a,=b,過點B作直線OA的垂線,垂足為點B1,稱向量為向量b在向量a方向上的　　　　,其長度等于　　　　　　.
當為銳角時,|b|cos 　　　　(如圖(1));
當為鈍角時,|b|cos　　　　(如圖(2));
當=時,|b|cos　　　　(如圖(3)).
2.投影數量的概念
若用a0表示與向量a(a≠0)同方向的單位向量,則向量b在向量a方向上的投影向量為=|b|cosa0.
因此,稱|b|cos為投影向量的　　　,也稱為向量b在向量a方向上的　　　　.
3.向量b在向量a方向上的投影數量為|b|cos=　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
已知e1,e2是夾角為60°的兩個單位向量,則向量e1在向量e2方向上的投影向量為e1. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點一　空間向量的數量積運算
例1 (1)(多選題)設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則有 (　 )
A.·=-a2
B.·=a2
C.·=a2
D.·=a2
(2)如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,
∠BAA1=60°,E為棱C1D1的中點,則·=　　　　.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 如圖,在各棱長都為2的四面體ABCD中, =,=2,則·= (　 )
A.- 　　　　B.
C.- 　　　　D.
[素養小結]
(1)空間向量數量積運算的兩種方法:
①利用a·b=|a||b|cos并結合運算律進行計算.
②先將各向量移到同一起點,利用圖形尋找夾角,再代入數量積公式進行運算.
(2)在幾何體中求空間向量數量積的步驟:
①首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.
②利用向量的運算律將數量積展開,轉化為已知模和夾角的向量的數量積.
③代入a·b=|a||b|cos求解.
◆ 探究點二　空間向量數量積的應用
例2 (1)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,且各棱長均相等,E是PB的中點,則異面直線AE與BD夾角的余弦值為 (　 )
A.1 B. C. D.
(2)如圖,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=
∠BAD=,AB=AD=1,A1A=3,點M滿足3=,求BD1的長度.
變式 (1)已知四邊形ABCD為矩形(AB≠BC),PA⊥平面ABCD,連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數量積不為零的是 (　 )
A.與 B.與
C.與 D.與
(2)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2,AA1=3,∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=60°,則該平行六面體的體對角線AC1的長為(　 )
A. B.5
C.2 D.
(3)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,則cos<,>=　　　　.
[素養小結]
(1)求兩個向量的夾角:利用公式cos=求出cos,進而確定.
(2)求線段長度(兩點間的距離):①取此線段(以此兩點為端點的線段)對應的向量;②用其他已知夾角和模的向量表示該向量;③利用|a|=,計算出|a|,即得所求線段長度(兩點間的距離).
◆ 探究點三　投影向量與投影數量
例3 (1) 已知|a|=4,空間向量e為單位向量,=,則空間向量a在向量e方向上的投影數量為 (　 )
A.2 B.-2 C. - D.
(2)如圖所示,在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,AB=2.
①指出向量分別在,方向上的投影向量;
②求向量在方向上的投影數量.
變式 在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,則在向量上的投影向量為　　　　.(從“”“”“”“”“”“”中選填)
[素養小結]
(1)求投影向量的方法
①依據投影向量的定義和平面幾何知識作出恰當的垂線,直接得到投影向量.
②首先根據題意確定向量a的模、與b同向的單位向量e及兩向量a與b的夾角θ,然后依據公式|a|cos θ·e得到a在b方向上的投影向量.
(2)a在b方向上的投影數量為|a|cos=.
第2課時　空間向量的數量積
【課前預習】
知識點一
1.夾角　　2.[0,π]　相同　相反　互相垂直
診斷分析 (1)×　(2)×
知識點二
1.|a||b|cos　|a||b|cos　2.(2)　(3)0
3.(1)b·a　(2)a·b+a·c　(3)λ(a·b)
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×
知識點三
1.投影向量　||b|cos|　>0　<0　=0
2.數量　投影數量　3.=a0·b
診斷分析 ×
【課中探究】
例1　(1)AC　(2)14　[解析] (1)·=·(++)=·=-a2,故A正確;·=·=·(+)=·=a2,故B錯誤;·=·(+)=·=a2,故C正確;·=·=·(+)=-·=-a2,故D錯誤.故選AC.
(2)由題易得=++,則·=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14.
變式　A　[解析] 由題得,的夾角,,的夾角,,的夾角均為.∵=,=2,∴=(+),=,∴=-=+-=+-=+(-)-=-+,∴·=(+)·=·--·+·+=×2×2×-×22-×2×2×+×2×2×+×22=-.故選A.
例2　(1)D　[解析] 設四棱錐P-ABCD的各條棱的長均為2,則BD=2,由E是PB的中點,得AE=,顯然,,不共面,=-,=(+),因為∠BAD=90°,∠PAD=∠PAB=60°,所以·=(-)·(+)=(·+·--·)=(2×2×cos 60°-22-2×2×cos 60°)=-2,則cos<,>===-,所以異面直線AE與BD夾角的余弦值為.故選D.
(2)解:因為=-+=-+,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,AB=AD=1,AA1=3,
所以=+++2·-2·-2·=1+1+9+3-3-1=10,故BD1=||=.
變式　(1)A　(2)A　(3)　[解析] (1)因為PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD,·=0,排除D.因為AD⊥AB,AD⊥PA,AB∩PA=A,所以AD⊥平面APB,又PB 平面APB,所以AD⊥PB,所以·=0,同理·=0,排除B,C.故選A.
(2)平行六面體ABCD-A1B1C1D1如圖所示,連接AC,由圖知=+,=+,∴=++,則=(++)2=+++2·+2·+2·,∵AB=2,AD=2,AA1=3,∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=60°,∴=4+4+9+4+6+6=33,故AC1=||=.故選A.
(3)∵CA=CB,∠BCA=90°,
∴∠ABC=45°,·=(+)·(+)=·+·+·+·,∵·=||||·cos(180°-∠ABC)=×1×cos 135°=-1,·=0,·=0,·=4,∴·=-1+0+0+4=3,又||·||=×=,∴cos<,>==.
例3　(1)B　[解析] 空間向量a在向量e方向上的投影數量為|a|cos=4×=-2.故選B.
(2)解:①連接A1E1,根據正六棱柱的性質,知DD1⊥AD,D1E1⊥平面A1E1EA,又AE1 平面A1E1EA,所以D1E1⊥AE1,所以向量在方向上的投影向量為,向量在方向上的投影向量為.
②向量在方向上的投影數量為||·cos∠E1AE=||=2.
變式　　[解析] 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,則BC⊥CD,BC∥AD,BC=AD,即=.由PD⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,得PD⊥BC,又PD∩CD=D,PD,CD 平面PCD,所以BC⊥平面PCD,又PC 平面PCD,所以BC⊥PC,故向量在向量上的投影向量為,所以向量在向量上的投影向量為.

展開更多......

收起↑