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高中對稱性問題總結

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高中對稱性問題總結

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函數對稱性的探究
黃忠源
摘要: 函數是中學數學的主線,而對稱性是函數的重要性質之一.本文討論了一個函數關于點對稱、關于直線對稱的情形并給出了2個定理,也討論了兩個函數關于點對稱、關于直線對稱的問題并給出了5個定理,同時也討論了兩個關于點對稱或關于直線對稱的函數和、差、積的對稱問題.最后本文還就函數對稱性、周期性、奇偶性三者關系進行了簡單的探究.
關鍵詞: 函數,點對稱,直線對稱,周期性,奇偶性
1 關于點的對稱
1.1一個對象關于點的對稱(中心對稱).
定理1 函數的圖象關于點對稱的充要條件是:
證明 (必要性)設點是圖象上的任意一點,因為點關于的對稱點也在圖象上,所以即所以有,必要性得證.
(充分性)設點是圖象上的任意一點,則
因為,即,故點也在圖象上,而點與點關于點對稱,充分性得證.
宗上,證畢.
推論 函數的圖象關于原點對稱的充要條件是
1.2兩個對象關于點的對稱
定理2 函數與的圖象關于點成中心對稱.
證明 設點為函數圖象上的任意一點,則由函數可知為函數圖象上的一點,而點與點關于對稱.反之也成立,所以原命題成立,得證.
定理3 已知函數,函數,則函數的圖象關于點成中心對稱.
證明 對按照向量進行平移,即有,即,其中是平移后的坐標。把代入得到平移后的函數為顯然為奇函數,即有關于點中心對稱.根據平移知識知關于點成中心對稱.
推論 函數 的圖象關于點成中心對稱
1.3兩個點對稱函數的和、差、積的對稱
定理4 設函數,的定義域都是,若與的圖象關于點對稱,則必有:
(1)函數的圖象關于點對稱;
(2)函數的圖象關于直線對稱;
(3)函數的圖象關于直線對稱.
證明 (1)設點為的圖象上的一點.
又設點在函數的圖象上則,因為函數與的圖象關于點對稱,所以點關于點的對稱點必在的圖象上,所以,從而有.
同理可證.于是由得即.
這表明點也在函數的圖象上,而點與關于點對稱,所以函數的圖象關于點對稱.
同理可證(2),(3).證畢.
因為與關于點對稱,所以得到如下推論.
推論 設函數,的定義域都是,對于任意,則必有.
(1)函數的圖象關于點對稱;
(2)函數的圖象關于直線對稱;
(3)函數的圖象關于直線對稱.
2關于直線的對稱。
2.1 一個對象自身的對稱(軸對稱)
定理5 函數的圖象關于直線對稱的充要條件是:

證明(必要性)設點是圖象上的任意一點,因為點關于直線對稱的點是,所以也在的圖象上即有即,必要性得證.
(充分性)設點是圖象上的任意一點,因為滿足,即有,說明也在圖象上,又因為與關于直線對稱且是圖象上的任意一點,所以函數的圖象關于直線對稱,充分性得證.
推論 函數的圖象關于軸對稱的充要條件是
2.2兩個對象關于直線的對稱問題
定理6 設函數的定義域為,則有下列命題成立.
(1)函數與的圖象關于直線成軸對稱.
(2)函數與的圖象關于直線成軸對稱.
(3)函數與的圖象關于直線成軸對稱.
證明 (1)(2)易證,現證明(3).設點為函數圖象上的任意一點,則。記點關于直線對稱的點為,則有,所以有,代入之中得到所以點在函數的圖象上。
同理可證:函數的圖象上任意一點關于直線的軸對稱的點也在函數的圖象上。故命題(3)成立.
推論 函數的圖象與成軸對稱,對稱軸為,即與互為反函數.
定理7 已知函數,函數,則函數的圖象關于直線成軸對稱.
證明 函數的定義域為,要使函數有意義,只需:且.
記集合,則函數的定義域為,下面證明:
…………………………..①
事實上,且且
且.
在函數的圖象上任取一點,則它關于直線的對稱點為.因點在圖象上,有:
…………………….②
,由①知:,即在點處有意義.
所以
…………………………………….③
由②③得:,即點在的圖象上,所以函數的圖象關于直線成軸對稱.
由以上定理及圖象平移知識易得:
推論 函數的圖象關于直線成軸對稱.
根據以上證明思路容易證明.
定理8 已知函數,函數,則函數的圖象關于直線成軸對稱.
推論 函數的圖象關于直線成軸對稱.
2.3三角函數的對稱問題(引用).
三角函數的對稱性是一種重要的性質,涉及這方面的內容的題目,在高考試題中經常出現,是一個常考的高考熱點.于正弦型函數、余弦型函數與正切型函數的對稱性一般需要根據基本函數、、的對稱性進行求解,下面對這類問題進行歸類分析.
首先,先明確以下結論:
函數的圖象的對稱軸方程為,對稱中心坐標為.
函數的圖象的對稱軸方程為,對稱中心坐標為.
函數的圖象無對稱軸,但具有對稱中心,其坐標為.
下面根據以上三個結論結合例題求解與三角函數對稱性有關的四大類問題.
2.3.1(問題一)如何根據函數解析式確定函數的對稱軸?
函數的圖象的一條對稱軸方是……………………..()
A B C D
解:由得圖象的對稱軸方程為.由時, 故選擇A
函數的圖象的一條對稱軸方程是………….()
A B C D
解:由 得圖象的對稱軸方程為.當時,故選擇B
2.3.2(問題二)如何根據函數解析式確定圖象的對稱中心?.
函數的圖象的一個對稱中心是…………()
A B C D
解:由得,對稱中心為.當時,即為,所以選擇B
求函數圖象的一個對稱中心……….()
A B C D
解:由,得 ,當時,,所以一個對稱中心為,故選擇C
函數的對稱中心是……….()
A B C D
解:由,得 ,當時,,所以一個對稱中心為,故選擇D
2.3.3(問題三)如何根據函數圖象的對稱軸確定函數的解析式?.
如果函數的圖象關于直線對稱,那么等于.()
A B C D
解:由三角函數的性質知,當時函數取最大值或最小值.所以由題設條件知,函數的最大值為最小值為,
而當時,所以有解得故選擇D
另解:因為是該函數的一條對稱軸,所以對定義域上的任何值都成立,
令,則有,,所以有故選擇D
下列函數中,周期為,圖象關于直線對稱的函數是..()
A B
C D
解:選項A,B中的函數的周期均為,所以排除A和B,在C中,由得對稱軸為,又由,得所以選項C也不對,所以選擇D
2.3.4(問題四)如何根據圖象的對稱中心確定函數解析式?.
例8,函數的圖象的一個對稱中心是,則可取…()
A B C D
解:由得,所以對稱中心為,由,得到,當時,故選擇B
2.4兩個軸對稱函數的和、差、積的對稱
定理9 設函數,的定義域都是,若與的圖象關于直線對稱,則必有:
函數的圖象關于直線對稱;
函數的圖象關于點對稱;
函數的圖象關于直線對稱。
證明 (1)設點為的圖象上的一點,則有
又設點在函數的圖象上則,因為函數與的圖象關于直線對稱,所以點關于直線的對稱點必在的圖象上,所以,從而有.
同理可證.于是由得
這表明點也在函數的圖象上,而點與關于直
線對稱,所以函數的圖象關于直線對稱.
同理可證(2),(3).證畢.
因為與的圖象關于直線對稱,所以由定理5得到:
推論 設函數的定義域為,對任意的,則必有:
函數的圖象關于直線對稱;
函數的圖象關于點對稱;
(3)函數的圖象關于直線對稱.
3函數對稱性與周期性的關系.
函數的對稱性和周期性有怎樣的關系呢?下面給出兩個探索和兩個定理.
探索一、①是定義在上的偶函數;
②的圖象關于直線對稱;
③是以為周期的周期函數.
如果將以上中的兩個作為條件,余下一個作為結論,那么構趁的三個命題是否都為真命題?
分析:①②→③:
因為的圖象關于直線對稱,所以有所以就有,又為偶函數,所以有.所以有,故是以為周期的周期函數.
①③→②:
因為為偶函數,所以,又,所以有即有,所以有,所以的圖象關于直線對稱.
②③→①
因為的圖象關于直線對稱,所以有,即有,又因為是以為周期的周期函數,所以有,所以有,即為偶函數.
根據以上結論,我們可以總結出:對于函數而言,如果具備:①是定義在上的偶函數,②的圖象關于直線對稱,③是以為周期的周期函數;這三個性質中的任意兩個,那么便可以推導出它必具備余下一個性質.
若將此結論進一步推廣可得:
探索二、①的圖象關于直線對稱;
②的圖象關于直線對稱;
③是以為周期的周期函數.
如果將以上中的兩個作為條件,余下一個作為結論,那么構成的三個命題是否為真命題呢?
分析:①②→③.
設為函數圖象上的任意一點,因為的圖象關于直線對稱,所以點關于直線對稱的點必在的圖象上;
又因為的圖象關于直線對稱,所以點關于直線對稱的點也必在的圖象上;從而,故是以為周期的周期函數.
①③→②.
因為是以為周期的周期函數,所以;
又因為的圖象關于直線對稱,所以所以有;
所以有,即,即,所以有,故的圖象關于直線對稱.
②③→①
因為的圖象關于直線對稱,所以有,即.又因為是以為周期的周期函數,所以有.所以可得到,即有,即,所以的圖象關于直線對稱
定理10 一般地,函數滿足對于任意的實數都有和都成立(其中),即函數的圖象關于兩條直線和都對稱,則是周期函數,且周期是或.
證明 由及,得及,因而有,令,則所以有,所以是周期函數,且周期是或.
定理11 函數的圖象關于直線和點(其中)都對稱,那么函數是周期函數,且周期是或.
證明 因為關于直線對稱所以有,又關于點對稱所以有式子成立,得到
,令,則,因而有:
,即,所以
,所以有,所以是周期函數,且周期是或.
推論 若函數的圖象關于直線和原點對稱,則函數是周期函數,且周期為.
參考文獻
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溫和群,王紹峰.函數的奇偶性、周期性、對稱性三者關系的研究.教育實踐與研究(中學版).2006(5)
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宋春紅.運用對稱性構造全等三角形解題.初中數學教與學.2007(3).
Mercedes H. Rosas.the symmetric of fun_ction [J]. Annals of Combinatorics, Volume 6, Number 2.2002(11).
致 謝
在大學四年的學習過程中,我得到了數學系各位領導、老師及班級同學的熱心幫助和支持,使我能夠在以優異的成績完成學業之余,自身綜合能力也得到了極大限度的提高.在此謹向他們表示我最衷心的感謝!
感謝我的指導老師張軍亮教授,他嚴謹細致、一絲不茍的作風是我工作、學習的榜樣;他循循善誘的教導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪.
感謝和我一起走過大學四年的好朋友們,是她們一路的陪伴與愛護,才有了我現在的成績.她們是我成長的見證,有著值得我永遠珍惜的友情.她們的待人處事,治學態度將會影響我的一生.
在論文即將完成之際,我的心情無法平靜,從開始進入課題到論文的順利完成,有多少可敬的老師、同學、朋友給了我無言的幫助,在這里請接受我誠摯的謝意!再次對指導老師表示最誠摯的謝意和祝福!
04級(1)班黃忠源
2008年5月

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