資源簡介

第2課時　空間向量長度與夾角的坐標表示
【學習目標】
　　掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間的距離公式,并能運用這些知識解決一些相關問題.
◆ 知識點　空間向量的長度、夾角
若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則
向量長度 |a|==　　　　　　　
向量夾角公式 cos==　　　　　　　　　　　　(a≠0,b≠0)
空間兩點間的距離公式:設P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,則=　　　　　　,P1P2=||=　　　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)||=|+|=||+||. (　 )
(2)a·b>0 為銳角. (　 )
(3)與非零向量a同方向的單位向量為. (　 )
◆ 探究點一　空間向量的長度
例1 (1)已知a=(1,2,-3),b=(1,-4,0),則|a-b|=　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
(2)[2024·天津高二期中] 向量a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),a⊥b,則|2a+b|= (　 )
A.9 B.3 C.1 D.3
變式 已知x∈R,若a=(1+x,1,x),b=(0,2x,x),那么|a-b|的最小值為　　　　.
[素養小結]
求空間向量的長度要先找到空間向量的坐標,再根據公式求值,注意與空間兩點間的距離公式的聯系.
◆ 探究點二　空間向量的夾角
例2 (1)已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則與的夾角是 (　 )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
(2)已知{i,j,k}是空間向量的一組標準正交基,且=-i+j-k,=2i+j+k,則與夾角的余弦值為 (　 )
A. B.-
C. D.-
變式 (1)已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,則a與c的夾角為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)已知向量a=(2,-1,1),b=(1,2,t),若a與b的夾角為鈍角,則實數t的取值范圍為　　　　.
[素養小結]
1.利用空間向量的坐標運算求夾角的一般步驟:
(1)建系:根據題目中的幾何圖形建立恰當的空間直角坐標系.
(2)求坐標:①求出相關點的坐標;②寫出向量的坐標.
(3)論證、計算:結合公式進行論證、計算.
(4)轉化:轉化為夾角問題.
2.空間中兩向量的夾角的取值范圍為[0,π],空間中兩直線的夾角的取值范圍為.
◆ 探究點三　空間向量長度與夾角的綜合問題
例3 如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側棱SD⊥底面ABCD,E,F,G分別為AB,SC,SD的中點,AB=a,SD=b.
(1)求||;
(2)求cos<,>.
變式 若A(6,-1,4),B(1,-2,1),C(4,2,3),則△ABC的形狀是　　　　三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)
[素養小結]
1.空間中兩直線的夾角α的取值范圍為,而空間中兩向量的夾角β的取值范圍為[0,π],故利用空間向量求兩直線的夾角時應注意cos α=|cos β|.
2.在利用夾角公式判斷銳角或鈍角時,一定要注意特殊角:0°和180°.
3.在利用空間向量解決立體幾何問題時,需要建立恰當的坐標系,將幾何問題轉化為坐標的運算問題.
拓展 [2024·杭州二中高二期中] 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含邊界)上一動點,滿足A1P⊥AC1,則線段A1P長度的取值范圍是 (　 )
A. B.
C.[1,] D.[,]
第2課時　空間向量長度與夾角的坐標表示
【課前預習】
知識點
　
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√
【課中探究】
例1　(1)3　(2)A　[解析] (1)由題意,a-b=(0,6,-3),∴|a-b|===3.
(2)因為a⊥b,所以a·b=-8-2+2x=0,解得x=5,則2a+b=2(2,-1,2)+(-4,2,5)=(0,0,9),所以|2a+b|=9.故選A.
變式　　[解析] 因為a=(1+x,1,x),b=(0,2x,x),所以a-b=(1+x,1-2x,0),所以|a-b|===,所以當x=時,|a-b|取得最小值,最小值為.
例2　(1)C　(2)D　[解析] (1)由題意得=(-1,1,0),=(0,3,3),故cos<,>==,所以與的夾角為60°.
(2)因為{i,j,k}是空間向量的一組標準正交基,所以=-i+j-k=(-1,1,-1),=2i+j+k=(2,1,1),設與的夾角為θ,θ∈[0,π],則cos θ===-.故選D.
變式　(1)C　(2)(-∞,0)　[解析] (1)由題意可得a+b=(-1,-2,-3)=-a,且|a|=.又(a+b)·c=7,所以-a·c=7,即-|a|·|c|cos=-14cos=7,所以cos=-.又0≤≤π,所以=.故選C.
(2)因為向量a=(2,-1,1),b=(1,2,t),且a與b的夾角為鈍角,所以a·b=1×2+2×(-1)+t×1<0,解得t<0,又≠,所以a與b不共線,綜上可得實數t的取值范圍為(-∞,0).
例3　解:如圖,以D為坐標原點,DA,DC,DS所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系D-xyz,則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,F,G,=,=,=
(-a,0,0).
(1)||==.
(2)cos<,>===.
變式　銳角　[解析] 因為A(6,-1,4),B(1,-2,1),C(4,2,3),所以=(-5,-1,-3),=(-2,3,-1),=(3,4,2),所以||==,||==,||==,所以在△ABC中,AB邊最長,內角C最大,所以·=(2,-3,1)·(-3,-4,-2)=-6+12-2=4>0,顯然,不共線,所以C為銳角,故△ABC為銳角三角形.
拓展　A　[解析] 如圖,建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),∴=(1,1,1).∵P是底面ABCD(含邊界)上一動點,∴可設P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),則=(x,y,-1).∵A1P⊥AC1,∴·=x+y-1=0,∴y=1-x,∴||2=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2+,∴當x=時,||2取得最小值,此時線段A1P的長度為,當x=0或x=1時,||2取得最大值2,此時線段A1P的長度為,故線段A1P長度的取值范圍是.故選A.

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