資源簡介

4.2　用向量方法研究立體幾何中的位置關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的平行關系
【學習目標】
　　1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系.
　　2.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面平行的判定定理.
◆ 知識點　用空間向量描述空間線面的平行
關系
設不重合的直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,不重合的平面α,β的法向量分別為n1,n2,則
平行關系 對應線面 圖形 滿足條件
線線 平行 l1與l2 l1∥l2 　　　　 λ∈R,u1=　
(續表)
平行關系 對應線面 圖形 滿足條件
線面平行 l1與α(l1 α) l1∥α 　　　　 u1·n1=　　　　
面面平行 α與β α∥β 　　　　 λ∈R,n1=　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反. (　 )
(2)若一條直線的方向向量與一個平面的法向量垂直,則該直線與平面平行. (　 )
(3)若兩條不同的直線l1,l2的方向向量分別為a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),則l1∥l2. (　 )
(4)若兩個平面平行,則這兩個平面的法向量一定平行. (　 )
◆ 探究點一　空間向量與平行關系
例1 (1)設直線l的方向向量為a,平面α的法向量為b,若a·b=0,則 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.l∥α B.l α
C.l⊥α D.l α或l∥α
(2)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,M,N分別為A1B,AC的中點,
則MN與平面BB1C1C的位置關系是 (　 )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能確定
(3)若直線l的一個方向向量為m,平面α的一個法向量為n,則可能使l∥α的是 (　 )
A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.m=(0,2,1),n=(-1,0,1)
C.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)
D.m=(1,2,3),n=(1,0,1)
變式 (1)已知直線l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1).若l∥α,則λ=　　　　.
(2)若平面α的一個法向量為m=,平面β的一個法向量為n=,α∥β,則實數z=　　　　.
[素養小結]
利用空間向量判斷立體幾何中的平行關系的解題思路.
(1)判斷兩直線平行:找到兩直線的方向向量a,b,判斷是否存在實數λ,使得b=λa.
(2)判斷線面平行:找到直線的方向向量a和平面的法向量b,判斷這兩個向量是否垂直,即判斷a·b是否為0.
(3)判斷面面平行:找到兩個平面的法向量i,j,判斷這兩個向量是否平行,即判斷是否存在實數λ,使得i=λj.
◆ 探究點二　利用空間向量證明平行關系
例2 如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點.
(1)求證:FC1∥平面ADE;
(2)求證:平面ADE∥平面B1C1F.
變式 如圖,已知點P是正方形ABCD所在平面外一點,點M,N分別是PA和BD上的點,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求證:直線MN∥平面PBC.
[素養小結]
空間平行關系的解題策略
幾何法 向量法
線線 平行 對于直線l,m,n和平面α,β, (1)若l∥m,l∥n,則m∥n; (2)若l⊥α,m⊥α,則l∥m; (3)若l∥α,l β,α∩β=m,則l∥m 若直線l,m的方向向量共線,則l∥m
線面 平行 對于直線m,n和平面α, (1)若m⊥α,m⊥n,n α,則n∥α; (2)若m α,n α,m∥n,則m∥α 若直線l的方向向量與平面α的法向量垂直且l α,則l∥α
面面 平行 對于直線l,m和平面α,β, (1)若l α,m α,l∥β,m∥β,且l∩m=A,則α∥β; (2)若l⊥α,l⊥β,則α∥β 若平面α,β的法向量共線,則α∥β
拓展 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,F為B1C1的中點,D,E分別是棱BC,CC1上的點,且AD⊥BC.
(1)求證:直線A1F∥平面ADE.
(2)若△ABC是正三角形,E為C1C的中點,能否在棱B1B上找到一點N,使得A1N∥平面ADE 若存在,確定該點的位置;若不存在,請說明理由.
4.2　用向量方法研究立體幾何中的位置關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的平行關系
【課前預習】
知識點
u1∥u2　λu2　u1⊥n1　0　n1∥n2　λn2
診斷分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)√
【課中探究】
例1　(1)D　(2)B　(3)C　[解析] (1)∵a·b=0,∴l α或l∥α.
(2)如圖所示,以C1為原點,C1B1,C1D1,C1C所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則A1(a,a,0),B(a,0,a),A(a,a,a),C(0,0,a),∴M,N,∴=.易知=(0,a,0)是平面BB1C1C的一個法向量,而·=-×0+0×a+×0=0,∴⊥,又MN 平面BB1C1C,∴MN∥平面BB1C1C.
(3)由題知,當m·n=0時,l∥α或l α.A選項中,m·n=(1,0,0)·(-2,0,0)=-2;B選項中,m·n=(0,2,1)·(-1,0,1)=1;C選項中,m·n=(1,-1,3)·(0,3,1)=0-3+3=0;D選項中,m·n=(1,2,3)·(1,0,1)=1+0+3=4.故選C.
變式　(1)2　(2)3　[解析] (1)因為直線l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1),且l∥α,所以e⊥n,則e·n=1×2-2λ+(-2)×(-1)=0,解得λ=2.
(2)∵α∥β,∴m∥n,∴存在λ∈R,使得=λ,得λ=-,z=3.
例2　證明:(1)如圖所示,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),則=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).設n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則即
取z1=2,則n1=(0,-1,2).因為·n1=-2+2=0,所以⊥n1.又FC1 平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
(2)由(1)知,=(0,2,1),=(2,0,0).設n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,由n2⊥,n2⊥,得取z2=2,則n2=(0,-1,2).因為n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
變式　證明:∵=++=-++=-(-)++(+)=-+=-,∴與,共面,
∵MN 平面PBC,∴MN∥平面PBC.
拓展　解:(1)證明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,連接DF,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴D是BC的中點,
又∵F為B1C1的中點,∴DF∥AA1且DF=AA1,
∴四邊形DFA1A是平行四邊形,∴A1F∥AD,
∵A1F 平面ADE,AD 平面ADE,∴A1F∥平面ADE.
(2)能在棱B1B上找到一點N,使得A1N∥平面ADE.證明如下:
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵DF∥AA1,∴DF⊥AD,DF⊥DC,又∵AD⊥BC,∴DA,DC,DF兩兩垂直,以D為原點,DC所在直線為x軸,DA所在直線為y軸,DF所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設A1B1=2,AA1=2t,則A(0,,0),D(0,0,0),E(1,0,t),A1(0,,2t),則=(0,,0),=(1,0,t),又點N在棱B1B上,設BN=λBB1,0≤λ≤1,則N(-1,0,2λt),∴=(-1,-,2λt-2t).設平面ADE的法向量為n=(x,y,z),
則取z=1,得n=(-t,0,1),
∵A1N∥平面ADE,∴·n=t+0+2λt-2t=0,解得λ=,∴在棱B1B上存在一點N,且BN=BB1,使得A1N∥平面ADE.

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