資源簡介

§4　向量在立體幾何中的應用
4.1　直線的方向向量與平面的法向量
【學習目標】
　　1.能用向量語言描述直線和平面.
　　2.理解直線的方向向量與平面的法向量.
◆ 知識點一　空間元素的向量表示
1.空間中點的向量表示
如圖,在空間中取一個　　　　,那么空間中任意一點P的位置就可以用向量來表示,向量就是點P的　　　　　　.
2.直線的方向向量與直線的向量表示
(1)直線的方向向量:如圖所示,設A,B是直線l上不重合的任意兩點,稱為直線l的　　　　　　.顯然,一條直線有　　　　方向向量,與平行的　　　　　　　　也是直線l的方向向量.
(2)直線的向量表示:如圖,已知點M是直線l上的一點,非零向量a是直線l的一個方向向量.那么對于直線l上的任意一點P,一定存在實數t,使得　　　　.反之,由幾何知識不難確定,滿足上式的點P一定在直線l上.因此,我們把這個式子稱為　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若向量a是直線l的一個方向向量,則向量ka也是直線l的一個方向向量. (　 )
(2)若A(2,1,1),B(1,2,2)在直線l上,則直線l的一個方向向量為(-2,2,2). (　 )
◆ 知識點二　點在直線上的充要條件
點P在直線AB上的充要條件是對空間任意一個確定的點O,存在實數t使得=　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若空間中的點P滿足=+t,則點P在直線AB上. (　 )
(2)若A(2,1,1),B(1,2,2)在直線l上,則點 C(-2,3,-2)也在直線l上. (　 )
◆ 知識點三　平面的法向量及其求法
1.平面的法向量
平面的法向量 如果一條直線l與一個平面α　　　　,那么就把直線l的方向向量n叫作平面α的法向量
確定平面位置 如圖,過點A且以向量a為法向量的平面可以表示為集合　　　　
在空間直角坐標系下,求平面的法向量的一般步驟 (1)設平面的法向量為n=(x,y,z); (2)找出(求出)平面內的兩個　　　　的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2); (3)根據法向量的定義建立關于x,y,z的方程組 (4)解方程組,取其中的　　　　,即得平面的一個法向量
2.平面α的方程
設平面α內一點M(x0,y0,z0),平面α的法向量n=(A,B,C),則對于平面α內任意一點P(x,y,z),有·n=0,則平面α的方程為　　　　　　　　　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
若向量n1,n2為同一平面的法向量,則以這兩個向量為方向向量的直線一定平行. (　 )
2.平面的法向量有幾個 它們的關系是怎樣的
◆ 探究點一　直線的方向向量
例1 (1)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直線l上,則直線l的一個方向向量為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,2,4) B.(1,4,2)
C.(2,1,4) D.(4,2,1)
(2)(多選題)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1上不與C1,C重合的任意一點,則能作為直線AA1的方向向量的是 (　 )
A. B.
C. D.
變式 從點A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取線段長||=34,則點B的坐標為 (　 )
A.(18,17,-17) B. (-14,-19,17)
C. D.
[素養小結]
求直線的方向向量的關鍵是找到直線上的兩個點,然后用所給的基向量表示以這兩個點為起點和終點的向量.直線的方向向量不唯一.
拓展 下列直線的方向向量的坐標具有什么特征
(1)平行于各坐標軸的直線;
(2)平行于xOy平面的直線(該直線與x軸、y軸都不平行).
◆ 探究點二　點在直線上的充要條件
例2 已知空間三點A(0,1,2),B(1,3,5),C(2,5,4-k)在一條直線上,則實數k的值是 (　 )
A.2 B.4
C.-4 D.-2
變式 (1)在空間直角坐標系中,已知點A(1,1,0),B(2,3,3),C(0,1,2),點D為直線AB上的一點,且CD⊥AB,則=　　　　.
(2)在四面體OABC中,點M,N分別為OA,BC的中點,若=+x+y,且G,M,N三點共線,則x+y=　　　　.
[素養小結]
求解與A,B,C三點共線有關的參數問題的一般步驟:
①由點在直線上的充要條件列出等式:=(1-t)+t.
②將A,B,C三點的坐標代入上式.
③由對應坐標相等得到方程組,解方程組即可.
◆ 探究點三　平面的法向量
角度1　求平面的法向量
例3 (1)已知A(3,4,0),B(2,5,2),C(0,3,2),則平面ABC的一個單位法向量是　　　　　　.
(2)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PD⊥平面ABCD,∠DAB=45°,AD⊥BD,AB=.以D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,寫出平面PCD的一個法向量的坐標.
變式 已知n=(-3,1,2)是平面α的一個法向量,點A(0,-3,-1),B(k,2k,2)在平面α內,則k=　　　　.
[素養小結]
利用待定系數法求平面的法向量的步驟:
①設向量:設平面的法向量為n=(x,y,z).
②選向量:在平面內選取兩個不共線的向量,.
③列方程組:由列出方程組并解方程組.
④賦非零值:令x,y,z中的一個未知數為非零值(常取±1),得到平面的一個法向量.
角度2　求平面的方程
例4 寫出經過A(3,2,1)且與直線l的方向向量n=(-1,3,4)垂直的平面α的方程.
變式 在空間直角坐標系O-xyz中,平面α過點P0(2,0,-1),它的一個法向量為n=(3,1,-1).設點P(x,y,z)為平面α內任意一點,則點P(x,y,z)的坐標滿足的方程為 (　 )
A.3x+y+z-5=0
B.3x+y+z-7=0
C.3x+y-z-7=0
D.3x+y-z-5=0
[素養小結]
求平面α的方程的關鍵是確定平面α的法向量n=(A,B,C),然后利用A(x-xα)+B(y-yα)+C(z-zα)=0((xα,yα,zα)為平面α內一點的坐標)可得.
§4　向量在立體幾何中的應用
4.1　直線的方向向量與平面的法向量
【課前預習】
知識點一
1.定點O　位置向量
2.(1)方向向量　無數個　任意非零向量a
(2)=ta　直線l的向量表示
診斷分析 (1)×　(2)√
知識點二
(1-t)+t
診斷分析 (1)√　(2)×
知識點三
1.垂直　{P|a·=0}　不共線　a2x+b2y+c2z=0
一組解
2.A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
診斷分析 1.×
2.解:平面的法向量有無數個,它們是平行向量.
【課中探究】
例1　(1)A　(2)ABD　[解析] (1)由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故選項A中的向量與共線,是直線l的一個方向向量.故選A.
(2)顯然與能作為直線AA1的方向向量,故A,D滿足題意;因為∥,≠0,所以能作為直線AA1的方向向量,故B滿足題意;因為與不共線,所以不能作為直線AA1的方向向量,故C不滿足題意.故選ABD.
變式　A　[解析] 設點B的坐標為(x,y,z),則=λa(λ>0),即 (x-2,y+1,z-7)=λ(8,9,-12),由 ||=34,即=34,可得λ=2,所以x=18,y=17,z=-17,則點B的坐標為(18,17,-17),故選A.
拓展　解:(1)平行于x軸的直線的方向向量為n1=(x0,0,0)(x0≠0),平行于y軸的直線的方向向量為n2=(0,y0,0)(y0≠0),平行于z軸的直線的方向向量為n3=(0,0,z0)(z0≠0).
(2)平行于xOy平面的直線(該直線與x軸、y軸都不平行)的方向向量為n4=(x1,y1,0)(x1,y1≠0).
例2　C　[解析] 在空間中取一點O(0,0,0),∵A(0,1,2),B(1,3,5),C(2,5,4-k)在一條直線上,∴存在實數t,使得=(1-t)+t=(0,1-t,2-2t)+(t,3t,5t)=(t,1+2t,2+3t)=(2,5,4-k),得t=2,k=-4.故選C.
變式　(1)　(2)　[解析] (1)依題意知=(1,2,3),=(1,0,-2),因為點D是直線AB上的一點,所以存在實數λ,使得=λ,則=+=+λ=(1+λ,2λ,-2+3λ).因為CD⊥AB,所以·=0,即(1+λ)+2(2λ)+3(-2+3λ)=0,解得λ=,所以=.
(2)若G,M,N三點共線,則存在實數λ使得=λ+(1-λ)=++成立,所以=,可得λ=,所以x=y==,可得x+y=.
例3　(1)(答案不唯一)　[解析] 由題知,=(-1,1,2),=(-3,-1,2),設m=(x,y,z)是平面ABC的法向量,則令y=-1,則m=(1,-1,1),故平面ABC的一個單位法向量是=.
(2)解:因為∠DAB=45°,AD⊥BD,AB=,所以AD=BD=1,設PD=m(m>0),則P(0,0,m),C(-1,1,0),D(0,0,0),所以=(-1,1,-m),=(-1,1,0).
設平面PCD的法向量為n=(x,y,z),
則取x=1,得n=(1,1,0),
所以平面PCD的一個法向量的坐標為(1,1,0).
變式　9　[解析] 由題意得=(k,2k+3,3),因為n=(-3,1,2)是平面α的一個法向量,點A,B在平面α內,所以n⊥,所以n·=(-3,1,2)·(k,2k+3,3)=-3k+2k+3+6=0,解得k=9.
例4　解:設P(x,y,z)為平面α內的任意一點,則=(x-3,y-2,z-1),∵直線l的方向向量n=(-1,3,4)垂直于平面α,∴·n=-1×(x-3)+3(y-2)+4(z-1)=0,
整理得平面α的方程為x-3y-4z+7=0.
變式　C　[解析] 因為P0(2,0,-1),P(x,y,z),所以=(x-2,y,z+1),由已知得⊥n,又n=(3,1,-1),所以·n=3(x-2)+y-(z+1)=0,整理得3x+y-z-7=0,故選C.

展開更多......

收起↑