資源簡介

(共22張PPT)
（華師大版）八年級
上
13.3.2 等腰三角形的判定
全等三角形
第13章
教學目標
01
新知導入
02
新知講解
03
課堂練習
04
課堂總結
05
作業布置
06
目錄
07
內容總覽
教學目標
教學目標：
1.能用所學的知識證明等腰三角形的判定定理與等邊三角形的判定定理.(重點)
2.能用等腰三角形性質定理與判定定理、等邊三角形的性質定理與判定定理解決有關問題.(難點)
新知講解
情境導入
我們知道，等腰三角形的兩個底角相等.反過來，在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它是等腰三角形嗎？
兩個角相等
等腰三角形
它會是等腰三角形嗎
新知講解
證明：畫∠BAC的平分線交BC于點D.
在△BAD和△CAD中，
∵∠B＝∠C（已知），
∠1＝∠2（角平分線的定義），
AD＝AD（公共邊），
∴ △BAD ≌ △CAD （A.A.S.），
∴ AB＝ AC（全等三角形的對應邊相等）.
已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C .
求證：AB=AC.
A
B
C
D
1
2
知識點 1 等腰三角形的判定
新知講解
等腰三角形的判定方法：
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．
等角對等邊
等邊對等角
∴ AC=AB ( ).
即△ABC為等腰三角形.
∵∠B=∠C ( ),
已知
等角對等邊
在△ABC中，
應用格式：
B
C
A
(
(
新知講解
文字語言 圖形語言 符號語言
等邊對等角
等角對等邊
∴∠B =∠C ( 等邊對等角）.
A
B
C
在△ABC中，
∵AC = AB (已知)，
∴AC = AB ( 等角對等邊）.
A
B
C
在△ABC中，
∵∠B =∠C (已知)，
它們的條件與結論正好調換了過來， 這也叫互逆命題.
新知講解
知識點 2 等邊三角形的判定
你可以證明嗎
1.已知：如圖，∠A= ∠ B=∠C.
求證： AB=AC=BC.
2.已知： 若AB=AC , ∠A=60°.
求證： AB=AC=BC.
證明：∵ ∠A= ∠ B,∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等邊三角形的兩個判定定理：
1.三個角都相等的三角形是等邊三角形；
2.有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.
新知講解
提煉概念
等腰三角形
邊
角
特殊線
對稱性
每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合(三條)
三個角都相等，
軸對稱圖形對稱軸（3條）
等邊三角形
軸對稱圖形對稱軸（1條）
兩個底角相等
底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合(1條)
且都是60°
兩條邊相等
三條邊都相等
等邊三角形性質歸納：
典例精析
如圖，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求證：AB＝AC.
例3
證明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的內角和等于180°），∠A＝40°，∠B＝70°（已知），
∴∠C＝180°－∠A－∠B（等式的性質）
＝180°－40°－70°＝70°，
∴∠C＝∠B（等量代換），
∴ AB＝AC（等角對等邊）.
新知講解
證明：∵ AB∥CD （已知）,
∴ ∠B= ∠2 （兩直線平行，同位角相等）.
又∵ ∠1=∠2,
∴ ∠B= ∠1（等量代換）.
∴ AB=AC（等角對等邊）.
如圖，AB//CD，∠1＝∠2 . 求證：AB＝AC.
例4
新知講解
證明：∵∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°，
∴∠B′C′B＝∠A′C′B′ ＋∠A′C′B＝180°，
即點B′、C′、B在同一條直線上.
在△A′B′B中，
∵ A′B′＝AB＝A′B，∴∠B＝∠B′（等邊對等角）
在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠ B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′，AC＝A′C′
∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（A.A.S.）
例5
如圖，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
說明：右側虛線△ABC由
左側實線△ABC平移翻折
而來，兩者全等.
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
1.在△ABC中，∠A和∠B的度數如下，能判定△ABC是等腰三角形的是 （ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°
D
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
B
C
D
A
E
2.如圖，等邊三角形ABC中,BD是AC邊上的中線,BD=BE,求∠EDA的度數.
解：
∵ △ABC是等邊三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC邊上的中線，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30 °.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°.
【綜合拓展類作業】
課堂練習
3.如圖，已知△ABC為等邊三角形，點E、F分別在邊AC、BC上，且AE=CF，AF與BE相交于點D.
(1)求證:△ABE≌△CAF;
(2)求∠BDF的度數.
解：(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF (SAS).
A
B
C
D
E
F
【綜合拓展類作業】
課堂練習
解：(2)∵△ABE≌△CAF,
∴∠ABE=∠CAF.
∴∠BDF=∠ABE+∠BAF
=∠CAF+∠BAF
=∠BAC=60°.
A
B
C
D
E
F
(2)求∠BDF的度數.
課堂總結
等腰三角形的判定
判定→等角對等邊
應用→證明同一個三角形中兩邊相等
等邊三角形→判定方法
證三個角都相等或有兩個角等于60°
先證等腰三角形，再證有一個角等于60°
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
1.如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則∠1=_____，∠2=_____，圖中的等腰三角形有___________________________.
36°
72°
△ABC
△DBA
△BCD
A
B
C
D
(
(
1
2
【知識技能類作業】選做題：
作業布置
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一點，過D作DE⊥BC于點E，并與CA的延長線相交于點F，試判斷△ADF的形狀，并說明理由.
解：△ADF是等腰三角形.
理由：在△ABC中.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°,
∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°，∴∠BDE=∠F.
∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠F，
∴AF=AD.
∴△ADF是等腰三角形.
A
B
C
E
D
F
作業布置
【綜合拓展類作業】
3、如圖，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．
(1) 線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；
B
C
A
M
N
解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
作業布置
【綜合拓展類作業】
(2) AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論．
B
C
A
F
E
M
N
(2)△CEF是等邊三角形．
證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等邊三角形．中小學教育資源及組卷應用平臺
分課時教學設計
第10課時《13.3.2 等腰三角形的判定》教學設計
課型 新授課口 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 理解并掌握“等角對等邊”，體會與“等邊對等角”的互逆關系，能夠利用三角形的識別方法去解決問題．
學習者分析 結合等腰三角形性質的探索與證明過程，體會軸對稱在研究幾何問題中的作用．
教學目標 1．掌握等腰三角形的判定定理，會用等腰三角形的判定進行簡單的推理、判斷及應用； 2．通過猜想的提出、定理與推論的證明、實際問題的解決及問題的變式引用．
教學重點 理解并掌握識別等腰三角形的方法．
教學難點 對邊角關系互相轉化的理解與運用．
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：教師活動1： 問題情境：指出“等腰三角形兩底角相等”這個命題的題設和結論是什么？將題設與結論互換得到新命題：“在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它是等腰三角形”這是真命題嗎？ 　 學生活動1： 教師鼓勵學生大膽表述意見，然后作適當點評， 借助生活實例讓學生獨立思考數學問題；從而揭示今天所學的課題， 活動意圖說明：激發學生興趣,引入新課主題，通過復習，引出新問題.結合等腰三角形性質的探索與證明過程，體會軸對稱在研究幾何問題中的作用． 環節二：教師活動2： 【自主探究】 閱讀教材，完成下面的內容： 如圖，在紙片上畫一個△ABC，使∠A＝∠B.沿過點C的直線把∠ACB對折，得∠ACB的平分線，交AB于D，則∠1＝∠2，又∠A＝∠B，由三角形內角和的性質得∠ADC＝__∠BDC__． 沿直線CD折疊，由于∠1＝∠2，線段CB與線段CA重合；由于∠ADC＝∠BDC，所以線段DB與線段DA重合；從而點B與點A重合，因此CB＝__CA__． 【合作探究】 問題1：“等角對等邊”這一命題的題設和結論是什么？請把語言文字轉化為幾何語言，寫出已知和求證．并用邏輯推理的方法加以證明． 問題2：你有和上面不同的輔助線作法嗎？ 請試一試．“作BC邊上的高AD”可行嗎？ 問題3：“三個角都相等的三角形是等邊三角形”這一命題的題設和結論是什么？請把語言文字轉化為幾何語言寫出已知和求證．并用邏輯推理的方法加以證明． 問題4：“有一個角等于60°的三角形是等邊三角形”這一命題的題設和結論是什么？請把語言文字轉化為幾何語言寫出已知和求證．并用邏輯推理的方法加以證明． 歸納：通過上述探究，我們得到以下結論： 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．(簡寫成“等角對等邊”) 由上述等腰三角形的判定定理，我們還可以得到等邊三角形的兩個判定定理： (1)三個角都相等的三角形是等邊三角形； (2)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．學生活動2： 學生自學、互動。在具體計算時，可以通過小組合作交流，放手讓學生去思考、討論，猜想、發現結論． 學生思考 活動意圖說明：從舊知識出發，呼應引課問題，學生通過自己解決問題，通過動手操作，探索并掌握識別一個三角形是等腰三角形的方法.環節三：教師活動3 例3：如圖，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求證：AB＝AC. 證明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的內角和等于180°），∠A＝40°，∠B＝70°（已知）， ∴∠C＝180°－∠A－∠B（等式的性質） ＝180°－40°－70°＝70°， ∴∠C＝∠B（等量代換）， ∴ AB＝AC（等角對等邊）. 例4：如圖，AB//CD，∠1＝∠2 . 求證：AB＝AC. 證明：∵ AB∥CD （已知）, ∴ ∠B= ∠2 （兩直線平行，同位角相等）. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠B= ∠1（等量代換）. ∴ AB=AC（等角對等邊）. 例5：如圖，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 證明：∵∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°， ∴∠B′C′B＝∠A′C′B′ ＋∠A′C′B＝180°， 即點B′、C′、B在同一條直線上. 在△A′B′B中， ∵ A′B′＝AB＝A′B，∴∠B＝∠B′（等邊對等角） 在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠ B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′，AC＝A′C′ ∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（A.A.S.） 學生活動3： 參與教師分析和講例題． 在學生自主、合作、探究后，學生解答． 活動意圖說明：熟練掌握.鞏固學的知識，學生通過自己解決問題，理解并掌握“等角對等邊”，體會與“等邊對等角”的互逆關系，能夠利用三角形的識別方法去解決問題．
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題 1.在△ABC中，∠A和∠B的度數如下，能判定△ABC是等腰三角形的是 （ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° 選做題： 2.如圖，等邊三角形ABC中,BD是AC邊上的中線,BD=BE,求∠EDA的度數. 【綜合拓展類作業】 3.如圖，已知△ABC為等邊三角形，點E、F分別在邊AC、BC上，且AE=CF，AF與BE相交于點D. (1)求證:△ABE≌△CAF; (2)求∠BDF的度數.
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1.如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則∠1=_____，∠2=_____，圖中的等腰三角形有____________________. 選做題： 2.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一點，過D作DE⊥BC于點E，并與CA的延長線相交于點F，試判斷△ADF的形狀，并說明理由. 【綜合拓展類作業】 3、如圖，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形． (1) 線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；(2) AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論．
教學反思
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學習任務單
課程基本信息
學科 數學 年級 七年級 學期 秋季
課題 13.3.2 等腰三角形的判定
教科書 書 名：義務教育教科書數學七年級上冊 出版社：浙江教育出版社
學生信息
姓名 學校 班級 學號
學習目標
1．掌握等腰三角形的判定定理，會用等腰三角形的判定進行簡單的推理、判斷及應用； 2．通過猜想的提出、定理與推論的證明、實際問題的解決及問題的變式引用．
課前學習任務
復習引入 復習回顧： 上節課我們學習了等腰三角形的哪些性質？
課上學習任務
【學習任務一】 下面有這樣一個問題：如圖，⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，一不留心，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊BC和一個底角C。同學們想一想，有沒有辦法把原來的等腰三角形ABC重新畫出來？大家試試看。 合作交流，探究新知 方法一: 先用量角器量出∠C的度數，然后以BC為 一邊B為頂點畫出∠B=∠C，∠B與∠C的 一邊相交于點A。 方法二 : 取BC邊上的中點D，用三角板過D作BC的垂線， 與∠C的一邊相交得到交點A，連接AB。 你們認為這樣畫出來的三角形都是等腰三角形嗎？ 要證明兩條線段相等，常用什么方法？（添輔助線） 【學習任務二】 【合作探究】 問題1：“等角對等邊”這一命題的題設和結論是什么？請把語言文字轉化為幾何語言，寫出已知和求證．并用邏輯推理的方法加以證明． 問題2：你有和上面不同的輔助線作法嗎？ 問題3：“三個角都相等的三角形是等邊三角形”這一命題的題設和結論是什么？請把語言文字轉化為幾何語言寫出已知和求證．并用邏輯推理的方法加以證明． 問題4：“有一個角等于60°的三角形是等邊三角形”這一命題的題設和結論是什么？請把語言文字轉化為幾何語言寫出已知和求證．并用邏輯推理的方法加以證明． 歸納：通過上述探究，我們得到以下結論： 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．(簡寫成“等角對等邊”) 由上述等腰三角形的判定定理，我們還可以得到等邊三角形的兩個判定定理： (1)三個角都相等的三角形是等邊三角形； (2)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形． 【學習任務三】 例3：如圖，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求證：AB＝AC. 例4：如圖，AB//CD，∠1＝∠2 . 求證：AB＝AC. 例5：如圖，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 【學習任務四】課堂練習 必做題： 1.在△ABC中，∠A和∠B的度數如下，能判定△ABC是等腰三角形的是 （ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° 選做題： 2.如圖，等邊三角形ABC中,BD是AC邊上的中線,BD=BE,求∠EDA的度數. 【綜合拓展類作業】 3.如圖，已知△ABC為等邊三角形，點E、F分別在邊AC、BC上，且AE=CF，AF與BE相交于點D. (1)求證:△ABE≌△CAF; (2)求∠BDF的度數. 【知識技能類作業】 必做題： 1.如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則∠1=_____，∠2=_____，圖中的等腰三角形有____________________. 選做題： 2.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一點，過D作DE⊥BC于點E，并與CA的延長線相交于點F，試判斷△ADF的形狀，并說明理由. 【綜合拓展類作業】 3、如圖，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形． (1) 線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；(2) AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論．
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