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第3課時　空間中的距離問題
【學習目標】
　　1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題.
　　2.體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
◆ 知識點一　點到平面的距離
1.點到平面的距離
點P到平面α的距離,等于點P與平面α內任意一點A連線所得向量,在平面α的單位法向量n0方向上所作投影向量的長度,即d=　　　　.
2.直線到平面的距離和平面到平面的距離
(1)若一條直線平行一個平面,則該直線到這個平面的距離等于該直線上　　　　到這個平面的距離.
(2)若兩個平面平行,則這兩個平面間的距離等于其中一個平面上　　　　到另一個平面的距離,即線面距和面面距均可轉化為點面距.
3.用向量方法求解點到平面的距離問題的一般步驟:
(1)確定平面的一個法向量;(2)選擇參考向量(已知點與平面內任意一點連線所得向量);(3)確定參考向量在法向量方向上的投影向量;(4)求投影向量的長度.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面α外一點A到平面α的距離,就是點A與平面α內一點B所成向量的長度. (　 )
(2)若直線l∥平面α,則直線l到平面α的距離就是直線l上的點到平面α的距離. (　 )
(3)若平面α∥平面β,則兩平面α,β間的距離可轉化為平面α內某條直線到平面β的距離,也可轉化為平面α內某點到平面β的距離. (　 )
◆ 知識點二　點到直線的距離
若點P是直線l外一點,l0是直線l的單位方向向量,點A是直線l上任意一點,則點P到直線l的距離為d=.
【診斷分析】 1.如何求兩條相互平行的直線之間的距離
2.與已知直線的距離等于1的點的軌跡是什么圖形
◆ 探究點一　點到平面的距離
例1 如圖所示,在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分別為AB,SB的中點,求點B到平面CMN的距離.
變式 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E為BB1的中點,AB=CC1=2BC=2.
(1)求異面直線AE與CC1的夾角的余弦值;
(2)求點C到平面AEC1的距離.
[素養小結]
求點到平面的距離的主要方法:
(1)作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離.
(2)在三棱錐中用等體積法求解.
(3)向量法:d=(n為平面的法向量,A為平面上一點,MA為過點A的斜線段).
◆ 探究點二　直線到平面的距離、平面與平面的距離
例2 (1)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則平面AB1D1與平面BDC1的距離為(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a B.a
C.a D.a
(2)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱A1B1的中點,F為棱AB的中點,求直線FC到平面AEC1的距離.
[素養小結]
(1)求線面(線與面平行)距離可以轉化為求直線上任意一點到平面的距離,利用求點到平面的距離的方法求解即可.
(2)求兩個平行平面的距離可以轉化為求點到平面的距離,利用求點到平面的距離的方法求解即可.
◆ 探究點三　點到直線的距離
例3 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1D1的中點,則點C1到直線CE的距離為　　　　.
變式 [2024·山西朔州高二期中] 如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2BC=6,PC⊥PD,PC=PD,點O是CD的中點,求棱PB上的動點E到直線AO的距離的最小值.
[素養小結]
用向量法求點到直線的距離的一般步驟:
(1)建立空間直角坐標系;
(2)求直線的方向向量;
(3)計算所求點與直線上某一點所構成的向量的長度,及該向量在直線方向向量方向上的投影數量;
(4)利用勾股定理求距離.
另外,要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.
第3課時　空間中的距離問題
【課前預習】
知識點一
1.|·n0|
2.(1)任意一點　(2)任意一點
診斷分析 (1)×　(2)√　(3)√
知識點二
診斷分析
1.解:可以將兩條平行直線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離.
2.解:以該直線為軸,與直線距離為1的直線旋轉而成的圓柱面.
【課中探究】
例1　解:取AC的中點O,連接OS,OB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC,∴SO⊥BO.
又∵△ABC為正三角形,O為AC的中點,∴AO⊥BO.
如圖所示,以O為原點,以OA,OB,OS所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,),
∴=(3,,0),=(-1,0,),=(-1,,0).
設n=(x,y,z)為平面CMN的法向量,
則取z=1,
則x=,y=-,可得n=(,-,1),
∴點B到平面CMN的距離d==.
變式　解:(1)由題意可得CC1⊥CA,CC1⊥CB,又AC⊥BC,所以以C為坐標原點,以CA,CB,CC1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,
由AC⊥BC,AB=2BC=2,可得AC=,則有A(,0,0),E(0,1,1),C1(0,0,2),所以=(-,1,1),=(0,0,2),所以cos<,>==,所以異面直線AE與CC1的夾角的余弦值為.
(2)設平面AEC1的法向量為m=(x,y,z),由(1)知=(-,1,1),=(-,0,2),則
取x=2,可得m=(2,,),又=(,0,0),
則點C到平面AEC1的距離d==.
例2　(1)D　[解析] 以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,易證平面AB1D1∥平面BDC1,且平面AB1D1的一個法向量為n=(1,-1,1),由A(a,0,0),B(a,a,0),得=(0,-a,0),則平面AB1D1與平面BDC1的距離d===a.
(2)解:以D1為原點,D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖所示),則A(1,0,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E,F,∴=,=,=,=.∵==,∴FC∥EC1,∵FC 平面AEC1,EC1 平面AEC1,∴FC∥平面AEC1,∴直線FC到平面AEC1的距離即為點F到平面AEC1的距離.設平面AEC1的法向量為n=(x,y,z),則∴取z=1,則x=1,y=2,∴n=(1,2,1),又=,∴點F到平面AEC1的距離為==.
例3　　[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=,=(0,0,1),所以在方向上的投影數量為==-,所以點C1到直線EC的距離d===.
變式　解:取AB的中點O',連接PO,OO',AE,因為PC=PD,O為CD的中點,所以PO⊥CD,又平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,PO 平面PCD,所以PO⊥平面ABCD,因為OO' 平面ABCD,所以PO⊥OO',又底面ABCD是矩形,所以OO'⊥CD.以O為原點,以OO',OC,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.
由PC⊥PD,PC=PD,CD=6,得PO=3,所以A(3,-3,0),B(3,3,0),P(0,0,3),則=(-3,3,0).設=λ(0≤λ≤1),則E(3-3λ,3-3λ,3λ),則=(-3λ,6-3λ,3λ),||=,==
==3,因此點E到直線AO的距離d===,故當λ=時,d取得最小值,即棱PB上的動點E到直線AO的距離的最小值為.

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