資源簡介

第五章　計數原理
§1　基本計數原理
1.1　分類加法計數原理
1.2　分步乘法計數原理
【學習目標】
　　1.通過實例,了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義.
　　2.能夠結合具體實例,進一步識別和理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理,并能運用這些原理解決簡單的實際問題.
◆ 知識點一　分類加法計數原理
完成一件事,可以有　　　　辦法,在第1類辦法中有　　　　種方法,在第2類辦法中有　　　　種方法……在第n類辦法中有　　　種方法,那么,完成這件事共有N=
　　　　　種方法. (也稱“加法原理”)
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)在分類加法計數原理中,兩類不同辦法中的方法可以相同. (　 )
(2)在分類加法計數原理中,每類辦法中的方法都能完成這件事. (　 )
◆ 知識點二　分步乘法計數原理
完成一件事需要經過　　　　步驟,缺一不可,做第1步有　　　　種不同的方法,做第2步有　　　　種不同的方法……做第n步有　　　種不同的方法,那么,完成這件事共有N=　　　　　　種方法. (也稱“乘法原理”)
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)在分步乘法計數原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法可以是各不相同的. (　 )
(2)在分步乘法計數原理中,事情如果是分兩步完成的,那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成. (　 )
◆ 探究點一　分類加法計數原理
例1 從甲地出發前往乙地,一天中有4趟汽車、3趟火車和1趟航班可供選擇.某人某天要從甲地出發去乙地旅游,則所有不同走法的種數是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.16 B.15
C.12 D.8
變式 某班有男生22人,女生18人,從中選一名學生為數學課代表,則不同的選法共有 (　 )
A.40種 B.396種
C.22種 D.18種
[素養小結]
利用分類加法計數原理計數時的解題流程
[提醒] 確定分類標準時要確保每一類都能獨立地完成這件事.
拓展 如圖所示,在A,B間有四個焊接點1,2,3,4,若焊接點脫落導致斷路,則電路不通,則焊接點脫落導致電路不通的情況有 (　 )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.9種 B.11種
C.13種 D.15種
◆ 探究點二　分步乘法計數原理
例2 在端午小長假期間,某辦公室要從4名職員中選出若干人在3天假期堅守崗位,每天只需1人值班,則不同的排班方法有 (　 )
A.12種 B.24種
C.64種 D.81種
變式 為促進中學生綜合素質全面發展,某校開設了5個社團,甲、乙、丙三名同學每人只報名參加1個社團,則不同的報名方式共有 (　 )
A.60種 B.120種
C.125種 D.243種
[素養小結]
利用分步乘法計數原理計數時的解題流程
[提醒] 分步時要注意不能遺漏步驟,否則就不能完成這件事.
◆ 探究點三　分步、分類計數原理綜合應用
例3 現從高二年級4個班的學生中共抽取34人,其中甲、乙、丙、丁班分別有7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數學課外活動小組.
(1)選其中1人為負責人,有多少種不同的選法
(2)每班選1名組長,有多少種不同的選法
(3)推選2人發言,這2人需來自不同的班級,有多少種不同的選法
變式 [2024·江西上饒玉山二中高二月考] 某學校派出五名教師去三所鄉村學校支教,其中有一對教師夫婦參與支教活動.根據相關要求,每位教師只能去一所學校參與支教,并且每所學校至少有一名教師參與支教,同時要求教師夫婦必須去同一所學校支教,則不同的安排方案有 (　 )
A.18種 B.24種
C.36種 D.48種
[素養小結]
利用兩個計數原理解題時的三個注意點
(1)當題目無從下手時,可考慮要完成的這件事是什么,即怎樣做才能完成這件事,然后給出完成這件事的一種或幾種方法,從而歸納出解題方法.
(2)分類時標準要明確,做到不重不漏,有時要恰當畫出示意圖,使問題的分析更直觀、清楚,以便于探索規律.
(3)綜合問題在求解過程中一般先分類再分步.
§1　基本計數原理
1.1　分類加法計數原理
1.2　分步乘法計數原理
【課前預習】
知識點一
n類　m1　m2　mn　m1+m2+…+mn
診斷分析 (1)×　(2)√
知識點二
n個　m1　m2　mn　m1·m2·…·mn
診斷分析 (1)√　(2)√
【課中探究】
例1　D　[解析] 根據分類加法計數原理可知,共有4+3+1=8(種)不同的走法.故選D.
變式　A　[解析] 從該班男生中選一名學生為數學課代表有22種方法,從該班女生中選一名學生為數學課代表有18種方法,故不同的選法共有22+18=40(種).故選A.
拓展　C　[解析] 按照可能脫落的個數分類討論,若脫落1個,則有(1),(4),共2種情況;若脫落2個,則有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種情況;若脫落3個,則有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4種情況;若脫落4個,則有(1,2,3,4),共1種情況.綜上,共有2+6+4+1=13(種)情況.故選C.
例2　C　[解析] 根據題意,第一天值班可以安排4名職員中的任意一人,有4種排班方法.同理第二天和第三天也有4種排班方法,根據分步乘法計數原理可知,不同的排班方法有4×4×4=64(種),故選C.
變式　C　[解析] 由題意知,甲、乙、丙三名同學每人只報名參加1個社團,所以每個人有5種選擇,則不同的報名方式共有5×5×5=125(種),故選C.
例3　解:(1)分四類:第一類,從甲班的學生中選1人,有7種選法;第二類,從乙班的學生中選1人,有8種選法;第三類,從丙班的學生中選1人,有9種選法;第四類,從丁班的學生中選1人,有10種選法.所以不同的選法共有7+8+9+10=34(種).
(2)分四步,第一、二、三、四步分別是從甲、乙、丙、丁班的學生中選1名組長,所以不同的選法共有7×8×9×10=5040(種).
(3)分六類,每一類又分兩步:從甲、乙班的學生中各選1人,有7×8=56(種)不同的選法;從甲、丙班的學生中各選1人,有7×9=63(種)不同的選法;從甲、丁班的學生中各選1人,有7×10=70(種)不同的選法;從乙、丙班的學生中各選1人,有8×9=72(種)不同的選法;從乙、丁班的學生中各選1人,有8×10=80(種)不同的選法;從丙、丁班的學生中各選1人,有9×10=90(種)不同的選法.所以不同的選法共有56+63+70+72+80+90=431(種).
變式　C　[解析] 先將五個人分為三組,每組的人數分別為3,1,1或2,2,1.若三組的人數分別為3,1,1,則教師夫婦必在三人的一組,則教師夫婦這組還需從剩余的三人中抽一人,此時不同的分組方法有3種;若三組的人數分別為2,2,1,則兩人一組的有一組是教師夫婦,只需將剩余三人分為兩組,且這兩組的人數分別為2,1,此時不同的分組方法有3種.接下來,將所分的三組分配給三所不同的學校,因此不同的安排方案有(3+3)×6=6×6=36(種).故選C.

展開更多......

收起↑