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第2課時　用向量方法研究立體幾何中的度量關系(二)
【學習目標】
　　1.能用向量方法解決簡單的二面角問題.
　　2.體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
◆ 知識點　兩個平面的夾角
1.半平面:一個平面內的一條直線,把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都稱為　　　　.
2.二面角:從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為　　　　.這條直線稱為　　　　　,這兩個半平面稱為　　　　　　.
3.二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內分別作
　　　　　　的兩條射線,這兩條射線的夾角稱為　　　　　　　.二面角的平面角的取值范圍為　.
4.已知n1,n2分別為平面α,β的法向量,則二面角α-l-β的平面角與兩法向量夾角　　　　　　,如圖.
5.平面與平面的夾角的概念和范圍
平面α與平面β相交,形成四個二面角,我們把這四個二面角中　　　　的二面角稱為平面α與平面β的夾角.
“向量法”求平面與平面的夾角的方法:設平面α與平面β的夾角為θ,
則cos θ=|cos|=.
【診斷分析】 闡述二面角的平面角分別為0,,π時的情況.
◆ 探究點一　平面與平面的夾角
例1 (1)如圖所示,在空間直角坐標系D-xyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1為長方體, AA1=AB=2AD,點E為C1D1的中點,則二面角B1-A1B-E的平面角的余弦值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.- C. D.
(2)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AB1=AA1=AC=2,∠BAC=120°,線段A1B1的中點為M,且BC⊥AM,點P在線段B1C1上,且B1P=B1C1,求二面角P-B1A-A1的平面角的余弦值.
變式 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是邊長為2的正三角形,O為AB的中點.
(1)證明:CO⊥平面ABB1A1;
(2)若BB1=2,求平面A1BC1與平面ABC1夾角的余弦值.
[素養小結]
設n1,n2分別是平面α,β的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是二面角α-l-β的平面角為銳角時的值θ,用坐標法的解題步驟如下:
(1)建系:依據幾何條件建立適當的空間直角坐標系;
(2)求法向量:在建立的坐標系下求兩個平面的法向量n1,n2;
(3)計算:cos θ=.
(4)不大于90°的二面角稱為兩平面的夾角.
拓展 如圖所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=120°,四邊形ACFE為矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF.
(1)求證:EF⊥平面BCF.
(2)若點M在棱EF上運動,當點M在什么位置時,平面MAB與平面FCB的夾角最大 并求此時夾角的余弦值.
◆ 探究點二　已知二面角求長度
例2 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,點E是棱AB上一點,當二面角P-EC-D的平面角為時,||等于 (　 )
A. 2- B.
C. 2- D. 1
變式 如圖,在正四棱錐P-ABCD中,PA=AB=,點M,N分別在PA和BD上,BN=BD.若二面角M-BD-A的平面角的大小為,求M,N兩點間的距離.
[素養小結]
若題干已知二面角的平面角的大小,則利用坐標法解題的步驟如下:
(設n1,n2分別是平面α,β的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是二面角α-l-β的平面角為銳角時的值θ)
(1)建系:依據幾何條件建立適當的空間直角坐標系;
(2)求法向量:在建立的坐標系下求兩個平面的法向量n1,n2;
(3)計算:cos θ=;
(4)列方程并求解:根據θ的大小,結合已知條件得到與所求量有關的方程,解方程得到答案.
拓展 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,
∠BAD=90°,PA=AB=BC=AD=2,BC∥AD,若Q是四邊形ABCD內部一點(包括邊界),且二面角Q-PD-A的平面角為,則△ADQ面積的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.(0,4]
第2課時　用向量方法研究立體幾何中的度量關系(二)
【課前預習】
知識點
1.半平面　2.二面角　二面角的棱　二面角的面
3.垂直于棱　二面角的平面角　[0,π]　4.相等或互補
5.不大于90°
診斷分析
解:當二面角的平面角為0時,兩個半平面重合;
當二面角的平面角為時,二面角為直二面角;
當二面角的平面角為π時,兩個半平面組成了一個平面.
【課中探究】
例1　(1)C　[解析] 設AD=1,則A1(1,0,2),B(1,2,0),因為E為C1D1的中點,所以E(0,1,2),所以 =(-1,1,0),=(0,2,-2).設m=(x,y,z)是平面 A1BE的法向量,則即取x=1,則y=z=1,所以m=(1,1,1).因為DA⊥平面A1B1B,所以=(1,0,0)是平面 A1B1B的一個法向量,所以cos==,又因為二面角B1-A1B-E為銳二面角,所以二面角B1-A1B-E的平面角的余弦值為.故選C.
(2)解:因為AB1=AA1=AB=A1B1=2,所以△AB1A1為等邊三角形,因為M為A1B1的中點,所以AM⊥A1B1,所以AM⊥AB,又因為BC⊥AM,AB∩BC=B,AB 平面ABC,BC 平面ABC,
所以AM⊥平面ABC.
如圖,以A為原點,在平面ABC上過A且與AC垂直的直線為x軸,直線AC為y軸,直線AM為z軸,建立空間直角坐標系,所以A(0,0,0),B(,-1,0),M(0,0,),A1,C(0,2,0).
因為==,所以B1,因為===(-,3,0),所以P,所以=,=,=.
設平面AB1P的法向量為n=(x,y,z),
所以即
令x=3,得y=,z=-1,所以n=(3,,-1).
設平面B1AA1的法向量為m=(a,b,c),
所以即
令a=1,得c=0,b=,所以m=(1,,0).設二面角P-B1A-A1的平面角的大小為θ,所以|cos θ|=|cos|==,又由圖可知θ為銳角,所以二面角P-B1A-A1的平面角的余弦值為.
變式　解:(1)證明:∵△ABC是正三角形,O為AB的中點,∴CO⊥AB,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,可得AA1⊥平面ABC,又CO 平面ABC,∴AA1⊥CO.又AB∩AA1=A,AB,AA1 平面ABB1A1,∴CO⊥平面ABB1A1.
(2)設A1B1的中點為O1,連接OO1,易知OB,OO1,OC兩兩垂直,以O為坐標原點,OB,OO1,OC所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,如圖.∵△ABC是邊長為2的正三角形,∴CO=,則B(1,0,0),A(-1,0,0),A1(-1,2,0),C1(0,2,),
∴=(-2,2,0),=(-1,2,),=(2,0,0),=(1,2,).設平面A1BC1的法向量為m=(x,y,z),則即取x=,則y=,z=-1,故m=(,,-1).設平面ABC1的法向量為n=(a,b,c),則即
取b=-,則a=0,c=2,故n=(0,-,2).
設平面A1BC1與平面ABC1的夾角為θ,則cos θ=|cos|===,故平面A1BC1與平面ABC1夾角的余弦值為.
拓展　解:(1)證明:設AD=CD=BC=1,∵AB∥CD,∠BCD=120°,∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,∴AB2=AC2+BC2,則BC⊥AC.∵CF⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥CF,而CF∩BC=C,CF,BC 平面BCF,∴AC⊥平面BCF.∵EF∥AC,∴EF⊥平面BCF.
(2)以C為坐標原點,分別以CA,CB,CF所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
設FM=λ(0≤λ≤),則C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),
∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).
設n=(x,y,z)為平面MAB的法向量,
由得取x=1,則n=(1,,-λ).易知m=(1,0,0)是平面FCB的一個法向量,
∴cos===.∵0≤λ≤,∴當λ=0時,cos取得最小值,∴當點M與點F重合時,平面MAB與平面FCB的夾角最大,此時夾角的余弦值為.
例2　A　[解析] 以D為坐標原點,分別以,,的方向為 x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,1).設E(1,t,0),0≤t≤2,平面 PEC的法向量為n=(x,y,z),因為=(1,t,-1),=(0,2,-1),所以取y=1,得n=(2-t,1,2).又平面 ABCD的一個法向量是n1=(0,0,1),n·n1=2,所以|n1|·|n|·cos=×1×=2,解得t=2+(舍去)或t=2-,所以||=2-.故選A.
變式　解:連接AC,與BD交于點O,連接OP,以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系.∵PA=AB=,∴A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).由=,得N.∵M在PA上,∴設=λ,得M(λ,0,1-λ),0≤λ≤1,∴=(λ,-1,1-λ),=(0,-2,0).設平面MBD的法向量為n=(x,y,z),由得
取z=λ,得n=(λ-1,0,λ).∵平面ABD的一個法向量為=(0,0,1),二面角M-BD-A的平面角的大小為,∴cos=,即=,得λ=,∴M,又N,∴MN==.
拓展　D　[解析] 以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.因為二面角Q-PD-A的平面角為,所以點Q的軌跡是過點D的一條線段(不包括點D).設點Q的軌跡與y軸的交點為G(0,b,0),由題意可得A(0,0,0),D(4,0,0),P(0,0,2),所以=(-4,0,2),=(-4,b,0),=(4,0,0).因為AB⊥平面PAD,所以平面PAD的一個法向量為m==(0,2,0),設平面PDG的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,則y=,z=2,所以n=.因為二面角Q-PD-A的平面角為,所以|cos|===,得b=>2,所以當點Q在線段BC上時,△ADQ的面積最大,最大值為×4×2=4,所以△ADQ面積的取值范圍是(0,4],故選D.

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