資源簡介

第2課時　點到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式
【學習目標】
　　1.探索并掌握平面上點到直線的距離公式.
　　2.會求兩條平行直線間的距離.
【課前預習】
◆ 知識點一　點到直線的距離公式
已知點P(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0(A,B不全為0),則點P到直線l的距離d=　　　　　　.
證明點到直線距離的方法如下:
1.定義法
根據定義,點P到直線l的距離就是點P到直線l的垂線段的長.如圖,過點P(x0,y0)作直線l:Ax+By+C=0(A≠0)的垂線l',垂足為Q,由l'⊥l可知l'的斜率為　　　,∴l'的方程為y-y0=(x-x0),與l的方程聯立,得交點Q,∴|PQ|=.
可以驗證,當A=0時,上述公式仍然成立.
2.向量法
如圖,設直線l:Ax+By+C=0的一個法向量為n=(A,B),M(x1,y1)為直線l上任意一點,P(x0,y0),則=(x1-x0,y1-y0).從而點P到直線l的距離d=　　　　==
.
∵點M在直線l上,∴Ax1+By1+C=0,從而d==.
【診斷分析】 (1)點P(-1,0)到直線l:x+y-4=0的距離為　　　　.
(2)點P(x0,y0)到直線y=a的距離為　　　　.
◆ 知識點二　兩條平行直線間的距離
1.定義:夾在兩條平行直線間的　　　　　　的長,稱為兩條平行直線間的距離.
2.求法:轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離.
3.公式:兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不全為0,且C1≠C2)之間的距離d=　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)已知直線l1:x=x1,l2:x=x2,則直線l1,l2間的距離為|x2-x1|. (　 )
(2)已知兩條平行直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則直線l1,l2間的距離為. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點一　點到直線的距離公式
例1 (1)在平面直角坐標系中,點P(0,-1)到直線y=x-3的距離為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.
C.2 D.
(2)點P0(0,2)到直線y=3的距離是　　　　.
變式 (1)(多選題)已知點(1,m)到直線x+y-2=0的距離等于1,則m的值可以是 (　 )
A.1- B.1+
C.-1 D.3
(2)垂直于直線x+3y-5=0且與點P(-1,0)的距離是的直線l的方程是　　　　　　　　　　　.
[素養小結]
求點到直線的距離的方法
(1)求點到直線的距離時,只需把直線方程化為一般式,直接應用點到直線的距離公式求解即可.
(2)對于與坐標軸平行(或重合)的直線x=a或y=b,求點P(x0,y0)到它們的距離時,既可以用點到直線的距離公式,也可以直接寫成d=|x0-a|或d=|y0-b|.
(3)已知點到直線的距離求參數時,只需根據點到直線的距離公式列方程求解參數即可.
◆ 探究點二　兩條平行直線間的距離公式
例2 平行直線l1:3x-4y+10=0與l2:6x-8y-5=0之間的距離為 (　 )
A. B.
C. D.
變式 (1)已知直線l與兩平行直線l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之間的距離相等,則l的方程為　　　　　　.
(2)已知直線l1,l2是分別經過A(1,1),B(0,-1)的兩條平行直線,當l1,l2間的距離為時,直線l1的方程是　　　　　　.
(3)[2024·甘肅白銀高二期末] 若直線l被兩平行直線l1:x+y+2=0與l2:x+y-2=0所截的線段的長為2,則直線l的傾斜角為 (　 )
A.165°或75° B.85°或45°
C.150°或30° D.75°或85°
[素養小結]
求兩平行直線間的距離一般有兩種方法:
(1)轉化法:將兩平行直線間的距離轉化為其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.由于結果與點的選擇無關,因此,選點時,常選取一個特殊點,如直線與坐標軸的交點等,以便于運算.
(2)公式法:直接用公式d=,但要注意兩直線方程中x,y的系數對應相等.
◆ 探究點三　最值問題
例3 (1)已知實數x,y滿足3x-4y-6=0,則的最小值為 (　 )
A.2 B.
C. D.
(2)已知實數x,y滿足xsin α+ycos α=3,則x2+y2的最小值為　　　　.
變式 (1)已知點(3,4)在直線ax+by-10=0(a,b∈R)上,則點(a,b)到原點的距離的最小值為 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)點P(a,b)到直線l1:5x-12y-6=0和直線l2:5x-12y+20=0的距離之差的絕對值的取值范圍是 (　 )
A.[0,2) B.[0,2]
C.(2,+∞) D.與a,b有關
[素養小結]
解決與直線有關的最值問題,常轉化為求解點到直線的距離或兩平行線間的距離的相關問題.
◆ 探究點四　對稱問題
例4 (1)求直線y=-4x+1關于點M(2,3)對稱的直線方程.
(2)求點A(-2,3)關于直線3x-y-1=0對稱的點A'的坐標.
(3)已知直線l1:3x-2y-6=0,直線l2:x-y-4=0,求l1關于l2對稱的直線方程.
變式 (1)直線l:y=2x-4關于點A(1,0)對稱的直線方程為 (　 )
A.y=2x B.y=-2x
C.y=2x-8 D.y=2x+4
(2)[2024·湖南常德高二期中] 若直線l1:2x-y+3=0關于直線l:x-y+2=0對稱的直線為l2,則l2的方程為 (　 )
A.2x+y+1=0 B.x+2y-1=0
C.x+y=0 D.x-2y+3=0
[素養小結]
與直線有關的對稱問題的求解規律:
(1)點關于點對稱,利用中點坐標(a,b)得到兩對稱點的坐標(x,y)和(x1,y1)的關系式
(2)直線關于點對稱,兩直線平行,斜率相等,再在已知直線上取點A,求點A關于已知點的對稱點A',進而可得直線方程.
(3)點關于直線對稱,依據兩對稱點的連線與對稱軸垂直,且兩對稱點的對稱中心在對稱軸上,列式求解.
(4)直線關于直線對稱,若兩直線相交,則三條直線交于一點,再轉化為求點關于直線的對稱點;若兩直線平行,則三條直線都平行,由平行直線系和兩條平行線間的距離公式即可求解.
拓展 已知直線l:x-2y+8=0和點A(2,0),B(-2,-4),若點P在直線l上,則當|PA|+|PB|取得最小值時,點P的坐標是　　　　.
第2課時　點到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式
【課前預習】
知識點一
1.　2.
診斷分析 (1)　(2)|y0-a|
知識點二
1.公垂線段　3.
診斷分析 (1)√　(2)×
【課中探究】
例1　(1)B　(2)1　[解析] (1)y=x-3可化為x-y-3=0,則點P(0,-1)到直線x-y-3=0的距離為=.故選B.
(2)因為直線y=3平行于x軸,所以所求距離d=|3-2|=1.
變式　(1)AB　(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0
[解析] (1)依題意有=1,即|m-1|=,得m=1±.故選AB.
(2)設與直線x+3y-5=0垂直的直線方程為3x-y+m=0,則由點到直線的距離公式知,==,可得|m-3|=6,即m-3=±6,解得m=9或m=-3,故所求直線l的方程為3x-y+9=0或3x-y-3=0.
例2　D　[解析] 方法一:在直線l1:3x-4y+10=0上取點A,則點A到直線l2:6x-8y-5=0的距離d==,則平行直線l1:3x-4y+10=0與l2:6x-8y-5=0之間的距離為.故選D.
方法二:將6x-8y-5=0化為3x-4y-=0,則兩平行直線間的距離d===. 故選D.
變式　(1)2x-y+1=0　(2)x+2y-3=0　(3)A
[解析] (1)設直線l的方程為2x-y+C=0,由題意得=,解得C=1,所以直線l的方程為2x-y+1=0.
(2)當直線l1,l2的斜率不存在時,兩直線間的距離為1,不滿足題意,故直線l1,l2的斜率存在,設為k,則直線l1,l2的方程分別是y-1=k(x-1),y+1=kx,因此兩平行直線間的距離d==,依題意得=,解得k=-,所以直線l1的方程為y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
(3)在平面直角坐標系中作出直線l1,l2,如圖所示,在直線l1上取點A,過點A作AB⊥l2,垂足為B.因為直線l1:x+y+2=0與直線l2:x+y-2=0平行,所以l1,l2之間的距離為=2,即|AB|=2.
設直線l過點A且與直線l2交于點C,則|AC|=2.因為AB⊥BC,且|AB|=2,|AC|=2,所以∠ACB=45°,即直線l與直線l2的夾角為45°.因為直線l2的斜率為-,所以l2的傾斜角為120°.當直線l在l'的位置時,直線l的傾斜角為120°+45°=165°;當直線l在l″的位置時,直線l的傾斜角為120°-45°=75°.所以直線l的傾斜角為165°或75°.故選A.
例3　(1)A　(2)9　[解析] (1)=,它表示點A(0,1)與直線3x-4y-6=0上的動點P(x,y)之間的距離,其最小值為點A到直線3x-4y-6=0的距離,為=2,故選A.
(2)易知x2+y2表示點(x,y)到點(0,0)的距離的平方.因為點(x,y)在直線xsin α+ycos α-3=0上,所以點(x,y)到點(0,0)的距離的最小值為=3,所以x2+y2的最小值為9.
變式　(1)B　(2)B　[解析] (1)∵點(3,4)在直線ax+by-10=0上,∴3a+4b-10=0,則點(a,b)在直線3x+4y-10=0上,可知點(a,b)到原點的距離的最小值等于原點到直線3x+4y-10=0的距離,為=2.故選B.
(2)因為直線l1:5x-12y-6=0與直線l2:5x-12y+20=0平行,所以兩條直線之間的距離為=2.當點P(a,b)在兩條直線之間時,點P(a,b)到直線l1和直線l2的距離之差的絕對值在[0,2)內;當點P(a,b)在其中一條直線上或者在兩條直線之外時,點P(a,b)到直線l1和直線l2的距離之差的絕對值等于2.綜上可得,點P(a,b)到直線l1和直線l2距離之差的絕對值的取值范圍是[0,2],故選B.
例4　解:(1)設P(x,y)是待求直線上任意一點,Q(x0,y0)為P點關于點M(2,3)的對稱點,則Q點在直線y=-4x+1上,即y0=-4x0+1.由題意得得把代入y0=-4x0+1,得4x+y-21=0,
故所求的直線方程為4x+y-21=0.
(2)設A'(x0,y0),由題意,得解得所以點A關于直線3x-y-1=0對稱的點A'的坐標為(4,1).
(3)取所求直線上任意一點M(x,y),設M關于直線l2:x-y-4=0的對稱點為N(x1,y1),則
解得易知點N(x1,y1)在直線l1:3x-2y-6=0上,即3x1-2y1-6=0,所以3(y+4)-2(x-4)-6=0,化簡得2x-3y-14=0,即所求直線方程為2x-3y-14=0.
變式　(1)A　(2)D　[解析] (1)因為A(1,0)不在直線l:y=2x-4上,所以可設直線l:y=2x-4關于點A(1,0)對稱的直線方程為y=2x+b,則=,解得b=0或b=-4(舍去),故所求直線方程為y=2x.故選A.
(2)由解得即直線l1與直線l的交點為(-1,1).易知點A(0,3)在直線l1上,設A關于直線l的對稱點為A1(a,b),則解得即A1(1,2),所以直線l2的斜率k==,從而直線l2的方程為y-2=(x-1),即x-2y+3=0.故選D.
拓展　(-2,3)　[解析] 設點A(2,0)關于直線x-2y+8=0對稱的點為A'(a,b),則解得即A'(-2,8).易知|PA|=|PA'|,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,當A',P,B三點共線時,|PA|+|PB|取得最小值,此時點P的橫坐標為-2,則P(-2,3).

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