資源簡介

1.6　平面直角坐標系中的距離公式
第1課時　兩點間的距離公式
【學習目標】
　　探索并掌握平面上兩點間的距離公式.
【課前預習】
◆ 知識點　兩點間的距離公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點間的距離公式為|P1P2|=　　　　　　　　.
(1)當直線P1P2平行于x軸時,|P1P2|=　　　　;
(2)當直線P1P2平行于y軸時,|P1P2|=　　　　;
(3)特別地,原點O(0,0)與任一點P(x,y)間的距離|OP|=.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)點P1(0,a),點P2(b,0)之間的距離為a-b. (　 )
(2)點P1(a,0),點P2(b,0)之間的距離為a-b. (　 )
(3)已知點P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,y1≠y2,則|P1P2|=|y2-y1|. (　 )
(4)當A,B兩點的連線與坐標軸平行或垂直時,兩點間的距離公式不適用. (　 )
2.(1)已知平面上的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),直線AB的斜率為k,用含k的式子表示y1-y2.
(2)已知平面上的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),直線AB的斜率為k,如何用含k,x1,x2的關系式表示A,B兩點間的距離
【課中探究】
◆ 探究點一　求兩點間的距離
例1 (1)[2024·烏魯木齊高二期中] 已知三角形的三個頂點為A(2,-1),B(3,2),C(-5,4),則BC邊上的中線AD的長為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.5 C.9 D.25
(2)(多選題)直線x+y-1=0上與點P(-2,3)的距離等于的點的坐標可以是 (　 )
A.(-4,5) B.(-1,2)
C.(-3,4) D.(1,-5)
變式 已知△ABC的三個頂點分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)求BC邊上的中線AM的長.
[素養小結]
(1)求兩點間的距離或者利用兩點間的距離求參數時應用距離公式直接求解或建立方程求解;
(2)運用兩點間的距離判斷三角形或四邊形的形狀時,先利用直線方程判斷位置關系,再用距離公式求出線段長度.
若四邊形的兩組對邊分別平行,則該四邊形是平行四邊形,進而再判斷四邊形是否是矩形、菱形;若四邊形只有一組對邊平行,則該四邊形是梯形,進而再判斷四邊形是否是等腰梯形、直角梯形;若四邊形的兩組對邊均不平行,則四邊形為一般四邊形.
拓展 [2024·福州高二期中] 我國著名數學家華羅庚先生曾說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微;數形結合百般好,隔離分家萬事休.”事實上,很多代數問題可以轉化為幾何問題求解,如:求的最小值可以轉化為求點(x,y)到點(a,b)的距離的最小值,則+的最小值為 (　 )
A.3 B.2+1
C.2 D.
◆ 探究點二　已知兩點間的距離求參數
例2 已知A(a,-5)與B(0,10)兩點間的距離是17,則a的值為 (　 )
A.8 B.2
C.±2 D.±8
變式 已知點A(-3,4),B(2,),在x軸上有一點P,使|PA|=|PB|,求點P的橫坐標x.
[素養小結]
在利用兩點間的距離求參數時,一定要檢驗參數是否有意義.
◆ 探究點三　已知兩點間的距離求直線方程
例3 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直線l:y=kx-1上的兩點,若|y2-y1|=2,且|AB|=2,求直線l的方程.
變式 已知點A(3,1)到直線l:ax-y+b=0上一點B(1,a)的距離為2,則直線l的方程為　　　　　　　　　　　.
[素養小結]
利用兩點間距離公式求直線方程(通常含有參數)時,一般根據兩點間距離公式列出含有參數的方程,通過解得參數的值,求得直線方程.
1.6　平面直角坐標系中的距離公式
第1課時　兩點間的距離公式
【課前預習】
知識點
　(1)|x2-x1|　(2)|y2-y1|
診斷分析 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.解:(1)∵k=,∴y1-y2=k(x1-x2).
(2)|AB|==
=·|x1-x2|.
【課中探究】
例1　(1)B　(2)BC　[解析] (1)因為BC邊的中點為D,所以點D的坐標為,即(-1,3),故BC邊上的中線AD的長為=5.故選B.
(2)設所求點的坐標為(x0,y0),則x0+y0-1=0,且=,兩式聯立解得或所以所求點的坐標為(-1,2)或(-3,4).故選BC.
變式　解:(1)因為|AB|==2,|AC|==2,
|BC|==2,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以AB⊥AC,
又|AB|=|AC|,所以△ABC是等腰直角三角形.
(2)設點M的坐標為(x,y),因為點M為BC邊的中點,所以x==2,y==2,即點M的坐標為(2,2).由兩點間的距離公式得|AM|==,所以BC邊上的中線AM的長為.
拓展　D　[解析] +=
+,則原問題等價于求點P(x,0)到點A(0,1),B(2,2)的距離之和的最小值.作出點A關于x軸對稱的點A'(0,-1),顯然當B,P,A'三點共線時,點P到點A,B的距離之和取得最小值,最小值為B,A'之間的距離,為=.故選D.
例2　D　[解析] 由兩點間的距離公式得=17,解得a=±8.故選D.
變式　解:由題可知點P(x,0),則|PA|==,|PB|==.
由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,解得x=-.
例3　解:由題意知,|AB|===|y1-y2|,故×2=2,可得k=±1,則直線l的方程為y=±x-1.
變式　3x-y=0或x+y=0　[解析] 由題知,|AB|==2,解得a=3或a=-1.因為點B在直線l上,所以b=0,所以直線l的方程為3x-y=0或x+y=0.

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