資源簡介

第02講 1.1.2 空間向量的數量積運算
課程標準 學習目標
①會進行空間向量的線性運算，空間向量的數量積，空間向量的夾角的相關運算. 1、掌握空間向量的夾角的概念，培養數學抽象的核心素養． 2、掌握空間向量的數量積的定義、性質、運算律，提升數學抽象的核心素養． 3、了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養直觀想象的核心素養． 4、能用空間向量的數量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題，強化數學運算的核心素養.
知識點01：空間兩個向量的夾角
1、定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）
2、范圍：．
特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．
(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．
(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．
3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯系與區別）
若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，
(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，
(2)當兩向量的夾角為銳角時，；當兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當兩向量的夾角為鈍角時，.
【即學即練1】（23-24高二上·四川南充·期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為．記，，．

(1)求的長；
(2)求與夾角的余弦值．
知識點02：空間向量的數量積
1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作；即．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.
特別提醒：兩個空間向量的數量積是數量,而不是向量,它可以是正數、負數或零;
2、空間向量數量積的應用
(1)利用公式可以解決空間中有關距離或長度的問題;
(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;
3、向量的投影
3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．
3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．
4、空間向量數量積的幾何意義：向量，的數量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.
5、數量積的運算：
（1），.
（2）(交換律)．
（3）(分配律).
【即學即練2】（23-24高二上·北京房山·期中）在棱長為2的正方體中，（ ）
A． B． C．2 D．4
知識點03：空間向量數量積的性質
（1）
（2）若與同向，則；若與反向，則．特別地，．
（3）.
題型01空間向量的數量積（求空間向量的數量積）
【典例1】（23-24高二上·陜西渭南·期末）在正四面體中，棱長為1，且D為棱的中點，則的值為（ ）.
A． B． C． D．
【典例2】（2024高二·全國·專題練習）正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，則 ．
【典例3】（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知正四面體的棱長為1，如圖所示.
(1)確定向量在直線上的投影向量，并求·；
(2)確定向量在平面上的投影向量，并求.
【變式1】（23-24高二上·四川成都·階段練習）已知空間向量的夾角為，則 ．
【變式2】（23-24高二下·江蘇·課后作業）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱上任意一點．試確定向量在直線上的投影向量，并求．
【變式3】（23-24高二上·河南洛陽·階段練習）如圖所示，在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
題型02空間向量的數量積（空間向量的數量積的最值或范圍）
【典例1】（2024·全國·模擬預測）已知圓錐的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側面（異于頂點和底面圓周）上任意一點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高二下·四川資陽·開學考試）如圖，已知正方體的棱長為，點是四邊形的內切圓上一點，為四邊形的中心，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高二上·浙江嘉興·期末）在三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點，則的最小值是 ．
【典例4】（23-24高二上·遼寧沈陽·階段練習）已知是棱長為1的正方體內（含正方體表面）任意一點，點是棱的中點，則的最大值為 ．
【變式1】（23-24高二上·山東·階段練習）在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝8，，∠BCD＝45°．若E，F是四面體ABCD外接球表面上的兩點，且，則的最大值為（ ）
A．32 B．28 C．21 D．16
【變式2】（多選）（23-24高二上·寧夏·期中）正方體的棱長為1，若動點P在線段，則可能的取值是（ ）
A． B． C． D．2
【變式3】（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）已知球的半徑為是球的直徑，點在球的球面上.若空間中一點與點間的距離為，則的最小值為 .
【變式4】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面體的棱長為4，空間內動點滿足，則的最大值為 .
題型03利用數量積求夾角
【典例1】（23-24高二上·陜西寶雞·期中）在空間四邊形中，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．0
【典例2】（23-24高二上·江蘇南通·期末）已知平行六面體中，，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高二上·四川綿陽·期中）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱的長為2，且. 求：
(1)的長；
(2)直線與所成角的余弦值.
【變式1】（23-24高二下·江蘇·課前預習）如圖，在直三棱柱中， ，，則向量與的夾角是（　　）

A．30° B．45°
C．60° D．90°
【變式2】（23-24高二下·云南保山·開學考試）已知是兩個空間向量，若，，則＝ .
【變式3】（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）在平行六面體中，，，為與的交點.
(1)用向量表示；
(2)求線段的長及向量與的夾角.
題型04空間向量的投影（投影向量）
【典例1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空間四邊形中，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空間向量滿足，則在方向上投影的最大值是（　?。?br/>A． B． C． D．
【典例3】（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為 （用向量來表示）.

【變式1】（2024高二·全國·專題練習）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上投影的模為 ．
【變式2】（23-24高二上·江西·階段練習）在長方體中，，，則向量在方向上的投影數量與向量在方向上的投影數量之和為 .
【變式3】（2024高二·全國·專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．

題型05空間向量中的模（距離，長度）
【典例1】（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知空間向量兩兩夾角為，且，則 ．
【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）如圖所示棱長為1的正四面體，、分別為、中點，為靠近的三等分點．記，．
(1)，，求的最小值；
【典例3】（23-24高二上·山西呂梁·期末）如圖所示，平行六面體中，，.

(1)用向量表示向量，并求；
【典例4】（23-24高二上·重慶·期末）如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點．

(1)求；
(2)求的長．
【變式1】（23-24高二上·云南臨滄·階段練習）在矩形中，，現將沿對角線折起，得到四面體，若異面直線與所成角為，則 .
【變式2】（23-24高二上·湖南長沙·期末）如圖所示，已知平面，則 ．

【變式3】（2024高二·全國·專題練習）已知向量兩兩夾角為，且，則 ．
【變式4】（23-24高二上·新疆·階段練習）如圖，在平行六面體中，，，，，，求：
(1)；
(2)的長.
題型06利用數量積證明垂直問題
【典例1】（2024高二·全國·專題練習）如圖，正方體的棱長是，和相交于點．
(1)求；
(2)判斷與是否垂直．
【典例2】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，
(1)求線段的長；
(2)求證：．
【變式1】（23-24高二上·山東泰安·期中）如圖，在平行六面體中，，，，M，N分別為，中點．

（1）求AC1的長;
（2）證明:AC1⊥BD．
題型07重點方法篇（利用極化恒等式求數量積最值）
【典例1】（23-24高二下·山西運城·階段練習）已知點P在棱長為2的正方體表面上運動，AB是該正方體外接球的一條直徑，則 的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．1 D．0
【典例2】（23-24高二上·山東濟寧·期中）在棱長為的正方體中，是正方體外接球的直徑，點是正方體表面上的一點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2024·河南新鄉·二模）已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點在圓錐的側面上運動，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知是正方體內切球的一條直徑，點在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的最大值是 ，最小值是 .
8．（23-24高二上·寧夏銀川·階段練習）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高二下·安徽·開學考試）如圖，在平行六面體中，為與的交點，設，則（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高二下·河南開封·期末）已知平行六面體中，，與的交點為，，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
11．（23-24高二上·廣東廣州·期末）正四面體的棱長為2，設，，，則 .
12．（23-24高二上·山西呂梁·期中）在四面體中，，，，，則 ．
四、解答題
13．（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P為空間內不共線的四點，G為的重心．
(1)證明：；
(2)若向量，，的模長均為2，且兩兩夾角為，求．
14．（23-24高二上·四川遂寧·期中）如圖，四面體的每條棱長都相等，M，N，P分別是，，的中點
(1)求證：，，為共面向量；
(2)求與平面所成角的正弦值.
B能力提升
1．（2024·江西贛州·二模）已知球O內切于正四棱錐，，EF是球O的一條直徑，點Q為正四棱錐表面上的點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·上?！て谥校┮阎臻g三個向量,,的模均為1，它們相互之間的夾角均為60°．若，則k的取值范圍為 ．
3．（23-24高二上·山東濰坊·期中）如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設，，.
(1)試用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
4．（23-24高三上·云南玉溪·階段練習）如圖所示，三棱柱中，所有棱長均為2，，，分別在，上（不包括兩端），．
（1）求證：平面；
（2）設與平面所成角為，求的取值范圍．
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第02講 1.1.2 空間向量的數量積運算
課程標準 學習目標
①會進行空間向量的線性運算，空間向量的數量積，空間向量的夾角的相關運算. 1、掌握空間向量的夾角的概念，培養數學抽象的核心素養． 2、掌握空間向量的數量積的定義、性質、運算律，提升數學抽象的核心素養． 3、了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養直觀想象的核心素養． 4、能用空間向量的數量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題，強化數學運算的核心素養.
知識點01：空間兩個向量的夾角
1、定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）
2、范圍：．
特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．
(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．
(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．
3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯系與區別）
若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，
(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，
(2)當兩向量的夾角為銳角時，；當兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當兩向量的夾角為鈍角時，.
【即學即練1】（23-24高二上·四川南充·期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為．記，，．

(1)求的長；
(2)求與夾角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）表達出，平方后，結合數量積運算法則計算出，求出的長為；
（2）計算出，，從而利用向量的夾角余弦公式求出答案.
【詳解】（1）由題意知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即的長為，
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
即與夾角的余弦值為．
知識點02：空間向量的數量積
1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作；即．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.
特別提醒：兩個空間向量的數量積是數量,而不是向量,它可以是正數、負數或零;
2、空間向量數量積的應用
(1)利用公式可以解決空間中有關距離或長度的問題;
(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;
3、向量的投影
3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．
3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．
4、空間向量數量積的幾何意義：向量，的數量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.
5、數量積的運算：
（1），.
（2）(交換律)．
（3）(分配律).
【即學即練2】（23-24高二上·北京房山·期中）在棱長為2的正方體中，（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】根據向量數量積定義計算即可.
【詳解】
在棱長為2的正方體中,
易知，
因為，與的夾角為，
所以與的夾角為，
.
故選：D
知識點03：空間向量數量積的性質
（1）
（2）若與同向，則；若與反向，則．特別地，．
（3）.
題型01空間向量的數量積（求空間向量的數量積）
【典例1】（23-24高二上·陜西渭南·期末）在正四面體中，棱長為1，且D為棱的中點，則的值為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在正四面體中，由中點性質可得，則可代換為，由向量的數量積公式即可求解.
【詳解】
如圖，因為D為棱的中點，所以，
，
由正四面體得性質，與的夾角為60°，同理與的夾角為60°，，，
故，
故選：D.
【典例2】（2024高二·全國·專題練習）正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，則 ．
【答案】/-0.25
【分析】得到，利用向量數量積公式求出答案.
【詳解】如圖所示，正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，
所以，
故
故答案為：
【典例3】（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知正四面體的棱長為1，如圖所示.
(1)確定向量在直線上的投影向量，并求·；
(2)確定向量在平面上的投影向量，并求.
【答案】(1)投影向量見解析，
(2)投影向量見解析，
【分析】（1）（2）利用投影向量的定義及空間垂直關系確定投影向量，再求數量積.
【詳解】（1）在正四面體OABC中，取OB的中點P，連接，則有，
因此即為在直線上的投影向量.
所以·
（2）在正四面體中，設O在底面內的投影為Q，易知Q為底面中心，則平面,
連接并延長交于M，則M為中點，，
且即為平面內的投影向量.
∴
【變式1】（23-24高二上·四川成都·階段練習）已知空間向量的夾角為，則 ．
【答案】13
【分析】利用向量數量積運算律即可求得的值.
【詳解】空間向量的夾角為，
則.
故答案為：13
【變式2】（23-24高二下·江蘇·課后作業）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱上任意一點．試確定向量在直線上的投影向量，并求．
【答案】，1
【分析】根據投影向量和數量積的定義求解即可．
【詳解】在正方體中，，且，
因此，即為在直線上的投影向量，
所以．
【變式3】（23-24高二上·河南洛陽·階段練習）如圖所示，在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
【答案】(1)1
(2)2
(3)0
【分析】分別將，，轉化為，，后根據數量積定義計算即可.
【詳解】（1）在正四面體ABCD中，
（2）
（3）
在正四面體ABCD中，，
故
題型02空間向量的數量積（空間向量的數量積的最值或范圍）
【典例1】（2024·全國·模擬預測）已知圓錐的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側面（異于頂點和底面圓周）上任意一點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空間向量的線性運算及數量積公式結合夾角余弦的范圍計算即可.
【詳解】
如圖所示，延長交底面圓周于B，過Q作底面圓于G點，
顯然，
由題意可知，
所以的取值范圍為.
故選：A
【典例2】（23-24高二下·四川資陽·開學考試）如圖，已知正方體的棱長為，點是四邊形的內切圓上一點，為四邊形的中心，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
運用向量加法、相等向量將與分別表示為，，代入數量積運算即可.
【詳解】由題意知，，
設正方形的中心為，連接、、，如圖所示，
則，，，面，面，
∴，
∴，，
又∵，，
∴
∵，
∴當時， ，
∴.
故選：C.
【典例3】（23-24高二上·浙江嘉興·期末）在三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】設，，根據向量的線性運算將用已知向量表示，再利用數量積運算得到的表達式，利用二次函數求出最小值.
【詳解】如圖，設，，
在中，，
，當且僅當時，等號成立.
故答案為：.
【典例4】（23-24高二上·遼寧沈陽·階段練習）已知是棱長為1的正方體內（含正方體表面）任意一點，點是棱的中點，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】
由題意得，求出在上的投影加上在上的投影得最大值即可.
【詳解】因為點是棱的中點，所以，
則
而表示在上的投影，
表示在上的投影，
當點在棱上時，表示在上的投影取得最大值，
表示在上的投影也取得最大值，
所以的最大值為.
故答案為：.
【變式1】（23-24高二上·山東·階段練習）在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝8，，∠BCD＝45°．若E，F是四面體ABCD外接球表面上的兩點，且，則的最大值為（ ）
A．32 B．28 C．21 D．16
【答案】B
【分析】分析出球心的位置，結合球的幾何性質、向量運算求得的最大值.
【詳解】由于平面，平面，
所以，
由于，，
所以三角形是等腰直角三角形，且，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
設是的中點，根據直角三角形的性質可知，
所以是四面體外接球的球心.
，
所以外接球的半徑為.
設是的中點，則，，
所以，
，
設，
所以
，
所以當時，取得最大值為.
故選：B
【變式2】（多選）（23-24高二上·寧夏·期中）正方體的棱長為1，若動點P在線段，則可能的取值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【分析】利用基底法結合數量積公式計算即可.
【詳解】以為基底，分別記為，易知，
設，
則.
易知BC符合題意.
故選：BC
【變式3】（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）已知球的半徑為是球的直徑，點在球的球面上.若空間中一點與點間的距離為，則的最小值為 .
【答案】
【分析】利用向量的四則運算可得，再根據數量積的公式和運算律求解即可.
【詳解】由題意可得點在以為球心，為半徑的球上，
所以
，
因為，所以，
所以，所以的最小值為，
故答案為：
【變式4】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面體的棱長為4，空間內動點滿足，則的最大值為 .
【答案】
【分析】利用空間向量的線性運算得到軌跡，再把目標式表示為函數，利用三角函數有界性求解即可.
【詳解】
設的中點為，因為動點滿足，所以，
即點在以為球心，以為半徑的球面上.
因為，所以.
因為正四面體的棱長為4，所以，
在三角形中，，.
取的中點為，，
所以在上的投影向量的模為，所以.
設，夾角為，
所以.
因為，
所以，即的最大值為.
故答案為：
題型03利用數量積求夾角
【典例1】（23-24高二上·陜西寶雞·期中）在空間四邊形中，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】先利用題給條件求得的值，進而求得的值.
【詳解】如圖所示，
∵
，
又，，
則
∴，∴，.
故選：D
【典例2】（23-24高二上·江蘇南通·期末）已知平行六面體中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量數量積的即可求出夾角的余弦值.
【詳解】
，
故，
所以.
故選：B.
【典例3】（23-24高二上·四川綿陽·期中）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱的長為2，且. 求：
(1)的長；
(2)直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空間向量數量積的運算律求解；
（2）利用空間向量的數量積的運算律以及夾角公式求解.
【詳解】（1）
因為,
所以
.
（2）,
,
,
,
所以,
因為直線與所成角，
所以直線與所成角的余弦值為.
【變式1】（23-24高二下·江蘇·課前預習）如圖，在直三棱柱中， ，，則向量與的夾角是（　　）

A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C
【分析】由線面垂直推導出線線垂直，再利用向量運算及夾角公式運算求解.
【詳解】∵平面，平面，平面，
∴.
∵，，∴，
又，∴E為的中點，
∴.
∵，∴.
∵
∴＝,
又，∴.
故選：C.
【變式2】（23-24高二下·云南保山·開學考試）已知是兩個空間向量，若，，則＝ .
【答案】/0.125
【分析】將兩邊平方，求出的值，利用向量的夾角公式，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，
則，即，則
則，
故答案為：
【變式3】（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）在平行六面體中，，，為與的交點.
(1)用向量表示；
(2)求線段的長及向量與的夾角.
【答案】(1)
(2)，答案見解析
【分析】（1）因為為與的交點，得到，再由空間向量的線性運算，即可求解；
（2）根據，結合向量的運算，求得，再由空間向量的線性運算和數量積的運算，即可求解.
【詳解】（1）解：因為為與的交點，所以，
又因為，
所以.
（2）解：因為
，所以，
因為，所以
.
題型04空間向量的投影（投影向量）
【典例1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空間四邊形中，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在四面體中，用向量加法法則表示，再結合投影向量的計算方法求解.
【詳解】在四面體中，因為，
設，且，，
則，
在上的投影向量為.
故選：B
【典例2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空間向量滿足，則在方向上投影的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設向量的夾角為，根據題意，求得，得到所以在方向上的投影為，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】因為，設向量的夾角為，
所以，可得，
解得，
所以在方向上的投影為
，當且僅當時，即時，等號成立，
所以在方向上的投影的最大值為．
故選：C.
【典例3】（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為 （用向量來表示）.

【答案】
【分析】寫出表達式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量.
【詳解】由題意，
在三棱錐中，已知平面，
,
∵面，
∴，
在中，，，
∴,
，
∴向量在向量上的投影向量為：
，
故答案為：.
【變式1】（2024高二·全國·專題練習）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上投影的模為 ．
【答案】2
【分析】利用投影的定義計算然后求模即可．
【詳解】
空間向量在向量方向上的投影為，
所以投影的模為．
故答案為：．
【變式2】（23-24高二上·江西·階段練習）在長方體中，，，則向量在方向上的投影數量與向量在方向上的投影數量之和為 .
【答案】
【分析】根據數量積的定義結合空間向量的運算即可得結論.
【詳解】
由圖可知.向量 在方向上的投影數量為.
向量在方向上的投影數量為，
所以向量在方向上的投影數量與向量在方向上的投影數量之和為.
故答案為：.
【變式3】（2024高二·全國·專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．

【答案】 ； .
【分析】空（1），法一：應用向量投影的定義求投影向量；法二：根據投影向量的幾何求法，結合正方體性質確定投影向量；空（2），連接AC，交BD于點O，應用線面垂直的判定證平面，再由投影向量的幾何法確定投影向量.
【詳解】空（1）法一：在正方體中，易知，，
向量與向量夾角為45°，，，
所以向量在向量上的投影向量是．
法二：設，如圖，由正方體的性質得，，，
向量在向量上的投影向量是．
空（2）如圖，連接AC，交BD于點O，易知，線面垂直性質有，
由，平面，則平面，
所以在平面上的投影向量就是，易知．

故答案為：；
題型05空間向量中的模（距離，長度）
【典例1】（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知空間向量兩兩夾角為，且，則 ．
【答案】
【分析】先計算出，再運用向量的模長公式展開，代入即得.
【詳解】依題意，，
則
，
.
故答案為：.
【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）如圖所示棱長為1的正四面體，、分別為、中點，為靠近的三等分點．記，．
(1)，，求的最小值；
【答案】(1)
【分析】（1）根據向量的模及數量積的運算，結合二次函數的性質可得結果；
【詳解】（1）已知（），
所以，
故的最小值為.
【典例3】（23-24高二上·山西呂梁·期末）如圖所示，平行六面體中，，.

(1)用向量表示向量，并求；
【答案】(1)，
【分析】（1）根據空間向量的線性運算，得到，結合向量的數量積的運算法則，即可求解；
【詳解】（1）解：根據空間向量的線性運算，可得，
可得
，
所以.
【典例4】（23-24高二上·重慶·期末）如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點．

(1)求；
(2)求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據，代入數值直接求得結果；
（2）化簡可得，然后采用先平方再開方的方法求解出，則的長可知.
【詳解】（1）.
（2）因為，
所以
，
所以的長為.
【變式1】（23-24高二上·云南臨滄·階段練習）在矩形中，，現將沿對角線折起，得到四面體，若異面直線與所成角為，則 .
【答案】或
【分析】設與的夾角為，得到或，化簡，代入即可求解.
【詳解】如圖所示，在矩形中，，可得，
則，
在四面體中，設與的夾角為，
因為異面直線與所成角為，則或，
由
，所以或.
故答案為：或
【變式2】（23-24高二上·湖南長沙·期末）如圖所示，已知平面，則 ．

【答案】12
【分析】首先表示向量，平方后，利用數量積公式，即可求解.
【詳解】，
,
因為平面，平面，
所以，，
所以，
則.
故答案為：
【變式3】（2024高二·全國·專題練習）已知向量兩兩夾角為，且，則 ．
【答案】
【分析】利用空間向量數量積公式計算出，從而求出答案.
【詳解】由題意可得：
，
故.
故答案為：.
【變式4】（23-24高二上·新疆·階段練習）如圖，在平行六面體中，，，，，，求：
(1)；
(2)的長.
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）利用數量積的定義即可求解；
（2）根據模長公式即可求解.
【詳解】（1）．
（2）因為，
所以．
題型06利用數量積證明垂直問題
【典例1】（2024高二·全國·專題練習）如圖，正方體的棱長是，和相交于點．
(1)求；
(2)判斷與是否垂直．
【答案】(1)
(2)垂直
【分析】（1）根據數量積的定義直接計算即可；
（2）計算與的數量積，根據結果可得答案.
【詳解】（1）正方體中，，
故.
（2）由題意， ，
，
故與垂直.
【典例2】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，
(1)求線段的長；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1），結合向量數量積運算，求模即可.
（2），由向量數量積關于垂直的表示即可判斷.
【詳解】（1）設，則，
∵，則.
∵，∴.
故線段的長為.
（2）證明：∵，∴.
故.
【變式1】（23-24高二上·山東泰安·期中）如圖，在平行六面體中，，，，M，N分別為，中點．
(1)求的長；
(2)證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設，，，將用表示出來，根據向量的模長公式即可得到結果.
（2）將，分別用表示出來，根據，即可證明.
【詳解】（1）設，，，則，，，，
．
因為
，
所以
（2）證明：因為
，
所以．
【變式2】（23-24高二上·山東棗莊·期中）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.
(1)求證：共面；
(2)當為何值時，.
【答案】(1)證明見解析
(2)時，
【分析】（1）根據空間向量線性運算的幾何表示可得，進而即得；
（2）設，然后利用表示出，再利用向量的夾角公式可得答案.
【詳解】（1）在平行六面體中，連接，
因為，
所以，
，
所以，即且，所以四邊形為平行四邊形，即共面；
（2）當時，，理由如下，
設，且與、與、與的夾角均為，
因為底面為菱形，所以，
，
，
若，則，即
，
即，
解得或舍去，
即時，.
【變式3】（2024高二上·全國·專題練習）如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱AA1的長為b，∠A1AB=∠A1AD=120°.

（1）求AC1的長;
（2）證明:AC1⊥BD．
【答案】（1）（2）見解析
【分析】（Ⅰ）直接根據向量的加法把所求問題分解，再平方計算出模長的平方，進而求出結論；
（Ⅱ）以，，為基底表示，，通過向量數量積的運算證明⊥，可證得AC1⊥BD
【詳解】（1）∵||2=(+)2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=
a2+a2+b2+2a2cos 90°+2abcos 120°+2abcos 120°=2a2+b2-2ab,
∴AC1=||=.
（2）∵·=(++)·(-)=·+||2+·-||2-·-··-·=bacos 120°-bacos 120°=0,
∴⊥,即AC1⊥BD．
【點睛】本題主要考查異面直線的垂直以及兩點間的距離計算．考查轉化能力和運算能力，屬于基礎題．
題型07重點方法篇（利用極化恒等式求數量積最值）
【典例1】（23-24高二下·山西運城·階段練習）已知點P在棱長為2的正方體表面上運動，AB是該正方體外接球的一條直徑，則 的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．1 D．0
【答案】D
【分析】根據空間向量的加減法運算和數量積的運算律求解.
【詳解】由題可得，正方體外接球的直徑,
設為正方體外接球的球心，則為的中點，
則有,且，
，
由于，所以的最大值為0，
故選:D.
【典例2】（23-24高二上·山東濟寧·期中）在棱長為的正方體中，是正方體外接球的直徑，點是正方體表面上的一點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設正方體的外接球的球心為，球的半徑為，分析可得，求出的取值范圍，即可得出的取值范圍.
【詳解】設正方體的外接球的球心為，球的半徑為，
則，可得，所以，
又
，
當為正方體某個面的中心時，取最小值；
當與正方體的頂點重合時，取最大值.
則，所以.

故選：A.
【變式1】（2024·河南新鄉·二模）已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點在圓錐的側面上運動，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，最小時，有最小值，求的最小值即可.
【詳解】圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，
則有，，
點在圓錐的側面上運動，
則，
最小時，有最小值，的最小值為點到圓錐母線的距離，
中，，，則，點到的距離，
則的最小值為，的最小值為.
故選：A
【變式2】（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知是正方體內切球的一條直徑，點在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的最大值是 ，最小值是 .
【答案】
【分析】先利用正方體的性質求得的取值范圍，再利用空間向量的數量積即可得解.
【詳解】設正方體內切球球心為S，是該內切球的任意一條直徑，易知該內切球的半徑為1，
當點在正方體的面的中心時，取得最小值1；
當點在正方體的頂點時，取得最大值，所以；
故
，
所以的最大值是，最小值是.
故答案為：；.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用數量積運算，將轉化為，從而得解.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知，是相互垂直的單位向量，則＝（　?。?br/>A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根據空間向量數量積公式計算出答案.
【詳解】
是相互垂直的單位向量，故，
故.
故選：A
2．（23-24高二上·甘肅隴南·期末）已知，（，，為兩兩互相垂直的單位向量），若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的數量積的運算得到方程，解方程即可.
【詳解】
∵，，為兩兩互相垂直的單位向量，
∴，，，，，，
∴，
∵，∴，∴，
解得，
故選：C.
3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）平行六面體中，，，則的長為（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】B
【分析】由，兩邊平方，利用數量積運算性質即可求解．
【詳解】如圖，

由題知，,
，，
.
，
，
即的長為.
故選：B
4．（23-24高二上·山東臨沂·期中）四面體中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意得
，由數量積公式計算即可.
【詳解】由題知，，
所以
，
所以，解得，
故選：C
5．（23-24高二上·遼寧營口·期末）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影的數量為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】由空間向量在向量方向上的投影為，運算即可的解.
【詳解】由題意，，，，
則空間向量在向量方向上的投影為.
故選：B.
6．（23-24高二上·江西萍鄉·期末）已知，，是空間中兩兩垂直的單位向量，則（ ）
A． B．14 C． D．2
【答案】A
【分析】利用空間向量數量積的性質即可求解.
【詳解】依題意得，，；
所以，
故選：A.
7．（23-24高二上·山東·階段練習）如圖，在平行六面體中，，，若，則為（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】設，且，以為一個空間基底，求得，，結合，列出方程，即可求解.
【詳解】設，且，
因為，以為一個空間基底，
可得，，
又因為，可得，
即，即，
解得或（舍去），即的值為.
故選：D.
8．（23-24高二上·寧夏銀川·階段練習）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】由空間向量在向量方向上的投影數量為，運算即可得解.
【詳解】由題意，，，，
則空間向量在向量方向上的投影數量為.
所以所求投影向量的模長為2.
故選：A
二、多選題
9．（23-24高二下·安徽·開學考試）如圖，在平行六面體中，為與的交點，設，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據空間向量的線性運算，結合圖形計算即可求解.
【詳解】A：，故A錯誤；
B：，故B正確；
C：，
又，
所以，故C錯誤；
D：，故D正確．
故選：BD
10．（23-24高二下·河南開封·期末）已知平行六面體中，，與的交點為，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據空間向量基底法相關性質進行圖形關系運算與模的運算.
【詳解】如下圖所示，，故A正確，B錯誤；
由平方得，
，
所以，故C正確，D錯誤.

故選：AC
三、填空題
11．（23-24高二上·廣東廣州·期末）正四面體的棱長為2，設，，，則 .
【答案】
【分析】根據空間向量數量積的定義及運算律計算可得.
【詳解】在正四面體中，，
又，，，
所以.
故答案為：
12．（23-24高二上·山西呂梁·期中）在四面體中，，，，，則 ．
【答案】
【分析】根據空間向量數量積的運算進行求解即可.
【詳解】因為，所以，
又，所以，
所以.
又，，所以，
所以.
又，所以．
故答案為：
四、解答題
13．（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P為空間內不共線的四點，G為的重心．
(1)證明：；
(2)若向量，，的模長均為2，且兩兩夾角為，求．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用三角形重心的向量表示及向量運算可證結論；
（2）利用向量模長的公式可求答案.
【詳解】（1）證明：因為G是的重心，所以，
則，
即.
（2）由（1）得，
所以，
，即．
14．（23-24高二上·四川遂寧·期中）如圖，四面體的每條棱長都相等，M，N，P分別是，，的中點
(1)求證：，，為共面向量；
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）利用空間向量基本定理表達出，得到，，為共面向量；
（2）證明出線面垂直，得到平面的法向量為，求出，并求出，，利用線面角的正弦求解公式求出答案.
【詳解】（1）因為M，N，P分別是，，的中點，
故，
所以，，為共面向量；
（2）四面體的每條棱長都相等，設為2，
連接，因為均為等邊三角形，
又N是的中點，所以⊥，⊥，
因為，平面，
故⊥平面，
所以平面的法向量為，
所以的取值范圍為.
故選：A
2．（23-24高二上·上海·期中）已知空間三個向量,,的模均為1，它們相互之間的夾角均為60°．若，則k的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用向量數量積運算求解.
【詳解】因為，，的模均為1，他們之間的夾角均為，所以：，.
又
所以：或.
故答案為：
3．（23-24高二上·山東濰坊·期中）如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設，，.
(1)試用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據向量的線性運算求出即可；
（2）根據向量的運算性質代入計算即可.
【詳解】（1），
，
故
∵點E為AD的中點，
故.
（2）由題意得，
故，
故
.
4．（23-24高三上·云南玉溪·階段練習）如圖所示，三棱柱中，所有棱長均為2，，，分別在，上（不包括兩端），．
（1）求證：平面；
（2）設與平面所成角為，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）作，根據條件證明四邊形為平行四邊形，然后得到即可；
（2）取中點，連接、、，然后證明平面，平面平面，作，交于點，然后可得平面，然后算出，然后利用向量關系算出，然后可得，然后可求出答案.
【詳解】（1）作，交于點，設，則，
∵，∴，即，
∵且，連接，
所以四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，且平面，
∴平面．
（2）取中點，連接、、，
∵，，，
根據余弦定理得：，
∴，則，
∵是等邊三角形，∴，
∵，∴平面，平面
∴平面平面，
在中，，，
作，交于點，因為平面平面，
所以平面，
則，∴，
∵平面，所以點到平面距離，
，
，
∴．
，
∵，∴，
∴．
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