資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題36 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 4
【考點突破】 19
【考點1】基本立體圖形 19
【考點2】表面積與體積 25
【考點3】與球有關(guān)的切、接問題 32
【分層檢測】 40
【基礎篇】 40
【能力篇】 51
【培優(yōu)篇】 59
考試要求：
1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).
2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.
3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.
1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似
側(cè)棱 平行且相等 相交于一點，但不一定相等 延長線交于一點
側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓面
側(cè)面展開圖 矩形 扇形 扇環(huán)
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法.
(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?
3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側(cè)面展開 圖
側(cè)面積公 式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l
4.柱、錐、臺、球的表面積和體積
名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
1.正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長為a，球的半徑為R，
(1)若球為正方體的外接球，則2R＝a；
(2)若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；
(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
2.長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
3.正四面體的外接球的半徑R＝a，內(nèi)切球的半徑r＝a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長).
4.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖＝S原圖形.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2023·全國·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
8．（2022·全國·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
9．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為 ．
10．（2023·全國·高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則 ．
11．（2023·全國·高考真題）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是 ．
12．（2023·全國·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個公共點．
13．（2023·全國·高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為 ．
四、解答題
14．（2022·全國·高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點．
(1)證明：平面平面ACD；
(2)設，點F在BD上，當?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B A C C CD
1．B
【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求得，進而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.
【詳解】解法一：分別取的中點，則，
可知，
設正三棱臺的為，
則，解得，
如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設，
則，，
可得，
結(jié)合等腰梯形可得,
即，解得，
所以與平面ABC所成角的正切值為；
解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，
則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，
因為，則，
可知，則，
設正三棱錐的高為，則，解得，
取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，
所以與平面ABC所成角的正切值.
故選：B.
2．A
【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.
【詳解】取中點，連接，如圖，
是邊長為2的等邊三角形，，
，又平面，，
平面，
又，，
故，即，
所以，
故選：A
3．C
【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.
【詳解】法一：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，則，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，
在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因為，所以，
即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
4．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.
【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，
，，由的面積為，得，
解得，于是，
所以圓錐的體積.
故選：B
5．A
【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．
【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．

6．C
【分析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，
則，
所以，
又，
則，
所以，
所以甲圓錐的高，
乙圓錐的高，
所以.
故選：C.
7．C
【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式
設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，
設四邊形ABCD對角線夾角為，
則
（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）
即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為
又設四棱錐的高為，則，
當且僅當即時等號成立.
故選：C
[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式
由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，
(當且僅當，即時，等號成立)
所以該四棱錐的體積最大時，其高.
故選：C．[方法三]：利用導數(shù)求最值
由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設，則，
，，單調(diào)遞增， ，，單調(diào)遞減，
所以當時，最大，此時．
故選：C.
【點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；
方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．
8．CD
【分析】直接由體積公式計算，連接交于點，連接，由計算出，依次判斷選項即可.
【詳解】
設，因為平面，，則，
，連接交于點，連接，易得，
又平面，平面，則，又，平面，則平面，
又，過作于，易得四邊形為矩形，則，
則，，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.
故選：CD.
9．
【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計算即可得解.
【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為，
，
所以.
故答案為：.
10．2
【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.
【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，
設的外接圓圓心為，半徑為，
則，可得，
設三棱錐的外接球球心為，連接，則，
因為，即，解得.
故答案為：2.
【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法
（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；
（2）若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；
（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；
（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．
11．
【分析】當球是正方體的外接球時半徑最大，當邊長為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時半徑達到最小.
【詳解】設球的半徑為.
當球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，
正方體的外接球直徑為體對角線長，即，故；

分別取側(cè)棱的中點，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對角線交點，
連接，則，當球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達到最小，即的最小值為.
綜上，.
故答案為：
12．12
【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.
【詳解】不妨設正方體棱長為2，中點為，取，中點，側(cè)面的中心為，連接，如圖，
由題意可知，為球心，在正方體中，，
即，
則球心到的距離為，
所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，
同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，
所以以EF為直徑的球面與正方體棱的交點總數(shù)為12.
故答案為：12
13．/
【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.
【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，

因為，
則，
故，則，
所以所求體積為.
故答案為：.
14．(1)證明詳見解析
(2)
【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.
（2）首先判斷出三角形的面積最小時點的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.
【詳解】（1）由于，是的中點，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系
依題意，，三角形是等邊三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以當最短時，三角形的面積最小
過作，垂足為，
在中，，解得，
所以，
所以
過作，垂足為，則，所以平面，且，
所以，
所以.
[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換
，，
是邊長為2的等邊三角形，
連接
【考點1】基本立體圖形
一、單選題
1．（2024·遼寧·模擬預測）在正四棱柱中，為線段的中點，一質(zhì)點從點出發(fā)，沿長方體表面運動到達點處，若沿質(zhì)點的最短運動路線截該正四棱柱，則所得截面的面積為（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖， 四棱錐 截取自邊長為1 的正方體.其中 平面且 是線段 上靠近 的三等分點， 是線段 上最靠近 B的四等分點，M，N 分別是棱 和 上的動點且恒有， 垂足為H， 則 的最小值為（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
3．（2025·甘肅張掖·模擬預測）如圖所示，四面體的各棱長均為分別為棱的中點，為棱上異于頂點的點，則以下結(jié)論正確的為（ ）
A．
B．直線與所成角的余弦值為
C．四面體的外接球體積為
D．平面截四面體所得的截面圖形的周長最小值為8
4．（21-22高三上·重慶九龍坡·階段練習）一個平面α斜截一個足夠高的圓柱，與圓柱側(cè)面相交的圖形為橢圓E.若圓柱底面圓半徑為r，平面α與圓柱底面所成的銳二面角大小為θ，則下列對橢圓E的描述中，正確的是（ ）
A．短軸為2r，且與θ大小無關(guān) B．離心率為cos θ，且與r大小無關(guān)
C．焦距為2r tan θ D．面積為
三、填空題
5．（2024·河北保定·三模）已知為圓錐的頂點，為該圓錐底面的一條直徑，若該圓錐的側(cè)面積為底面積的3倍，則 .
6．（2024·陜西·二模）降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：）．氣象學中，把24小時內(nèi)的降雨量叫作日降雨量，等級劃分如下表：
日降雨量
等級 小雨 中雨 大雨 暴雨
某數(shù)學建模小組為了測量當?shù)啬橙盏慕涤炅浚谱髁艘粋€圓臺形水桶，如圖所示，若在一次降雨過程中用此桶接了24小時的雨水恰好是桶深的，則當日的降雨量等級為 ．
參考公式：圓臺的體積，其中h為圓臺的高，，分別為圓臺的上底面、下底面的面積．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B C ABD ACD
1．B
【分析】根據(jù)正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離，進而可得截面與截面面積.
【詳解】如圖，把正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離，
（1） ，（2） ，（3）
（1），（2），（3），
所以質(zhì)點從到的最短距離為，
此時質(zhì)點從點出發(fā)，經(jīng)過上靠近的三等分點，再到達點，
面截正四棱柱所得截面為五邊形，如圖，
由，，
所以沿質(zhì)點的最短運動路線截正四棱柱，

則所得截面的面積為：
．
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖結(jié)合面積公式求出距離和的最小值.
【詳解】先把及展開在一個平面上，
當過點做的垂線垂足為,，當三點共線時即得的最小值，
因為是取自邊長為1的正方體，易知，且面，面，
所以，
，
，
，
在，等面積法得，
因為是靠近的三等分點，
所以，所以.
故選：C.

3．ABD
【分析】用向量的數(shù)量積可判斷A，用向量的夾角余弦公式可判斷B，把正四面體放入正方體中，求外接球體積，可判斷C，把四面體側(cè)面展開，即可求得平面截四面體所得的截面圖形的周長最小值，進而判斷D.
【詳解】由題意，，，
所以，
所以，故A正確；
因為為等邊三角形，為棱的中點，所以，
，同理，，，
因為分別為棱的中點，所以，，
又為等邊三角形，所以，，
，
設直線與所成角為，則，故B正確；
把四面體放入正方體中，
則正方體的面對角線長度等于四面體的棱長，
所以正方體的棱長為，正方體的體對角線長為，
正方體的外接球半徑為，正方體的外接球體積為，
即四面體的外接球體積為，故C錯誤；
將四面體的側(cè)面展開如圖所示，連接，交于，
當時，平面截四面體所得的截面圖形的周長最小，
此時分別為的中點，
，
所以平面截四面體所得的截面圖形的周長最小值為.
故D正確.
故選：ABD.
4．ACD
【分析】由題設可得短軸長，長軸長，進而求出焦距、離心率，根據(jù)橢圓與底面圓的投影關(guān)系確定橢圓面積.
【詳解】由題意，橢圓短軸長，而長軸長隨變大為變長且，
所以，故，焦距為，
由橢圓在底面投影即為底面圓，則等于圓的面積與橢圓面積的比值，
所以橢圓面積為.
綜上，A、C、D正確，B錯誤.
故選：ACD
5．
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式，得到母線與底面半徑的關(guān)系，再代入余弦定理，即可求解.
【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線為，則，所以.
在中，由余弦定理知.
故答案為：
6．大雨
【分析】
根據(jù)圓臺的體積公式求出水桶水中的體積，進而求出當日降雨量，結(jié)合表格的數(shù)據(jù)即可下結(jié)論.
【詳解】由題意知，水桶的上底面半徑為，下底面半徑為，桶深為，
則水面半徑為，水深為，
所以水桶水中的體積為，
得當日降雨量為，所以當日的降雨量等級為大雨.
故答案為：大雨
反思提升：
空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.
(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.
(3)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”
(4)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：
S直觀圖＝S原圖形.
(5)幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.
【考點2】表面積與體積
一、單選題
1．（2024·河南駐馬店·二模）已知某正六棱柱的體積為，其外接球體積為，若該六棱柱的高為整數(shù)，則其表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，為球形物品設計制作正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒，最少用料分別記為，則它們的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知圓臺的上、下底面半徑分別為2，4，母線與底面所成的角為，則（ ）
A．該圓臺的母線長為 B．該圓臺的表面積為
C．該圓臺的體積為 D．該圓臺的外接球的表面積為
4．（2024·重慶·三模）已知在直三棱柱中，，直線與底面ABC所成角的正弦值為，則（ ）
A．直三棱柱的體積為
B．點到平面的距離為
C．當點為線段的中點時，平面平面
D．E，F(xiàn)分別為棱上的動點，當取得最小值時，
三、填空題
5．（2024·江西南昌·模擬預測）如圖所示，四邊形是邊長為4的正方形，分別為線段上異于點的動點，且滿足，點為的中點，將點沿折至點處，使⊥平面，則五棱錐體積的最大值為 .

6．（23-24高二下·山西晉城·階段練習）如圖裝滿水的圓臺形容器內(nèi)放進半徑分別為1和3的兩個鐵球，小球與容器底和容器壁均相切，大球與小球、容器壁、水面均相切，此時容器中水的體積為 .
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 D B ACD BC
1．D
【分析】根據(jù)正六棱柱的體積及外接球的體積列方程求解得出邊長及高最后求出表面積即可.
【詳解】設該正六棱柱的底面邊長為，高為，其外接球的半徑為，易知，則①，
且②，
聯(lián)立①②，因為，解得，
所以正六棱柱的表面積.
故選：D.
2．B
【分析】由題意包裝盒的最少用料為球形物品的外切多面體，根據(jù)多面體的結(jié)構(gòu)特征求出正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒的內(nèi)切球半徑與其表面積的關(guān)系，再進行比較.
【詳解】由題意包裝盒的最少用料為球形物品的外切多面體，下面求正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒的內(nèi)切球的半徑與其表面積的關(guān)系.
設球形物品的半徑為，則正方體的棱長為，表面積；
設正四面體的棱長為，則正四面體的表面積為，
如圖正四面體，由正四面體的對稱性與球的對稱性可知內(nèi)切球的球心在正四面體的高上，如圖，
底面等邊三角形的高，外接圓半徑，正四面體的高，
體積，
所以，又，所以，
所以正四面體的表面積；
設正八面體的棱長為，如圖，
在正八面體中連接，，，可得，，互相垂直平分，四邊形為正方形，，
在中，，
則該正八面體的體積，
該八面體的表面積，
因為，即，解得，
所以，
所以.
故選：B.
3．ACD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓臺的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及圓臺的表面積和體積公式，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)和球的表面積公式，即可求解.
【詳解】設圓臺上底面的半徑為，下底面的半徑為．
對于A中，由于母線與底面所成的角為，則母線長，所以A正確；
對于B中，圓臺的表面積
，所以B不正確；
對于C中，由圓臺的母線長為，且母線與底面所成的角為，
可得圓臺的高為，
則體積，所以C正確；
對于D中，設圓臺外接球的半徑為，球心到下底面的距離為，
若外接球的球心在圓臺下底面的下方，可得，解得，
此時圓臺外接球的表面積為；
若外接球的球心在圓臺上、下底面之間，可得，此時方程組無解，
綜上可得，圓臺外接球的表面積為.
故選：ACD.
4．BC
【分析】利用線面夾角及棱柱的體積公式可判定A，利用等體積法可判定B，利用線線垂直的判定與性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可判定C，利用多面體的展開圖計算最值可判定D.
【詳解】
對于A，由直三棱柱的特征可知，直線與底面ABC所成角為，
所以，
因為，所以，
則直三棱柱的體積為，故A錯誤；
對于B，由上可知平面，
因為平面，所以，則，
設點到平面的距離為，
易知，故B正確；
對于C，取的中點，易知在線上，，
由直三棱柱的特征知，
因為平面，
所以平面，而平面平面
因為平面，所以平面平面，故C正確；
對于D，將三棱柱側(cè)面展開，如下圖所示，
顯然取得最小值時，，故D錯誤.
故選：BC
5．/
【分析】設，根據(jù)題意得出五棱錐的體積為，利用導數(shù)法求解最值即可.
【詳解】設，因為，點為的中點，所以，
且，底面的面積為，
所以五棱錐的體積為.
則，令，得；令，得.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
故答案為：
6．
【分析】先由題意作出軸截面，根據(jù)四邊形，四邊形，四邊形，四邊形兩兩之間相似，可得，求出，由體積公式計算可得結(jié)果.
【詳解】大球體積，小球體積.
圓臺的高為.
根據(jù)切線長定理可得：，.
由圖易知四邊形，四邊形，四邊形，四邊形兩兩之間相似，
即.
解得：，則，
則圓臺體積為
則水的體積為：
.
故答案為：
反思提升：
1.空間幾何體表面積的求法
(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.
2.求空間幾何體的體積的常用方法
(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解；
(2)割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體；
(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.
【考點3】與球有關(guān)的切、接問題
一、單選題
1．（2024·浙江嘉興·模擬預測）已知四面體的每條棱長都為2，若球與它的每條棱都相切，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽·一模）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·江蘇南京·二模）在棱長為1的正方體中，、分別為、的中點，點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則三棱錐外接球的表面積為
B．若，則異面直線與所成角的余弦值為
C．若，則面積的最小值為
D．若存在實數(shù)使得，則的最小值為
4．（2024·湖北·二模）正方體中，，P在正方形內(nèi)（包括邊界），下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，則P點軌跡的長度為
B．三棱錐外接球體積的最小值是
C．若Q為正方形的中心，則周長的最小值為
D．
三、填空題
5．（2024·四川·模擬預測）在平面四邊形中，，將沿折起，使點到達，且，則四面體的外接球的體積為 ．

6．（2024·江西新余·二模）如圖1，在直角梯形中，，，，，，點E，F(xiàn)分別為邊，上的點，且，.將四邊形沿折起，如圖2，使得平面平面，點M是四邊形內(nèi)（含邊界）的動點，且直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，則當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為 .
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B A AD BCD
1．B
【分析】求正四面體的棱切球，轉(zhuǎn)化到正方體中即可.
【詳解】將正四面體補成一個正方體球與正四面體的棱都相切．
則球與正方體的內(nèi)切球，正方體邊長為，
故選：B.

2．A
【分析】根據(jù)題意，利用正弦、余弦定理，求得的外接圓的半徑，記的外心為，證得面，求得，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，列出方程求得球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.
【詳解】設的外接圓的半徑為，因為，
由余弦定理得，所以，
則，故，
記的外心為，連接，則
取的中點，連接，則，
又因為，可得，
因為，且平面,平面，
所以平面,平面，
又因為平面,平面，所以，
因為且平面，所以面，可得
由題意可得外接球的球心在上，設外接球的半徑為，
可得，解得，即，
所以球的表面積為．
故選：A.
3．AD
【分析】根據(jù)長方體的外接球即可求解A，建立空間直角坐標系，即可根據(jù)向量的坐標運算，結(jié)合模長公式以及夾角公式即可求解BD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得在線段上運動，，即可根據(jù)面積公式求解.
【詳解】A：由題意，與重合，
故三棱錐的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同，
故半徑，表面積為，故對；
B：以為原點建系，，，，，，
由，所以，
，，，故B錯；
C：由得，在線段上運動，設在底面的投影為，連接，
由于，所以，故，
連接相交于，連接，
，當重合時取等號，故C錯；

D：由
得，，，，
由可得，
所以，，，
當時，，故D正確.
故選：AD.
4．BCD
【分析】結(jié)合圓的定義及題目條件得點的軌跡，利用弧長公式判斷A，確定球的位置，利用球體積公式求解判斷B，作出Q關(guān)于平面的對稱點，利用三點共線最短求得最小值判斷C，建立空間直角坐標系，利用向量夾角的坐標公式計算化簡即可求解判斷D.
【詳解】因為，且，，所以，
取，的中點E，F(xiàn)，則，所以P點軌跡為圓弧EF，
因為，所以，A不正確；
由球的性質(zhì)知，三棱錐外接球的球心在過外接圓圓心的垂線上，
的外接圓的圓心為的中點，且半徑為，
當外接球半徑最小時，的外接圓是球的大圓，
所以球半徑R最小值為，外接球體積最小值是，B正確；
設Q關(guān)于平面的對稱點為，
則，
又，所以的周長，C正確；
分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，設，
則，，，，
所以，
，
，
所以.
D正確.
故選：BCD
【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：
（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應三角形，即可求出結(jié)果；
（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）的余弦值，即可求出結(jié)果.
5．
【分析】先求幾何體的邊長取的中點，，即可得出外接球的半徑，進而得出外接球的體積.
【詳解】由題意知，，
由勾股定理可知，，，
所以，
取的中點，所以，
所以四面體的外接球在斜邊的中點處，
四面體的外接球的半徑，
外接球的體積．
故答案為：.
6．60π
【分析】先結(jié)合線面角的定義與已知條件可得，從而知，過點作于點，根據(jù)三棱錐的體積公式，將條件轉(zhuǎn)化為取得最大值，再結(jié)合勾股定理確定點的位置，然后利用補形法求外接球的半徑即可．
【詳解】翻折前，，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以即為直線與平面所成的角，
同理可得，即為直線與平面所成的角，
因為直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，
所以，
而，，
所以，即，
設，則，
過點作于點，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
即點到平面的距離為，
因為三棱錐的體積，且為定值，
所以要使三棱錐的體積取得最大值，則需取得最大值，
設，，則，
由勾股定理知，，，
所以，，
消去整理得，，，，
當時，取得最大值12，即取得最大值，此時點在線段上，且，
所以，，兩兩垂直，
所以三棱錐的外接球就是以，，為鄰邊構(gòu)成的長方體的外接球，
所以，
所以外接球的半徑，
所以當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為．
故答案為：．
【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
反思提升：
(1)求解多面體的外接球時，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
(2)求解球的內(nèi)接正方體、長方體等問題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對角線.
(3) “切”的問題處理規(guī)律：找準切點，通過作過球心的截面來解決；體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.
【基礎篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）已知圓錐的高為3，若該圓錐的內(nèi)切球的半徑為1，則該圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·安徽亳州·開學考試）已知圓柱的底面直徑為2，它的兩個底面的圓周都在同一個體積為的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·江西撫州·階段練習）如圖1，現(xiàn)有一個底面直徑為10cm，高為25cm的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當時，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·新疆烏魯木齊·三模）三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·山東濰坊·三模）在棱長為 1 的正方體中，分別為棱的中點，則（ ）
A．直線與是異面直線
B．直線與所成的角是
C．直線平面
D．平面截正方體所得的截面面積為.
6．（19-20高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓柱的側(cè)面積為
B．圓錐的側(cè)面積為
C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等
D．圓柱、圓錐、球的體積之比為
7．（2024·安徽·一模）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（ ）
A．直線與平面所成的角等于
B．四棱錐的體積為
C．兩條異面直線和所成的角為
D．二面角的平面角的余弦值為
三、填空題
8．（2024·四川·模擬預測）已知矩形，其中，點沿著對角線進行翻折，形成三棱錐，如圖所示，三棱錐的外接球的體積為 .

9．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球O的直徑相等，則圓錐的體積與球O的體積的比值是 .
10．（2024·福建南平·模擬預測）已知圓臺的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺的表面積為 ．
四、解答題
11．（2022·河南安陽·模擬預測）如圖，在正三棱柱中，，點分別在棱和棱上，且，.

(1)求證：平面平面；
(2)求多面體的體積.
12．（2024·四川成都·模擬預測）已知球內(nèi)接正四棱錐的高為，、相交于，球的表面積為，若為中點.

(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積.
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A A B ABD CD ABC
1．C
【分析】利用圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，由已知數(shù)據(jù)計算出圓錐底面半徑和母線長，可求圓錐的表面積.
【詳解】圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如下圖所示，
由已知，可知，所以圓錐的軸截面為正三角形，
因為，所以圓錐底面圓半徑，母線，
則圓錐的表面積為．
故選：C．
2．A
【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，結(jié)合圓柱半徑可得圓柱的高，然后可解.
【詳解】球的體積為，可得其半徑，
圓柱的底面直徑為2，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，
所以圓柱的側(cè)面積為.
故選：A．
3．A
【分析】由圖設溶液高度和液面半徑，用表示液體體積得到方程，求出，依題，對其求導，賦值即得時液體高度的瞬時變化率.
【詳解】

設注入溶液的時間為（單位：）時，溶液的高為，液面半徑為，如圖可得，
,則，即，
則由，解得.
由，當時，，
即時，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為.
故選：A.
4．B
【分析】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圓半徑，再利用為三棱錐的高，為外接球半徑），即可求解．
【詳解】在中，，，，
由余弦定理可得，
即，所以，
設的外接圓半徑為，
則，所以，
平面，且，
設三棱錐外接球半徑為，
則，即，
所以三棱錐外接球的表面積為．
故選：B．
5．ABD
【分析】根據(jù)異面直線成角，線面垂直的判定定理，梯形面積公式逐項判斷即可.
【詳解】對于A，由于平面，平面，
故直線與是異面直線，故A正確；
對于B，如圖，連接，因為分別為棱的中點，所以，
所以直線與所成的角即為直線與所成的角，
又因為是等邊三角形，所以直線與所成的角為，
故直線與所成的角是，故B正確；
對于C，如圖，假設直線平面，又因為平面，所以，而，這三邊不能構(gòu)成直角三角形，
所以與不垂直，故假設錯誤，故C錯誤；
對于D，如圖，連接，因為，所以，
所以平面截正方體所得的截面為梯形，
且，所以梯形的高為，
所以截面面積為，故D正確.
故選：ABD.
6．CD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓柱、圓錐和球的表面積和體積公式，逐項判定，即可求解 .
【詳解】對于A中，圓柱的側(cè)面積為，所以A錯誤；
對于B中，圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積為，所以B錯誤；
對于C中，球的表面積為，所以C正確；
對于D中，圓柱的體積，圓錐的體積，
球的體積，所以圓柱、圓錐、球的體積之比為，故D正確.
故選：CD.
7．ABC
【分析】根據(jù)線面角的定義及求法即可判斷A；由平面即可求出四棱錐的體積判斷B；由異面直線所成角的定義及求法即可判斷C；由平面角的定義及余弦定理即可判斷D．
【詳解】如圖，
取的中點，連接，則，
而平面，平面，
得，平面
則平面，
所以是直線與平面所成的角為，故A正確；
點到平面的距離為的長度為，
則，故B正確；
易證，所以異面直線和所成的角為或其補角，
因為為等邊三角形，所以兩條異面直線和所成的角為，故C正確；
連接，由，所以，
又，所以為二面角的平面角，
易求得，
又，，
由余弦定理可得，故D錯誤．
故選：ABC．
8．
【分析】在翻折過程中，始終不變，然后可得的中點即為球心，計算可得結(jié)果.
【詳解】由于都為直角三角形，所以外接球的球心就是中點，點在翻折過程中，
其外接球的直徑始終為
.
故答案為：

9．
【分析】設圓錐的底面半徑為r，球O的半徑為R，由題意可得，結(jié)合體積公式運算求解.
【詳解】設圓錐的底面半徑為r，球O的半徑為R，
因為圓錐的軸截面為正三角形，可知圓錐的高，
則，即，
可得圓錐的體積，
球O的體積，
所以.
故答案為：．
10．
【分析】設上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，然后根據(jù)軸截面周長為16，可求出，從而可求出上下底面的面積和側(cè)面積，進而可求出其表面積.
【詳解】設上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，
故軸截面周長為，解得，
所以上、下底面圓的面積分別為，圓臺側(cè)面積，
所以圓臺的表面積為
故答案為：
11．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）做輔助線，先利用平行四邊形證明，從而可以利用平面，證明平面，從而借助面面垂直的判定定理即可得證.
（2）多面體的體積為三棱柱的體積減去四棱錐的體積,再分別求出三棱柱的體積和四棱錐的體積，即可得解.
【詳解】（1）如圖，取的中點F，的中點G，連接，，，

則，且，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以.
因為是等邊三角形，是的中點，所以.
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）多面體的體積為三棱柱的體積減去四棱錐的體積.
因為底面為邊長為2的等邊三角形，所以,
四邊形為直角梯形，所以，
易知四棱錐的即為底面的高為，
所以，三棱柱的體積為，
四棱錐的體積為，
所以多面體的體積為.
12．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）依題意可得，即可得證；
（2）由球的表面積求出球的半徑，由正四棱錐的性質(zhì)可知球心必在上，連接，利用勾股定理求出，即可求出，再由為中點得到到平面的距離為，最后由計算可得.
【詳解】（1）依題意底面為正方形，、相交于，
所以為的中點，又為中點，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）設球的半徑為，由球的表面積公式，
解得（負值舍去），
設球心為，在正四棱錐中，高為，則必在上，
連接，則，，，
則在，則，即，
解得（負值舍去），
則，所以，
又為中點，平面且，所以到平面的距離為，
所以.

【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為4．已知P為該圓臺某條母線的中點，若一質(zhì)點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側(cè)面運動一圈后又回到點P，則該質(zhì)點運動的最短路徑長為（ ）
A． B．6 C． D．
二、多選題
2．（2024·山東·模擬預測）如圖，有一個棱臺形的容器（上底面無蓋），其四條側(cè)棱均相等，底面為矩形，，容器的深度為，容器壁的厚度忽略不計，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．該四棱臺的側(cè)面積為
C．若將一個半徑為的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面
D．若一只螞蟻從點出發(fā)沿著容器外壁爬到點，則其爬行的最短路程為
三、填空題
3．（2024·河南鄭州·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是 ．
①平面平面
②三棱錐的體積為定值
③在上存在點，使得面
④的最小值為2

四、解答題
4．（23-24高一下·福建三明·期中）如圖，在棱長為4的正方體中，為的中點，過，，三點的平面與此正方體的面相交，交線圍成一個多邊形.

(1)在圖中畫出這個多邊形（不必說出畫法和理由）；
(2)平面將正方體分成兩部分，求這兩部分的體積之比（其中）；
(3)若點是側(cè)面內(nèi)的動點，且，當最小時，求三棱錐的外接球的表面積.
參考答案：
題號 1 2
答案 A BD
1．A
【分析】利用側(cè)面展開結(jié)合圖形求解最短距離.
【詳解】P為圓臺母線AB的中點，分別為上下底面的圓心，把圓臺擴成圓錐，如圖所示，
則，，，
由，有，，，
圓錐底面半徑，底面圓的周長為，母線長，
所以側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為，即，如圖所示，
質(zhì)點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側(cè)面運動一圈后又回到點P，則運動的最短路徑為展開圖弦，
，，有.
故選：A
2．BD
【分析】由勾股定理即可判斷A，由梯形的面積公式代入計算，即可判斷B，做出軸截面圖形代入計算，即可判斷C，將四棱臺展開，然后代入計算，即可判斷D
【詳解】
對于A，由題意可得，故A錯誤；
對于B，梯形的高為，
所以梯形的面積為，
梯形的高為，
所以梯形的面積為，
故該四棱臺的側(cè)面積為，故B正確；
對于C，若放入容器內(nèi)的球可以接觸到容器的底面，則當球的半徑最大時，
球恰好與面、面、面均相切，
過三個切點的截面如圖（1）所示，由題意可知棱臺的截面為等腰梯形，
較長的底邊上的底角的正切值為，則，
由于互補，故，
則，所以（負值舍），從而球的半徑為，
所以將半徑為的球放入該容器中不能接觸到容器的底面，故C錯誤；
對于D，將平面與平面展開至同一平面，
如圖（2），則，
將平面與平面展開至同一平面，如圖（3），
則，
所以最短路程為，故D正確．
故選：BD
【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于選項D的判斷，解答時要將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，將幾何體側(cè)面展開，將折線長轉(zhuǎn)化為線段長，即可求解.
3．①②③
【分析】證明平面即可判斷①，由平面即可判斷②，當為的中點時，證明平面平面，即可判斷③，化折線為直線，利用余弦定理判斷④.
【詳解】對于①：由正方體的性質(zhì)可知，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可證，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，故①正確；

對于②：因為，平面，平面，所以平面，
又，所以點到平面的距離為定值設為，的面積也為定值，
又為定值，故②正確；

對于③：當為的中點時，點也為的中點，，平面，
平面，所以平面，即平面，
同理可證平面，
又，平面，
所以平面平面，又平面，
所以面，故③正確；

對于④：如下圖，將沿著翻折到與平面共面且、在的異側(cè)，
連接與交于點，則即為的最小值，
又，，
所以，
即的最小值為，故④錯誤.

故答案為：①②③
4．(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）設中點為，再證明即可知這個多邊形為；
（2）設，連接，設，連接，即可得到截面即為平面，再根據(jù)錐體、柱體的體積公式計算可得；
（3）取的中點，的中點，連接、、、，即可證明平面平面，則在線段上，從而得到當為的中點時最小，令，連接，則球心在上，設球心為，連接、、，利用勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式計算可得.
【詳解】（1）設中點為，連接，，則由正方體性質(zhì)可得，且，
故四邊形為平行四邊形，則.
又中點為，中點為，故，則，故這個多邊形為四邊形.

（2）在正方形中，直線與直線相交，
設，連接，設，連接，
由為的中點，得為的中點，，
所以平面即為平面，
因為為的中點，所以為的中點，
所以平面將正方體分成兩部分，其中一部分是三棱臺，
因為正方體的棱長為，
所以
，
另一部分幾何體的體積，
兩部分的體積．

（3）取的中點，的中點，連接、、、，
顯然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又為的中點，所以且，又且，
所以且，
所以為平行四邊形，所以，
平面，平面，
所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又點是側(cè)面內(nèi)的動點，且，
所以在線段上，又，
即為等腰三角形，所以當為的中點時最小，
因為為等腰直角三角形，所以其外接圓的圓心為斜邊的中點，設為，
令，則為的中點，連接，則，所以平面，
所以球心在上，設球心為，連接、、，
設外接球的半徑為，，則，
又，，
所以，，解得，則，
所以外接球的表面積.

【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓錐的側(cè)面積為
B．三棱錐的體積的最大值為
C．的取值范圍是
D．若，為線段上的動點，則的最小值為
二、多選題
2．（2024·湖南益陽·一模）在棱長為1的正方體中，為棱上一點，且，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（ ）
A．若平面，則動點的軌跡是一條長為的線段
B．不存在點，便得平面
C．三棱錐的最大體積為
D．若且與平面所成的角最大時，三棱錐的體積為
三、填空題
3．（2024·福建漳州·三模）在矩形中，為的中點，將沿折起，把折成，使平面平面，則三棱錐的外接球表面積為 .
參考答案：
題號 1 2
答案 D BCD
1．D
【分析】先求出圓錐的母線長，利用圓錐的側(cè)面積公式判斷A；當時，的面積最大，此時三棱錐體積也最大，利用圓錐體積公式求解即可判斷B；先用取極限的思想求出的范圍，再利用，求的范圍，即可判斷C；利用圖形展開及兩點之間線段最短即可判斷選項D.
【詳解】在中，，則圓錐的母線長，半徑，
對于A，圓錐的側(cè)面積為：，故A錯誤；
對于B，當時，的面積最大，此時，
則三棱錐體積的最大值為，故B錯誤；
對于C，因為為等腰三角形，，又，所以，
當點與點重合時，為最小角，當點與點重合時，達到最大值，
又因為與不重合，則，又，可得，故C錯誤；
對于D，由，得，又，
則為等邊三角形，則， 將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，
則為等邊三角形，，如圖可知，
因為，
，
則，故D正確；
故選：D.
2．BCD
【分析】在取點，使得，證得平面平面，進而得到平面，可判定A不正確；以為原點，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，根據(jù)，得出矛盾，可判定B正確；利用向量的數(shù)量積的運算及三角形的面積公式，求得,在求得點到平面的最大距離，結(jié)合體積公式，可判定C正確；根據(jù)題意，求得點點的軌跡，結(jié)合線面角的公式，求得時，取得最大值，進而求得三棱錐的體積，可判定D正確.
【詳解】對于A中，如圖所示，分別在取點，使得，
可得，因為，所以，
因為平面，平面，所以平面，
又由，且平面，平面，所以平面，
又因為，且平面，所以平面平面，
且平面平面，
若平面，則動點的軌跡為線段，且，所以A不正確；
對于B中，以為原點，以所在的直線分別為軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示，
可得，則，
設，可得，
設是平面的一個法向量，則，
取，可得，所以，
若平面，則，所以存在，使得，
則，所以不存在點，使得平面，所以B正確；
對于C中，由，可得，
則，所以，
所以,
要使得三棱錐的體積最大，只需點到平面的距離最大，
由，可得點到平面的距離，
因為，所以當時，即點與點重合時，可得，
所以三棱錐的最大體積為，所以C正確；
對于D中，在正方體中，可得平面，且平面，
所以，則，
所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，其圓心角為，
則，所以，即，
又由，設與平面所成的角，
所以，
因為，可得，當且僅當時，等號成立，
所以，即時，與平面所成的角最大值，即，
可得，則點到平面的距離為，
此時三棱錐的體積為，D正確.
故選：BCD.
【點睛】方法點撥：求解立體幾何中的動態(tài)問題與存在性問題的策略：
1、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；
2、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設存在，然后再該假設條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設；
3、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在，同時，用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導思想是解答此類問題的關(guān)鍵.
3．
【分析】利用勾股定理逆定理證明，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，求出外接圓的半徑，設三棱錐的外接球的半徑為，則，最后由球的表面積公式計算可得.
【詳解】因為，，為的中點，
則有，，
所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面.
所以平面，
又為等腰直角三角形，所以其外接圓的半徑，
設三棱錐的外接球的半徑為，則，
所以，所以三棱錐的外接球的表面積.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是證明平面，再由直棱錐的外接球的模型計算外接球的半徑.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題36 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 4
【考點突破】 6
【考點1】基本立體圖形 6
【考點2】表面積與體積 8
【考點3】與球有關(guān)的切、接問題 10
【分層檢測】 12
【基礎篇】 12
【能力篇】 15
【培優(yōu)篇】 16
考試要求：
1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).
2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.
3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.
1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似
側(cè)棱 平行且相等 相交于一點，但不一定相等 延長線交于一點
側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點 延長線交于一點
軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓面
側(cè)面展開圖 矩形 扇形 扇環(huán)
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法.
(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?
3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側(cè)面展開 圖
側(cè)面積公 式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l
4.柱、錐、臺、球的表面積和體積
名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
1.正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長為a，球的半徑為R，
(1)若球為正方體的外接球，則2R＝a；
(2)若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；
(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
2.長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
3.正四面體的外接球的半徑R＝a，內(nèi)切球的半徑r＝a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長).
4.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖＝S原圖形.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2023·全國·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
8．（2022·全國·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
9．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為 ．
10．（2023·全國·高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則 ．
11．（2023·全國·高考真題）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是 ．
12．（2023·全國·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個公共點．
13．（2023·全國·高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為 ．
四、解答題
14．（2022·全國·高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點．
(1)證明：平面平面ACD；
(2)設，點F在BD上，當?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．
【考點1】基本立體圖形
一、單選題
1．（2024·遼寧·模擬預測）在正四棱柱中，為線段的中點，一質(zhì)點從點出發(fā)，沿長方體表面運動到達點處，若沿質(zhì)點的最短運動路線截該正四棱柱，則所得截面的面積為（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖， 四棱錐 截取自邊長為1 的正方體.其中 平面且 是線段 上靠近 的三等分點， 是線段 上最靠近 B的四等分點，M，N 分別是棱 和 上的動點且恒有， 垂足為H， 則 的最小值為（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
3．（2025·甘肅張掖·模擬預測）如圖所示，四面體的各棱長均為分別為棱的中點，為棱上異于頂點的點，則以下結(jié)論正確的為（ ）
A．
B．直線與所成角的余弦值為
C．四面體的外接球體積為
D．平面截四面體所得的截面圖形的周長最小值為8
4．（21-22高三上·重慶九龍坡·階段練習）一個平面α斜截一個足夠高的圓柱，與圓柱側(cè)面相交的圖形為橢圓E.若圓柱底面圓半徑為r，平面α與圓柱底面所成的銳二面角大小為θ，則下列對橢圓E的描述中，正確的是（ ）
A．短軸為2r，且與θ大小無關(guān) B．離心率為cos θ，且與r大小無關(guān)
C．焦距為2r tan θ D．面積為
三、填空題
5．（2024·河北保定·三模）已知為圓錐的頂點，為該圓錐底面的一條直徑，若該圓錐的側(cè)面積為底面積的3倍，則 .
6．（2024·陜西·二模）降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：）．氣象學中，把24小時內(nèi)的降雨量叫作日降雨量，等級劃分如下表：
日降雨量
等級 小雨 中雨 大雨 暴雨
某數(shù)學建模小組為了測量當?shù)啬橙盏慕涤炅?，制作了一個圓臺形水桶，如圖所示，若在一次降雨過程中用此桶接了24小時的雨水恰好是桶深的，則當日的降雨量等級為 ．
參考公式：圓臺的體積，其中h為圓臺的高，，分別為圓臺的上底面、下底面的面積．
反思提升：
空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.
(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.
(3)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”
(4)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：
S直觀圖＝S原圖形.
(5)幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.
【考點2】表面積與體積
一、單選題
1．（2024·河南駐馬店·二模）已知某正六棱柱的體積為，其外接球體積為，若該六棱柱的高為整數(shù)，則其表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，為球形物品設計制作正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒，最少用料分別記為，則它們的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知圓臺的上、下底面半徑分別為2，4，母線與底面所成的角為，則（ ）
A．該圓臺的母線長為 B．該圓臺的表面積為
C．該圓臺的體積為 D．該圓臺的外接球的表面積為
4．（2024·重慶·三模）已知在直三棱柱中，，直線與底面ABC所成角的正弦值為，則（ ）
A．直三棱柱的體積為
B．點到平面的距離為
C．當點為線段的中點時，平面平面
D．E，F(xiàn)分別為棱上的動點，當取得最小值時，
三、填空題
5．（2024·江西南昌·模擬預測）如圖所示，四邊形是邊長為4的正方形，分別為線段上異于點的動點，且滿足，點為的中點，將點沿折至點處，使⊥平面，則五棱錐體積的最大值為 .

6．（23-24高二下·山西晉城·階段練習）如圖裝滿水的圓臺形容器內(nèi)放進半徑分別為1和3的兩個鐵球，小球與容器底和容器壁均相切，大球與小球、容器壁、水面均相切，此時容器中水的體積為 .
反思提升：
1.空間幾何體表面積的求法
(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.
2.求空間幾何體的體積的常用方法
(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解；
(2)割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體；
(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.
【考點3】與球有關(guān)的切、接問題
一、單選題
1．（2024·浙江嘉興·模擬預測）已知四面體的每條棱長都為2，若球與它的每條棱都相切，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽·一模）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·江蘇南京·二模）在棱長為1的正方體中，、分別為、的中點，點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則三棱錐外接球的表面積為
B．若，則異面直線與所成角的余弦值為
C．若，則面積的最小值為
D．若存在實數(shù)使得，則的最小值為
4．（2024·湖北·二模）正方體中，，P在正方形內(nèi)（包括邊界），下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，則P點軌跡的長度為
B．三棱錐外接球體積的最小值是
C．若Q為正方形的中心，則周長的最小值為
D．
三、填空題
5．（2024·四川·模擬預測）在平面四邊形中，，將沿折起，使點到達，且，則四面體的外接球的體積為 ．

6．（2024·江西新余·二模）如圖1，在直角梯形中，，，，，，點E，F(xiàn)分別為邊，上的點，且，.將四邊形沿折起，如圖2，使得平面平面，點M是四邊形內(nèi)（含邊界）的動點，且直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，則當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為 .
反思提升：
(1)求解多面體的外接球時，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
(2)求解球的內(nèi)接正方體、長方體等問題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對角線.
(3) “切”的問題處理規(guī)律：找準切點，通過作過球心的截面來解決；體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.
【基礎篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）已知圓錐的高為3，若該圓錐的內(nèi)切球的半徑為1，則該圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·安徽亳州·開學考試）已知圓柱的底面直徑為2，它的兩個底面的圓周都在同一個體積為的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·江西撫州·階段練習）如圖1，現(xiàn)有一個底面直徑為10cm，高為25cm的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當時，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·新疆烏魯木齊·三模）三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·山東濰坊·三模）在棱長為 1 的正方體中，分別為棱的中點，則（ ）
A．直線與是異面直線
B．直線與所成的角是
C．直線平面
D．平面截正方體所得的截面面積為.
6．（19-20高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓柱的側(cè)面積為
B．圓錐的側(cè)面積為
C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等
D．圓柱、圓錐、球的體積之比為
7．（2024·安徽·一模）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（ ）
A．直線與平面所成的角等于
B．四棱錐的體積為
C．兩條異面直線和所成的角為
D．二面角的平面角的余弦值為
三、填空題
8．（2024·四川·模擬預測）已知矩形，其中，點沿著對角線進行翻折，形成三棱錐，如圖所示，三棱錐的外接球的體積為 .

9．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球O的直徑相等，則圓錐的體積與球O的體積的比值是 .
10．（2024·福建南平·模擬預測）已知圓臺的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺的表面積為 ．
四、解答題
11．（2022·河南安陽·模擬預測）如圖，在正三棱柱中，，點分別在棱和棱上，且，.

(1)求證：平面平面；
(2)求多面體的體積.
12．（2024·四川成都·模擬預測）已知球內(nèi)接正四棱錐的高為，、相交于，球的表面積為，若為中點.

(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為4．已知P為該圓臺某條母線的中點，若一質(zhì)點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側(cè)面運動一圈后又回到點P，則該質(zhì)點運動的最短路徑長為（ ）
A． B．6 C． D．
二、多選題
2．（2024·山東·模擬預測）如圖，有一個棱臺形的容器（上底面無蓋），其四條側(cè)棱均相等，底面為矩形，，容器的深度為，容器壁的厚度忽略不計，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．該四棱臺的側(cè)面積為
C．若將一個半徑為的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面
D．若一只螞蟻從點出發(fā)沿著容器外壁爬到點，則其爬行的最短路程為
三、填空題
3．（2024·河南鄭州·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是 ．
①平面平面
②三棱錐的體積為定值
③在上存在點，使得面
④的最小值為2

四、解答題
4．（23-24高一下·福建三明·期中）如圖，在棱長為4的正方體中，為的中點，過，，三點的平面與此正方體的面相交，交線圍成一個多邊形.

(1)在圖中畫出這個多邊形（不必說出畫法和理由）；
(2)平面將正方體分成兩部分，求這兩部分的體積之比（其中）；
(3)若點是側(cè)面內(nèi)的動點，且，當最小時，求三棱錐的外接球的表面積.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓錐的側(cè)面積為
B．三棱錐的體積的最大值為
C．的取值范圍是
D．若，為線段上的動點，則的最小值為
二、多選題
2．（2024·湖南益陽·一模）在棱長為1的正方體中，為棱上一點，且，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（ ）
A．若平面，則動點的軌跡是一條長為的線段
B．不存在點，便得平面
C．三棱錐的最大體積為
D．若且與平面所成的角最大時，三棱錐的體積為
三、填空題
3．（2024·福建漳州·三模）在矩形中，為的中點，將沿折起，把折成，使平面平面，則三棱錐的外接球表面積為 .
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑