資源簡介

§3　空間向量基本定理及空間向量運算的坐標表示
3.1　空間向量基本定理
【學習目標】
　　了解空間向量基本定理及其意義,并能用基本定理解決一些幾何問題.
◆ 知識點　空間向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面內兩個不共線的向量,那么對該平面內任意一個向量a,存在唯一的一對實數λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.空間向量基本定理
如果向量a,b,c是空間三個　　　　的向量, p是空間任意一個向量,那么存在
　　　　的三元有序實數組(x,y,z),使得　　　　　　,我們把{a,b,c}叫作空間的一組　　　　,a,b,c都叫作　　　　.空間任意三個　　　　的向量都可以構成空間的一組基.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)空間中的任何一個向量都可用三個給定的向量表示. (　 )
(2)若{a,b,c}為空間的一組基,則a,b,c全不是零向量. (　 )
(3)若向量a,b與任何向量都不能構成空間的一組基,則a與b一定共線. (　 )
◆ 探究點一　空間向量基本定理
角度1　一組基的判定
例1 (1)下列說法正確的是 (　 )
A.任何三個不共線的向量可以構成空間的一組基
B. 空間的基有且僅有一組
C. 兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一組基
D. 已知a∥b,則存在向量c可以與向量a,b構成空間的一組基
(2)已知{a,b,c}是空間的一組基,p=a+b,q=a-b,一定可以與向量p,q構成空間的另一組基的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a B.b
C.c D.p-2q
變式 (多選題)已知i,j,k是空間中三個向量,則下列說法中錯誤的是 (　 )
A.對于空間中的任意一個向量m,總存在實數x,y,z,使得m=xi+yj+zk
B.若i,j,k能構成空間的一組基,則i-3j,j+k,k-2i也能構成空間的一組基
C.若i⊥j,k⊥j,則i∥k
D.若i,j,k所在直線兩兩共面,則i,j,k共面
[素養小結]
一組基的判斷思路:判斷給出的三個空間向量能否構成空間的一組基,關鍵是要判斷這三個向量是否共面.首先應考慮三個向量中是否有零向量,其次判斷三個非零向量是否共面.如果從正面難以入手判斷,可假設三個向量共面,利用向量共面的充要條件建立方程,若方程的解唯一,則三個向量共面;否則,三個向量不共面.
角度2　用一組基表示空間向量
例2 如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設=a,=b,=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量:
(1);(2);(3)+.
變式 (1)如圖,在四面體ABCD中,點E,F分別是AB,CD的中點,點G是線段EF上靠近點E的三等分點,令=a,=b,=c,則= (　 )
A.a+b+c
B.a+b+c
C.a-b+c
D.a-b+c
(2)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,M是棱PC的中點,設=a,=b,=c.
①試用a,b,c表示向量;
②若AM交平面PBD于點N,用a,b,c表示向量.
[素養小結]
用一組基表示向量的步驟:
(1)定一組基:根據已知條件,確定三個不共面的向量構成空間的一組基.
(2)找目標:用確定的一組基(或已知一組基)表示目標向量,需要根據三角形法則及平行四邊形法則,結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡,最后求出結果.
(3)下結論:利用空間的一組基{a,b,c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底,結果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
◆ 探究點二　空間向量基本定理的應用
角度1　共線的判定和證明
例3 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E在A1D1上,且=2,點F在體對角線A1C上,且=.求證:E,F,B三點共線.
變式 在四面體OABC中,點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,若=++,則使G與M,N共線的x的值為 (　 )
A.1 B.2 C. D.
[素養小結]
用空間向量基本定理證明三點共線問題:首先將需要證明的三點表示成共端點的向量,再將該向量用同一組基表示出來,證明它們共線,再由共端點可得三點共線.
角度2　共面的判定和證明
例4 (1)[2024·湖北黃岡高二期中] 對空間任意一點O和不共線三點A,B,C,以下條件中能得到A,B,C,D四點共面的是 (　 )
A.=+2-3
B.=++
C.=2-2-
D.=+-
(2)[2024·河北保定高二期中] 如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點,點F滿足=m.若B,D,A1,F四點在同一個平面上,則m= (　 )
A. B. C. D.
變式 已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,用向量法證明:E,F,G,H四點共面.
[素養小結]
證明四點共面時,可以利用共面向量定理,把其中一個向量用另外兩個不共線的向量表示.
§3　空間向量基本定理及空間向量運算的坐標表示
3.1　空間向量基本定理
【課前預習】
知識點
2.不共面　唯一　p=xa+yb+zc　基　基向量　不共面
診斷分析 (1)×　(2)√　(3)√
【課中探究】
例1　(1)C　(2)C
變式　ACD　[解析] 對于A,由空間向量基本定理可知,只有當i,j,k不共面時,i,j,k才能構成空間的一組基,才能得到m=xi+yj+zk,故A中說法錯誤;對于B,若i,j,k能構成空間的一組基,則i,j,k不共面,設i-3j=λ(j+k)+μ(k-2i)=λj-2μi+(λ+μ)k,則易知該方程組無解,所以i-3j,j+k,k-2i也不共面,所以i-3j,j+k,k-2i也能構成空間的一組基,故B中說法正確;對于C,若i⊥j,k⊥j,則i,k不一定平行,故C中說法錯誤;對于D,若i,j,k所在直線兩兩共面,則i,j,k不一定共面,故D中說法錯誤.故選ACD.
例2　解:(1)∵P是C1D1的中點,∴=++=a++=a+c+=a+c+b.
(2)∵N是BC的中點,∴=++=-a+b+=-a+b+c.
(3)∵M是AA1的中點,∴=+=+=-a+=a+b+c,又=+=+=c+a,∴+=+=a+b+c.
變式　(1)A　[解析] 連接EC,ED,則=+=+=+×(+)=+(-+-)=++=×++=a+b+c.故選A.
(2)解:①由題意知=(+)=(-+)=(c-a+b)=-a+b+c.
②如圖,連接AC,與BD交于點O,連接PO,則平面PAC∩平面PBD=PO,
因為AM交平面PBD于點N,AM 平面PAC,所以PO∩AM=N.
因為底面ABCD是正方形,所以O為AC的中點,所以=+=+.因為A,N,M三點共線,所以設=λ(λ∈(0,1)),所以-=λ(-),所以=λ+(1-λ).因為P,N,O三點共線,所以設=μ(μ∈(0,1)),所以=μ+μ(μ∈(0,1)),所以μ+μ=λ+(1-λ).因為,不共線,所以解得μ=λ=,所以==(+)==a+b+c.
例3　證明:如圖,連接EF,FB,A1B.∵=-=-=(++)-=+-,=-=+-(++)=+-,∴=,∴∥.又與有公共點F,∴E,F,B三點共線.
變式　A　[解析] 由題意知=(+),=.因為G,M,N三點共線,所以存在實數λ使得=λ+(1-λ)=(+)+=++,又=++,所以解得故選A.
例4　(1)B　(2)B　[解析] (1)對于A選項,1+2-3=0≠1,故A不符合題意;對于B選項,++=1,故B符合題意;對于C選項,2-2-1=-1≠1,故C不符合題意;對于D選項,+-1=0≠1,故D不符合題意.故選B.
(2)設=a,=b,=c,則=++=a+b+c,可得=+=-a+m=(m-1)a+mb+c,由題意知=+=b-a,=+=c-a.因為B,D,A1,F四點共面,所以存在實數x,y,使=x+y,所以(m-1)a+mb+c=x(b-a)+y(c-a)=(-x-y)a+xb+yc,所以解得故選B.
變式　證明:連接BD,EF,FG,GH,EH,EG,E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,所以EH∥BD∥FG,且EH=FG=BD,則==,所以=+=+,即,,共面,又它們有公共點E,所以E,F,G,H四點共面.

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