資源簡介

§2　空間向量與向量運算
2.1　從平面向量到空間向量2.2　空間向量的運算
第1課時　空間向量的概念及運算
【學習目標】
　　1.經歷由平面向量推廣到空間向量的過程,了解空間向量的概念.
　　2.經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程.
　　3.掌握空間向量的線性運算.
【課前預習】
◆ 知識點一　空間向量的相關概念
名稱 定義 注意事項
空間 向量 在空間中,具有　　　和　　　的量 ①幾何表示法:空間向量用　　　　表示,以點A為起點,點B為終點的有向線段可以表示一個向量,記作向量; ②字母表示法:用字母a,b,c,…表示,書寫用　　　　表示; ③圖形表示法:
(續表)
名稱 定義 注意事項
向量 的模 (長度) 空間向量a的　　　　,也就是表示向量a的有向線段AB的　　　　 可表示成　　　或　　　
零向量 模為　　　　的向量 記作　　　;零向量的起點與終點重合,方向為　　　
單位向量 模為　　　　的向量
相等向量 　　　　相同且模相等的向量叫作相等向量 數學中所研究的向量,與向量的起點無關,稱之為　　　
(續表)
名稱 定義 注意事項
相反 向量 與向量a方向　　　　且模　　　的向量 向量a的相反向量是　　
共線(平行)向量 當表示向量的兩條有向線段所在的直線平行或　　　　 時,稱這兩個向量互為共線向量(或平行向量) ①相等向量和相反向量都是共線向量的特殊情況; ②向量a、向量b、向量c互為共線向量,記作a∥b,　　　　　　; ③零向量與任意向量　　　
共面 向量 能平移到同一平面內的三個向量叫作　　　 空間中,任意兩個向量總是共面的
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當有向線段的起點A與終點B重合時,=0.(　 )
(2)在空間中,單位向量唯一. (　 )
(3)同平面向量一樣,任意兩個空間向量都不能比較大小. (　 )
(4)若向量a與b的模相等,則a=±b. (　 )
(5)在空間中,互為相反向量的兩個向量必共線. (　 )
◆ 知識點二　空間向量的線性運算
1.空間向量的自由性
空間中任意兩個向量都是共面向量,所以空間中涉及兩個向量的運算,都可以由　　　　　的運算推廣而來,而涉及三個向量的運算時,則需要結合具體情況進行分析.
2.空間向量的線性運算
運算 定義 法則(或幾 何意義) 運算律
加法 求空間向量　　的運算 　　　　法則 　　　　　法則 (1)加法交換律: a+b=　　　; (2)加法結合律: (a+b)+c=　　　　
(續表)
運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律
減法 與平面向量類似,空間向量a,b的差也可定義為　　　 　　　　法則 a-b=　　　
數乘 實數λ與空間向量a的乘積仍然是一個　　　,這種運算叫作空間向量的　　　　,記作　　　 (1)|λa|=　　　　. (2)當λ>0時,λa與a的方向　　　;當λ<0時,λa與a的方向　　　　;當λ=0時,λa=　　　　 (1)對數乘運算的結合律: λ(μa)=　; (2)對向量加法的分配律: λ(a+b)=　　　　; (3)對實數加法的分配律: (λ+μ)a=　　　　. 其中λ∈R,μ∈R
3.對于任意一個非零向量a,當λ=時,λa=表示與向量a同方向的　　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)向量的長度與向量的長度相等. (　 )
(2)若表示兩個相等空間向量的有向線段的起點相同,則終點也相同. (　 )
(3)零向量沒有方向. (　 )
2.對于三個不共面的向量a,b,c,在空間中取任意一點O,作=a,=b,=c,以OA,OB,OC為過同一頂點的三條棱作平行六面體,則a,b,c的和等于以O為起點的平行六面體的　　　　　　所表示的向量.
3.空間向量的加、減法運算與平面向量的加、減法運算是否相同 平面向量加、減法的運算律在空間向量中還適用嗎
◆ 知識點三　空間向量共線與共面的充要條件
1.共線向量基本定理(也稱“一維向量基本定理”)
空間兩個向量a,b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實數λ,使得　　　　.
2.共面向量定理
如果兩個向量a,b不共線,那么向量c與向量a,b共面的充要條件是存在唯一實數x,y,使得　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若p=xa+yb,則p與a,b共面. (　 )
(2)若p與a,b共面,則p=xa+yb. (　 )
(3)若a,b共線,則存在唯一實數λ,使得a=λb. (　 )
(4)若a=λb,則a,b共線. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點一　空間向量的相關概念
例1 (1)(多選題)[2024·成都高二期中] 下列說法正確的是 (　 )
A.零向量沒有方向
B.空間向量不能比較大小,空間向量的模可以比較大小
C.如果兩個向量不相等,那么它們的長度不相等
D.同向且等長的有向線段表示同一向量
(2)如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1,以該長方體的八個頂點中的兩個點為起點和終點的向量中,單位向量共有　　　　個,模為的所有向量為　　　　　　　　　　　　.
變式 (多選題)如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,則在以八個頂點中的兩個分別為起點和終點的向量中 (　 )
A.單位向量有8個
B.與相等的向量有3個
C.向量的相反向量有4個
D.向量,,共面
[素養小結]
解答空間向量有關概念問題的關鍵點及注意點:
(1)關鍵點:緊緊抓住向量的兩個要素,即模和方向.
(2)注意點:①零向量不是沒有方向,它的方向是任意的.②單位向量方向雖然不一定相同,但它們的長度都是1.③兩個向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若兩個向量相等,則它們不僅模相等,而且方向相同.若兩個向量的模相等,方向相反,則它們為相反向量.
◆ 探究點二　空間向量的加減法
例2 (1)在空間中,下列結論正確的是 (　 )
A.=+
B.=++
C.=+-
D.=+
(2)如圖,在四面體PABC中,--= (　 )
A. 　　　B.
C. 　　　D.
變式 已知平行六面體ABCD-A'B'C'D',則下列式子中正確的是　　　　.(填序號)
①-=;②=++;
③=;④+++=.
[素養小結]
空間向量線性運算的技巧:
(1)向量加、減法的三角形法則是解決空間向量加、減法運算的關鍵,靈活應用相反向量可使向量間首尾相接.
(2)利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的加法運算時,務必要注意和向量的方向,必要時可對空間向量自由平移進而獲得更準確的結果.
◆ 探究點三　空間向量的數乘運算
例3 (a+2b-3c)+3×-(a-2b+c)= (　 )
A.2a+b-2c
B.2a+b-2c
C.2a-b-2c
D.2a-b-2c　　　　　 　　　　　 　　　　　
例4 如圖,在四面體OABC中,=a,=b,=c,點M在棱OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,試用向量a,b,c表示.
變式 如圖,在四面體ABCD中,E,F分別為BC,AE的中點,G為△ACD的重心,則= (　 )
A.-++
B.-++
C.-+
D.+-
[素養小結]
(1)判斷向量共線的方法:利用已知條件找到實數λ,使a=λb(b≠0)成立,或運用空間向量的運算法則,結合空間圖形,化簡得出a=λb(b≠0),從而得出a與b共線.
(2)證明空間三點共線的思路:對于空間三點P,A,B,可通過證明下列結論來證明P,A,B三點共線.
①存在實數λ,使=λ成立.
②對空間任一點O,有=+t(t∈R).
③對空間任一點O,有=x+y(x+y=1).
§2　空間向量與向量運算
2.1　從平面向量到空間向量
2.2　空間向量的運算
第1課時　空間向量的概念及運算
【課前預習】
知識點一
大小　方向　有向線段　, , ,…　大小　長度　|a|
||　0　0　任意方向　1　方向　自由向量　相反　相等
-a　重合　a∥c,b∥c　平行　共面向量
診斷分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
知識點二
1.平面向量
2.和　三角形　平行四邊形　b+a　a+(b+c)　a+(-b)
三角形　a+(-b)　向量　數乘運算　λa　|λ||a|　相同
相反　0　(λμ)a　λa+λb　λa+μa
3.單位向量
診斷分析 1.(1)√　(2)√　(3)×　　2.體對角線
3.解:因為任意兩個空間向量都可以通過平移轉化到同一個平面內,所以任意兩個空間向量的運算可以轉化為平面向量的運算,由此可知,空間向量的加、減法運算與平面向量的加、減法運算相同.
平面向量加、減法的運算律在空間向量中同樣適用.
知識點三
1.a=λb　2.c=xa+yb
診斷分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√
【課中探究】
例1　(1)BD　(2)8　,,,,,,,
變式　ABC　[解析] 對于A,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,單位向量的模為1,則單位向量有,,,,,,,,共8個,故A正確;對于B,由圖可知,與相等的向量有,,,共3個,故B正確;對于C,由圖可知,向量的相反向量有,,,,共4個,故C正確;對于D,∵=,向量,,有一個公共點A1,點A1,B1,D1都在平面A1B1C1D1內,點A在平面A1B1C1D1外,∴向量,,不共面,故D錯誤.故選ABC.
例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)根據空間向量的加、減法運算可得B正確.
(2)--=---(-)=-=.故選C.
變式　①②③　[解析] -=+=,①正確;++=++=,②正確;③顯然正確;+++=++=,④錯誤.故填①②③.
例3　B　　[解析] 原式=a+3×a-a+2b-3×b+2b-3c+3×c-c=2a+b-2c.故選B.
例4　解:=++=a+(b-a)+(c-b)=-a+b+c.
變式　B　[解析] 因為E,F分別為BC,AE的中點,所以==(+).因為G為△ACD的重心,所以=(+),所以=-=(+)-(+)=-++.故選B.

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