資源簡介

第2課時　用向量方法研究立體幾何中的垂直關系
【學習目標】
　　1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.
　　2.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面垂直的判定定理.
◆ 知識點一　用空間向量描述空間線面的垂直
關系
設不重合的兩條直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,不重合的兩個平面α,β的法向量分別為n1,n2,則
垂直關系 對應線面 圖形 滿足條件
線線 垂直 l1與l2 l1⊥l2 　　　 　　　　
線面 垂直 l1與α l1⊥α 　　　 λ∈R,　　　　
面面 垂直 α與β α⊥β 　　　 　　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若兩條直線的方向向量垂直,則這兩條直線垂直. (　 )
(2)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同時,直線與平面垂直. (　 )
(3)兩個平面的法向量垂直,則這兩個平面垂直. (　 )
(4)若直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),則l1⊥l2. (　 )
◆ 知識點二　三垂線定理及其逆定理
三垂線定理:若平面內的一條直線與平面的　　　　　　　　　　　　　　　　垂直,則它也和　　　　　　垂直.
三垂線定理的逆定理:若平面內的一條直線和這個平面的　　　　　　垂直,則它也和　　　　　　　　　　　　　　垂直.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)三垂線定理及其逆定理說明的是平面內的一條直線、平面的一條斜線和該斜線在平面內的投影三者之間的關系. (　 )
(2)三垂線定理及其逆定理可以直接由線線垂直得到線線垂直. (　 )
◆ 探究點一　空間向量與垂直關系
例1 (1)已知非零向量a,b,c分別為直線a,b,c的方向向量,且a=λb(λ≠0),b·c=0,則a與c的位置關系一定是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.垂直 B.平行
C.相交 D.異面
(2)若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則 (　 )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直
D.以上均不正確
變式 (1)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點,N是A1B1的中點,則直線ON,AM的位置關系是 (　 )
A.平行 B.相交 C.異面垂直 D.異面不垂直
(2)在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n與平面ABC垂直,且 |n|=,則n的坐標為　　　　　　　.
[素養小結]
在探究空間的垂直關系時,通常的做法是看到直線找直線的方向向量,看到平面找平面的法向量,然后通過已知條件得到直線的方向向量與直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、平面的法向量與平面的法向量之間的關系,從而確定線線、線面、面面之間的位置關系.
◆ 探究點二　利用空間向量證明垂直關系
例2 如圖,在四面體ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,設P為AC的中點,Q在棱AB上且AB=3AQ,求證:PQ⊥OA.
變式 某三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為△A1B1C1,已知∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D為BC的中點.求證:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
[素養小結]
空間垂直關系的解題策略
幾何法 向量法
線線 垂直 (1)證明兩直線所成的角為90°; (2)若直線與平面垂直,則此直線與平面內所有直線垂直 證明兩直線的方向向量互相垂直
線面 垂直 對于直線l,m,n和平面α, (1)若l⊥m,l⊥n,m α,n α,m與n相交,則l⊥α; (2)若l∥m,m⊥α,則l⊥α (1)證明直線的方向向量分別與平面內兩條相交直線的方向向量垂直; (2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量
面面 垂直 對于直線l,m和平面α,β, (1)若l⊥α,l β,則α⊥β; (2)若l⊥α,m⊥β,l⊥m,則α⊥β 證明兩個平面的法向量互相垂直
拓展 如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為BC的中點.
(1)在B1B上是否存在一點P,使D1P⊥平面B1AE
(2)在平面AA1B1B內是否存在一點N,使D1N⊥平面B1AE
◆ 探究點三　三垂線定理及其逆定理的應用
例3 (1)下列說法中正確的是 (　 )
A.若直線l與平面α外的一條直線l'在平面α內的投影垂直,則l⊥l'
B.若直線l與平面α外的一條直線l'垂直,則l與l'在平面α內的投影垂直
C.若向量a和直線l在平面α內的投影垂直,則a⊥l
D.若非零向量a和平面α平行,且和直線l垂直,直線l不與平面α垂直,則a垂直于l在平面α內的投影
(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分別是棱DD1,D1C1的中點,則直線OM (　 )
A.與AC,MN都垂直
B.垂直于AC,但不垂直于MN
C.垂直于MN,但不垂直于AC
D.與AC,MN都不垂直
變式 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2, M是A1B1的中點.求證:A1B⊥C1M.
[素養小結]
三垂線定理及其逆定理在求解判斷和證明線線垂直問題時,有明顯的優勢,它使得線線垂直可以直接推出線線垂直,而不用再去證明線面垂直.在具體應用時一定要抓住三垂線定理及其逆定理成立的條件.
第2課時　用向量方法研究立體幾何中的垂直關系
【課前預習】
知識點一
u1⊥u2　u1·u2=0　u1∥n1　u1=λn1　n1⊥n2
n1·n2=0
診斷分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)√
知識點二
一條斜線在這個平面內的投影　這條斜線　一條斜線　這條斜線在這個平面內的投影
診斷分析 (1)√　(2)√
【課中探究】
例1　(1)A　(2)C　[解析] (1)由a=λb(λ≠0),知a∥b.由b·c=0,知b⊥c,則b⊥c,所以a⊥c.故選A.
(2)由題意知n1≠λn2(λ∈R),且n1·n2=-6-3-20=-29≠0,所以α,β相交但不垂直,故選C.
變式　(1)C　(2)(-2,4,1)或(2,-4,-1)　[解析] (1)以A為原點,分別以,,的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,則A(0,0,0),M,O,N,則·=·=0,∴ON與AM垂直,易得ON與AM異面,故ON與AM異面垂直.
(2)根據題意可得,=(-1,-1,2),=(1,0,2).設n=(x,y,z),∵n與平面ABC垂直,∴
可得又∵|n|==,
∴=,解得y=4或y=-4.當y=4時,x=-2,z=1;當y=-4時,x=2,z=-1.∴n的坐標為(-2,4,1)或(2,-4,-1).
例2　證明:連接OP,OQ,以O為坐標原點,以OA,OC所在直線分別為x軸、z軸,以過點O且與平面AOC垂直的直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.則A(1,0,0),C(0,0,1),B.∵P為AC的中點,∴P,∴=,=(1,0,0),=.由已知可得==,∴=+=,∴=-=.∵·=0,∴⊥,即PQ⊥OA.
變式　證明:方法一:如圖,以A為坐標原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,).∵D為BC的中點,∴D(1,1,0),∴=(1,1,0),=(0,0,),=(-2,2,0),∴·=1×(-2)+1×2+0×0=0,·=0×(-2)+0×2+×0=0,∴⊥,⊥,∴BC⊥AD,BC⊥AA1.
又AA1∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.
∵BC 平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
方法二:同方法一建系后,C1(0,1,),可得=(0,0,),=(1,1,0),=(-2,2,0),=(0,-1,).設平面A1AD的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法向量為n2=(x2,y2,z2).由得
取y1=-1,則x1=1,z1=0,∴n1=(1,-1,0).由得取y2=1,則x2=1,z2=,∴n2=.∵n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
拓展　解:如圖,以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),E,B1(1,1,1),D1(0,0,1),則=(0,-1,-1),=.
(1)假設存在點P(1,1,z1)滿足題意,于是=(1,1,z1-1),所以所以即矛盾.故在B1B上不存在點P,使D1P⊥平面B1AE.
(2)假設在平面AA1B1B內存在點N,使D1N⊥平面B1AE.設N(1,y,z2),則因為=(1,y,z2-1),所以解得故在平面AA1B1B內存在點N,使D1N⊥平面B1AE.
例3　(1)D　(2)A　[解析] (1)對于A,當直線l與平面α相交時,不滿足l⊥l',故A錯誤;對于B,當直線l與平面α相交時,不滿足l與l'在平面α內的投影垂直,故B錯誤;對于C,當向量a和平面α不平行時,不滿足a⊥l,故C錯誤;對于D,由三垂線定理的逆定理得D正確.故選D.
(2)方法一:以D為坐標原點,以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為2,則A(2,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0),M(0,0,1),N(0,1,2),則=(-2,2,0),=(-1,-1,1),=(0,1,1),所以·=2-2+0=0,·=0-1+1=0,所以OM⊥AC,OM⊥MN.故選A.
方法二:連接OD,因為OM在底面ABCD內的投影是OD,AC⊥OD,所以由三垂線定理得AC⊥OM.過點O作OO'⊥CD于O',連接MO',NO'.設正方體的棱長為2,則MN=MO'=,NO'=2,所以MN2+O'M2=O'N2,所以MN⊥MO',由三垂線定理得MN⊥MO.故選A.
變式　證明:方法一:以C為原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(1,0,2),B(0,1,0),C1(0,0,2),M,可得=(-1,1,-2),=,∵·=0,
∴A1B⊥C1M.
方法二:由題意可知BB1⊥平面A1B1C1,故A1B在平面A1B1C1內的投影為A1B1.在△A1B1C1中,∵C1A1=C1B1,M是A1B1的中點,∴C1M⊥A1B1,∴由三垂線定理可得A1B⊥C1M.

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