資源簡介

第01講 1.1.1空間向量及其線性運算
課程標準 學習目標
①理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論. ②會進行空間向量的線性運算，空間向量的數量積，空間向量的夾角的相關運算. 1．理解空間向量的相關概念的基礎上進行與向量的加、減運算、數量積的運算、夾角的相關運算及空間距離的求解. 2．利用空間向量的相關定理及推論進行空間向量共線、共面的判斷.
知識點01：空間向量的有關概念
1、空間向量的有關概念
（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．
（2）幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
2、空間向量的表示
表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：
（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；
（2）字母表示法：用表示．向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或.
【即學即練1】（23-24高二上·河南漯河·階段練習）如圖所示，在三棱柱中，與是 向量，與是 向量(用“相等”“相反”填空).

知識點02：空間向量的加法、減法運算
1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內，以任意點為起點，作向量，
2、空間向量的加法運算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即
3、空間向量的減法運算（共起點，連終點，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即
4、空間向量的加法運算律
（1）加法交換律：
（2）加法結合律：
【即學即練2】（23-24高二·全國·課堂例題）化簡：．
知識點03：空間向量的數乘運算
1、定義：與平面向量一樣，實數與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．
2：數乘向量與向量的關系
的范圍 的方向 的模
與向量的方向相同
，其方向是任意的
與向量的方向相反
3、對數乘向量與向量的關系的進一步理解：
（1）可以把向量模擴大（當時），也可縮小（當時）；可以不改變向量的方向（當時），也可以改變向量的方向（當時）．
（2）實數與向量的積的特殊情況：當時，；當時，若，則．
（3）實數與向量可以求積，但是不能進行加減，例如，，沒有意義，無法運算．
【即學即練3】（23-24高二·全國·課后作業）已知長方體，若為與的交點，則 .
知識點04：共線向量與共面向量
1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．
在正確理解共線向量的定義時，要注意以下兩點：
（1）零向量和空間任一向量是共線向量．
（2）共線向量不具有傳遞性，如，那么不一定成立，因為當時，雖然，但不一定與共線（特別注意，與任何向量共線）．
2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數，使．
2.1共線向量定理推論：如果為經過點平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點,點在直線上的充要條件是存在實數,使①，若在上取，則①可以化作：
2.2拓展(高頻考點）：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中
3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使
3.2空間共面向量的表示
如圖空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，使．
或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內（四點共面）的充要條件是存在有序實數對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．
3.3拓展
對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．
【即學即練4】（23-24高二上·山東菏澤·階段練習）已知三點不共線，對平面外的任一點O，下列條件中能確定點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
題型01空間向量的有關概念
【典例1】（多選）（23-24高二下·江蘇·課前預習）下列命題為真命題的是（ ）
A．若空間向量滿足，則
B．在正方體中，必有
C．若空間向量滿足，，則
D．任一向量與它的相反向量不相等
【典例2】（23-24高二上·吉林長春·期末）給出下列四個命題:
①方向相反的兩個向量是相反向量；
②若，滿足且，同向，則；
③不相等的兩個空間向量的模必不相等；
④對于任意向量，必有.
其中真命題的序號為 .
【變式1】（多選）（23-24高二下·云南保山·開學考試）下列關于空間向量的命題中，不正確的是（ ）
A．長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量
B．平行且模相等的兩個向量是相等向量
C．若，則
D．兩個向量相等，則它們的起點與終點相同
【變式2】（多選）（2024高二·全國·專題練習）下列命題中正確的是 （ ）
A．如果,是兩個單位向量，則
B．兩個空間向量共線，則這兩個向量方向相同
C．若，，為非零向量，且，，則
D．空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內
【變式3】（23-24高二上·山西臨汾·階段練習）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．

(1)單位向量共有多少個？
(2)試寫出與相等的所有向量．
(3)試寫出的相反向量．
題型02空間向量加減運算及幾何表示
【典例1】（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）在四面體中，，D為的三等分點（靠近B點），E為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高二上·山東濟南·期末）在三棱柱中，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在平行六面體中，是平行四邊形的對角線的交點，為的中點，記，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二上·福建福州·期末）如圖所示，空間四邊形中，，點分別為上的點，且為中點，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（多選）（23-24高二下·江蘇·課前預習）（多選）如圖，在長方體中，下列各式運算結果為的是（　　）

A． B．
C． D．
題型03空間向量的共線定理（空間向量共線的判定）
【典例1】（23-24高二上·上海·課后作業）四棱柱的六個面都是平行四邊形，點在對角線上，且，點在對角線上，且．
(1)設向量，，，用、、表示向量、；
(2)求證：、、 三點共線．
【典例2】（23-24高二·全國·課后作業）如圖，四邊形ABCD ABEF都是平行四邊形且不共面，M N分別是AC BF的中點，判斷與是否共線？
【變式1】（23-24高二上·全國·課后作業）在正方體中，G為的重心，證明：三點共線.
【變式2】（2024高二上·全國·專題練習）如圖，在平行六面體中，分別是的中點，在上且，在上且，判斷與是否共線？
題型04空間向量的共線定理（由空間向量共線求參數）
【典例1】（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知是不共面的空間向量，若與（是實數）是平行向量，則的值為（ ）
A．16 B．-13 C．3 D．-3
【典例2】（23-24高二上·上海·課后作業）設是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且三點共線，則實數k的值為 ．
【變式1】（23-24高二上·新疆伊犁·期末）已知、、為空間三個不共面的向量，向量，，若與共線，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二下·江蘇·課后作業）若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為 .
題型05空間向量共面（空間向量共面的判定）
【典例1】（23-24高二上·云南臨滄·階段練習）若構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高二上·全國·課后作業）已知是不共面向量，，證明這三個向量共面.
【變式1】（多選）（23-24高二上·河南開封·期中）若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【變式2】（多選）（21-22高二上·全國·課后作業）下列各組向量中共面的有（　　）
A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）
B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）
C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）
D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）
【變式3】（23-24高二·全國·課后作業）在長方體中，E是棱的中點，O是面對角線與的交點．試判斷向量與、是否共面．
題型06空間向量共面（由空間向量共面求參數）
【典例1】（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知向量不共面，則使向量共面的實數x的值是（ ）
A． B． C． D．4
【典例2】（23-24高二·全國·課后作業）已知向量，，是三個不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，則 ．
【變式1】（23-24高二上·山東聊城·期中）已知是不共面向量，，若三個向量共面，則實數 .
【變式2】（23-24高二·全國·課后作業）已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三個向量共面，則實數λ等于 .
題型07空間向量共面（推論及其應用）
【典例1】（23-24高二上·江西九江·期末）對于空間任一點和不共線的三點，，，有，則是，，，四點共面的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【典例2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知點在確定的平面內，是平面外任意一點，若正實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【典例3】（23-24高二下·江蘇淮安·期中）已知三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與三點共面，則等于（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（23-24高二上·河北滄州·階段練習）已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任意一點，若由確定的一點P與A，B，C三點共面，則 ．
【變式1】（23-24高二上·湖北黃岡·期中）對空間任意一點和不共線三點，，，能得到，，，四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）已知點、、不共線，對空間任意一點，若，則點、、、（ ）
A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．無法判斷
【變式3】（23-24高二上·重慶北碚·階段練習）在三棱錐中，M是平面ABC上一點，且
5．（23-24高二上·山東青島·期末）已知四面體中，為中點，若，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
6．（23-24高二上·福建莆田·期末）如圖，平行六面體中，點在上，點在上，且，，若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知三棱錐的體積為15，是空間中一點，，則三棱錐的體積是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知直四棱柱的底面為梯形，，若平面，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）下列選項中正確的是（ ）
A．若存在實數x，y，使，則點P，M，A，B共面；
B．若與共面，則存在實數x，y，使；
C．若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共線；
D．若是空間三個向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序實數組，使．
10．（23-24高二·全國·課堂例題）如圖所示，在長方體中，，，，則在以八個頂點中的兩個分別為始點和終點的向量中（ ）

A．單位向量有8個 B．與相等的向量有3個
C．的相反向量有4個 D．模為的向量有4個
三、填空題
11．（23-24高二上·貴州遵義·期末）已知長方體中，點Q為線段的中點，，則 .
12．（23-24高二上·浙江臺州·期中）已知P為空間中任意一點，A、B、C、D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且，則實數x的值為 .
四、解答題
13．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡得到的向量：

(1)；
(2)；
(3).
14．（23-24高二·湖南·課后作業）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．
B能力提升
1．（2024·浙江）已知空間向量兩兩相互垂直，且，若則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·廣東東莞·階段練習）如圖，點是棱長為2的正四面體底面的中心，過點的直線交棱于點是棱上的點，平面與棱的延長線相交于點，與棱的延長線相交下點，則 ．

3．（23-24高二·全國·課后作業）如圖所示，已知，，及，，分別是異面直線，上的三點，點，，，分別是線段，，，的中點．求證：，，，四點共面．
4．（23-24高二上·廣東深圳·開學考試）如圖，在三棱錐中，點為的重心，點在上，且，過點任意作一個平面分別交線段，，于點，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第01講 1.1.1空間向量及其線性運算
課程標準 學習目標
①理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論. ②會進行空間向量的線性運算，空間向量的數量積，空間向量的夾角的相關運算. 1．理解空間向量的相關概念的基礎上進行與向量的加、減運算、數量積的運算、夾角的相關運算及空間距離的求解. 2．利用空間向量的相關定理及推論進行空間向量共線、共面的判斷.
知識點01：空間向量的有關概念
1、空間向量的有關概念
（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．
（2）幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
2、空間向量的表示
表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：
（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；
（2）字母表示法：用表示．向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或.
【即學即練1】（23-24高二上·河南漯河·階段練習）如圖所示，在三棱柱中，與是 向量，與是 向量(用“相等”“相反”填空).

【答案】 相等 相反
【分析】根據給定的幾何體，結合相等向量，互為相反向量的意義判斷即得.
【詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，則，即與是相等向量；
四邊形是平行四邊形，，即與是互為相反向量.
故答案為：相等；相反
知識點02：空間向量的加法、減法運算
1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內，以任意點為起點，作向量，
2、空間向量的加法運算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即
3、空間向量的減法運算（共起點，連終點，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即
4、空間向量的加法運算律
（1）加法交換律：
（2）加法結合律：
【即學即練2】（23-24高二·全國·課堂例題）化簡：．
【答案】
【分析】根據空間向量的線性運算及運算律即可求解。
【詳解】原式．
知識點03：空間向量的數乘運算
1、定義：與平面向量一樣，實數與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．
2：數乘向量與向量的關系
的范圍 的方向 的模
與向量的方向相同
，其方向是任意的
與向量的方向相反
3、對數乘向量與向量的關系的進一步理解：
（1）可以把向量模擴大（當時），也可縮小（當時）；可以不改變向量的方向（當時），也可以改變向量的方向（當時）．
（2）實數與向量的積的特殊情況：當時，；當時，若，則．
（3）實數與向量可以求積，但是不能進行加減，例如，，沒有意義，無法運算．
【即學即練3】（23-24高二·全國·課后作業）已知長方體，若為與的交點，則 .
【答案】
【分析】由題知，進而計算即可得答案.
【詳解】解：如圖，因為為與的交點，所以為的中點，
所以，
所以，.
故答案為：
知識點04：共線向量與共面向量
1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．
在正確理解共線向量的定義時，要注意以下兩點：
（1）零向量和空間任一向量是共線向量．
（2）共線向量不具有傳遞性，如，那么不一定成立，因為當時，雖然，但不一定與共線（特別注意，與任何向量共線）．
2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數，使．
2.1共線向量定理推論：如果為經過點平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點,點在直線上的充要條件是存在實數,使①，若在上取，則①可以化作：
2.2拓展(高頻考點）：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中
3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使
3.2空間共面向量的表示
如圖空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，使．
或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內（四點共面）的充要條件是存在有序實數對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．
3.3拓展
對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．
【即學即練4】（23-24高二上·山東菏澤·階段練習）已知三點不共線，對平面外的任一點O，下列條件中能確定點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用空間共面向量定理的推論逐項判斷即得.
【詳解】平面外的任一點O，點共面的充要條件是，且，
對于A，由，得，點不共面，A不是；
對于B，由，得，點不共面，B不是；
對于C，由，得，點不共面，C不是；
對于D，由，得，點共面，D是.
故選：D
題型01空間向量的有關概念
【典例1】（多選）（23-24高二下·江蘇·課前預習）下列命題為真命題的是（ ）
A．若空間向量滿足，則
B．在正方體中，必有
C．若空間向量滿足，，則
D．任一向量與它的相反向量不相等
【答案】BC
【分析】根據向量相等的定義可判斷A，B；根據向量的相等具有傳遞性，判斷C；根據相反向量的含義結合零向量判斷D.
【詳解】A為假命題，根據向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，
而A中向量的方向不一定相同；
B為真命題，與的方向相同，模也相等，故；
C為真命題，由于空間向量滿足，，且向量的相等滿足傳遞性，
故；
D為假命題，零向量的相反向量仍是零向量.
故選：BC
【典例2】（23-24高二上·吉林長春·期末）給出下列四個命題:
①方向相反的兩個向量是相反向量；
②若，滿足且，同向，則；
③不相等的兩個空間向量的模必不相等；
④對于任意向量，必有.
其中真命題的序號為 .
【答案】④
【分析】根據向量的概念及相等向量、相反向量的概念，向量的加法運算及幾何意義逐個判斷即可.
【詳解】對于①，長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故錯誤；
對于②，向量是不能比較大小的，故錯誤；
對于③，不相等的兩個空間向量的模也可以相等，故錯誤；
對于④，若不共線時，設，以為鄰邊作一個平行四邊形，
如圖所示：
由平面向量的加法法則可知，根據三角形中三邊關系可得；
若共線且同向時滿足成立；
綜上所述：對任意向量，，，正確.
故答案為：④
【變式1】（多選）（23-24高二下·云南保山·開學考試）下列關于空間向量的命題中，不正確的是（ ）
A．長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量
B．平行且模相等的兩個向量是相等向量
C．若，則
D．兩個向量相等，則它們的起點與終點相同
【答案】BCD
【分析】根據相等向量的有關概念判斷．
【詳解】對于選項A：由相等向量的定義知A正確；
對于選項B：平行且模相等的兩個向量也可能是相反向量，B錯；
對于選項C：若兩個向量不相等，但模長仍可能相等，例如不共線的單位向量，C錯；
對于選項D：相等向量只要求長度相等、方向相同，而表示兩個向量的有向線段的起點不要求相同，D錯，
故選：BCD．
【變式2】（多選）（2024高二·全國·專題練習）下列命題中正確的是 （ ）
A．如果,是兩個單位向量，則
B．兩個空間向量共線，則這兩個向量方向相同
C．若，，為非零向量，且，，則
D．空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內
【答案】ACD
【分析】根據向量的定義及性質可以判定.
【詳解】由單位向量的定義即得，故A正確；
共線不一定同向，故B錯誤；
因為為非零向量，且，所以，故C正確；
在空間任取一點，過此點引兩個與已知非零向量相等的向量，而這兩個向量所在的直線相交于此點，兩條相交直線確定一個平面，所以兩個非零向量可以平移到同一平面內，故D正確．
故選：ACD
【變式3】（23-24高二上·山西臨汾·階段練習）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．

(1)單位向量共有多少個？
(2)試寫出與相等的所有向量．
(3)試寫出的相反向量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據單位向量的定義寫出即可；
（2）根據相等向量的定義寫出即可；
（3）根據相反向量的定義寫出即可.
【詳解】（1）由題意，單位向量有共個；
（2）由題意，與相等有；
（3）由題意，的相反向量有.
題型02空間向量加減運算及幾何表示
【典例1】（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）在四面體中，，D為的三等分點（靠近B點），E為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據空間向量的線性運算計算即可.
【詳解】由題意，
.
故選：C.
【典例2】（23-24高二上·山東濟南·期末）在三棱柱中，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空間向量的線性運算計算即可.
【詳解】由題可知.
故選：D
【變式1】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在平行六面體中，是平行四邊形的對角線的交點，為的中點，記，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空間向量的線性運算可得正確的選項.
【詳解】
，
化簡得：，
故選：A .
【變式2】（23-24高二上·福建福州·期末）如圖所示，空間四邊形中，，點分別為上的點，且為中點，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據條件，利用空間向量的線性運算即可求出結果.
【詳解】因為，又為中點，所以，
即，
故選：A.
【變式3】（多選）（23-24高二下·江蘇·課前預習）（多選）如圖，在長方體中，下列各式運算結果為的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據空間向量的線性運算，結合圖形即可求解.
【詳解】A：，故A符合題意；

B：，故B符合題意；

C：，故C符合題意；

D：，故D不符合題意；

故選：ABC.
題型03空間向量的共線定理（空間向量共線的判定）
【典例1】（23-24高二上·上海·課后作業）四棱柱的六個面都是平行四邊形，點在對角線上，且，點在對角線上，且．
(1)設向量，，，用、、表示向量、；
(2)求證：、、 三點共線．
【答案】(1)，．
(2)證明見解析
【分析】（1）借助空間向量的線性運算計算即可得；
（2）借助向量共線定理證明即可得.
【詳解】（1）因為，則，
所以，
又因為，則，
所以
；
（2）因為
，且，
所以，即、、三點共線．
【典例2】（23-24高二·全國·課后作業）如圖，四邊形ABCD ABEF都是平行四邊形且不共面，M N分別是AC BF的中點，判斷與是否共線？
【答案】共線.
【分析】利用空間向量的線性運算，結合空間向量的共線定理，即可判斷.
【詳解】因為M N分別是AC BF的中點，而四邊形ABCD ABEF都是平行四邊形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即與共線.
【變式1】（23-24高二上·全國·課后作業）在正方體中，G為的重心，證明：三點共線.
【答案】證明見解析
【分析】選擇為基向量，用基向量表示和，通過證明與平行可證三點共線.
【詳解】設的中點為，連接GB，GD，，，

，
因為G為的重心，所以，
所以，
所以，即三點共線.
【變式2】（2024高二上·全國·專題練習）如圖，在平行六面體中，分別是的中點，在上且，在上且，判斷與是否共線？
【答案】共線
【分析】根據空間向量的線性運算法則，化簡得到，即可得到結論.
【詳解】由空間向量的線性運算法則，可得
，即，
又由向量的共線定理，可得與共線．
題型04空間向量的共線定理（由空間向量共線求參數）
【典例1】（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知是不共面的空間向量，若與（是實數）是平行向量，則的值為（ ）
A．16 B．-13 C．3 D．-3
【答案】C
【分析】根據，結合，列出方程組，求解即可.
【詳解】因為是不共面的空間向量且，
故，則，
解得，所以.
故選：C.
【典例2】（23-24高二上·上海·課后作業）設是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且三點共線，則實數k的值為 ．
【答案】
【分析】根據題意，化簡得到，由三點共線，可設，利用空間向量共線的充要條件，列出方程，即可求解.
【詳解】因為，，
可得，
又因為三點共線，可設，即，
因為不共線，可得，解得，
所以實數的值為.
故答案為：.
【變式1】（23-24高二上·新疆伊犁·期末）已知、、為空間三個不共面的向量，向量，，若與共線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，根據空間向量共線的基本定理可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得解.
【詳解】因為、、為空間三個不共面的向量，向量，，
若與共線，設，即，
可得，解得，故.
故選：D.
【變式2】（23-24高二下·江蘇·課后作業）若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為 .
【答案】－/
【分析】根據空間共線向量可得，建立方程組，解之即可求解.
【詳解】由題意知，存在實數λ使得，
即，解得.
故答案為：
題型05空間向量共面（空間向量共面的判定）
【典例1】（23-24高二上·云南臨滄·階段練習）若構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由共面向量基本定理進行運算檢驗選項，排除法可得結果.
【詳解】對于A，，所以三個向量共面，排除；
對于B，，所以三個向量共面，排除；
對于D，，所以三個向量共面，排除.
故選：C.
【典例2】（23-24高二上·全國·課后作業）已知是不共面向量，，證明這三個向量共面.
【答案】證明見解析
【分析】由空間向量基本定理可得答案.
【詳解】由是不共面向量，得與不共線，
設，則，
所以，解得，所以，
所以這三個向量共面.
【變式1】（多選）（23-24高二上·河南開封·期中）若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ACD
【分析】根據空間向量共面基本定理進行求解判斷即可．
【詳解】對于A，因為，故三個向量共面，故A符合題意；
對于B，假設，，共面，
則，使得，
故有，方程組無解，故假設不成立，即，，不共面；
故B不符合題意；
對于C，，故三個向量共面，故C符合題意；
對于D，，故三個向量共面，故D題意符合．
故選：ACD．
【變式2】（多選）（21-22高二上·全國·課后作業）下列各組向量中共面的有（　　）
A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）
B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）
C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）
D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）
【答案】ABC
【分析】三個向量中如果兩個向量共線或者其中一個向量可以用其他兩個向量進行表示可以判定三個向量共面.
【詳解】選項A中，設，則解得故存在實數使得，因此共面.
選項B中，選項C中.故B，C中三個向量也共面.
選項D中，設，則顯然無解，故不共面.
故選：ABC.
【變式3】（23-24高二·全國·課后作業）在長方體中，E是棱的中點，O是面對角線與的交點．試判斷向量與、是否共面．
【答案】共面
【分析】根據空間向量的運算法則，化簡得到，結合空間向量的共面定理，即可求解.
【詳解】根據空間向量的運算法則，可得：
，
又由空間向量的共面定理，可得向量與，共面．
題型06空間向量共面（由空間向量共面求參數）
【典例1】（23-24高二下·江蘇·階段練習）已知向量不共面，則使向量共面的實數x的值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】利用向量共面得到線性表示，再化簡求值即可.
【詳解】因為共面，所以存在實數，使得，所以，解得.
故選：A.
【典例2】（23-24高二·全國·課后作業）已知向量，，是三個不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，則 ．
【答案】1
【分析】根據向量共面定理設，用待定系數法法解出m、n、λ﹒
【詳解】因為向量，，共面，所以存在實數m，n，使得，
則，
則，解得．
故答案為：1
【變式1】（23-24高二上·山東聊城·期中）已知是不共面向量，，若三個向量共面，則實數 .
【答案】4
【分析】根據向量共面列方程，化簡求得的值.
【詳解】以為空間一組基底，
由于三個向量共面，所以存在，
使得，
即，
整理得，
所以，解得.
故答案為：
【變式2】（23-24高二·全國·課后作業）已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三個向量共面，則實數λ等于 .
【答案】
【分析】利用空間向量共面定理可得，再由向量相等即可求解.
【詳解】若向量，，共面，則存在x，y∈R，使得，
∴2-+3=x(-+4-2)+y(7+5+λ)，
∴
解得λ=.
故答案為：
題型07空間向量共面（推論及其應用）
【典例1】（23-24高二上·江西九江·期末）對于空間任一點和不共線的三點，，，有，則是，，，四點共面的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】根據共面向量定理判斷點滿足，且，向量，，共面，得到，，，四點共面，可以是充分條件；再通過舉出反例得出反面不成立，即可得出答案．
【詳解】解：若，則，即，
由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四點共面；
反之，若，，，四點共面，當與四個點中的一個比如點重合時，
，可取任意值，不一定有，
所以是，，，四點共面的充分不必要條件．
故選：B．
【典例2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知點在確定的平面內，是平面外任意一點，若正實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由四點共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解.
【詳解】由四點共面，可知，即，
由，
，當且僅當，即時等號成立，
故選：B
【典例3】（23-24高二下·江蘇淮安·期中）已知三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與三點共面，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據四點共面的充要條件及其推論，即可得出答案.
【詳解】由與三點共面以及，
可得，，所以.
故選：C.
【典例4】（23-24高二上·河北滄州·階段練習）已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任意一點，若由確定的一點P與A，B，C三點共面，則 ．
【答案】
【分析】推導出空間四點共面定理的推論，再根據推論進行求解.
【詳解】因為P，A，B，C四點共面，所以存在不全為0的使得，
O是平面ABC外任意一點，則，
即，
若A，B，C三點共線，則，即，
整理得：，所以，
此時若，則，
因為A，B，C三點不共線，，
所以，
所以，
令，則，
所以，所以．
故答案為：
【變式1】（23-24高二上·湖北黃岡·期中）對空間任意一點和不共線三點，，，能得到，，，四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據共面向量的推論判斷.
【詳解】A選項：，故A錯；
B選項：，故B正確；
C選項：，故C錯；
D選項：，故D錯.
故選：B.
【變式2】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）已知點、、不共線，對空間任意一點，若，則點、、、（ ）
A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．無法判斷
【答案】B
【分析】根據共面向量的基本定理可得出結論.
【詳解】因為，則，
即，即，所以共面，
又因為它們有公共點，所以點、、、共面.
故選：B.
【變式3】（23-24高二上·重慶北碚·階段練習）在三棱錐中，M是平面ABC上一點，且，則 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】利用空間向量的基本定理得到關于的方程，解之即可.
【詳解】因為，
所以，
因為M是平面ABC上一點，即四點共面，
所以，所以．
故選：B.
【變式4】（23-24高一上·云南昭通·階段練習）對于空間任意一點和不共線的三點，，，且有，若，，，四點共面，則 .
【答案】3
【分析】利用空間中四點共面的判定條件進行求解.
【詳解】已知空間任意一點和不共線的三點，，，
則，，，四點共面等價于：，
所以.
故答案為：3.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（23-24高二上·山東日照·階段練習）下列命題中為真命題的是（ ）
A．向量與的長度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓
C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
【答案】A
【分析】由于向量的長度與向量的方向無關，相反向量的長度相等，由此可判斷AD，將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，由此可判斷B，由向量與有向線段的關系判斷C.
【詳解】選項A：因為空間向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確；
選項B：將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，所以B錯誤；
選項C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤；
選項D：兩個空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯誤；
故選：A.
2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助向量線性運算法則計算即可得.
【詳解】.
故選：A.
3．（23-24高二上·江西景德鎮·期末）在空間四邊形中，化簡（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加減運算求解.
【詳解】.
故選：B
4．（23-24高二上·廣東廣州·期末）在下列條件中，一定能使空間中的四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用共面向量定理及推論逐項判斷即得.
【詳解】對于A，中，，A不是；
對于B，中，，B不是；
對于C，化為，，C不是；
對于D，中，，D是.
故選：D
5．（23-24高二上·山東青島·期末）已知四面體中，為中點，若，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根據空間向量的運算法則，化簡得到，結合題意，列出方程，即可求解.
【詳解】根據題意，利用空間向量的運算法則，可得：，
因為，所以，解得.
故選：D.
6．（23-24高二上·福建莆田·期末）如圖，平行六面體中，點在上，點在上，且，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據空間向量的運算法則確定，得到答案.
【詳解】，
故，，，.
故選：A
7．（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知三棱錐的體積為15，是空間中一點，，則三棱錐的體積是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根據題意，由空間向量的運算可得，再由空間向量基本定理可得，即可得到結果.
【詳解】
因為，則，
即，
即，所以，
因為，由空間向量基本定理可知，在平面內存在一點，
使得成立，即，
所以，即，則，
又三棱錐的體積為15，
則.
故選：C
8．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知直四棱柱的底面為梯形，，若平面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據面面平行的性質可得，結合空間的等角定理可得∽，即得對應邊成比例，結合題意，即可求得答案.
【詳解】因為四棱柱為直四棱柱，，
故平面平面，而平面平面，
平面平面，故，
又，則，故∽，
故，又，，則，
則，故，則，
故選：C
二、多選題
9．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）下列選項中正確的是（ ）
A．若存在實數x，y，使，則點P，M，A，B共面；
B．若與共面，則存在實數x，y，使；
C．若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共線；
D．若是空間三個向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序實數組，使．
【答案】AC
【分析】由空間向量共面定理即可判斷AB，由共線向量的概念即可判斷C，由空間向量基本定理即可判斷D
【詳解】由向量共面定理可知，若存在實數x，y，使，則點P，M，A，B共面，故A正確；
若共線，不與共線，則不存在實數x，y，使，故B錯誤；
若向量所在的直線是異面直線，則的方向不相同也不相反，且所在直線也不
相交，所以向量一定不共線，故C正確；
若是空間三個基底向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序實數組，使，故D錯誤；
故選：AC
10．（23-24高二·全國·課堂例題）如圖所示，在長方體中，，，，則在以八個頂點中的兩個分別為始點和終點的向量中（ ）

A．單位向量有8個 B．與相等的向量有3個
C．的相反向量有4個 D．模為的向量有4個
【答案】ABC
【分析】
根據單位向量、相等向量、相反向量和向量的模的概念逐項分析可得答案.
【詳解】
由題可知單位向量有，，，，，，，，共8個，故A正確；
與相等的向量有，，，共3個，故B正確；
向量的相反向量有，，，，共4個，故C正確；
模為的向量分別為，，，，，，，，共8個，故D錯誤．
故選：ABC
三、填空題
11．（23-24高二上·貴州遵義·期末）已知長方體中，點Q為線段的中點，，則 .
【答案】/2.5
【分析】根據向量的加法運算及向量的相等求值即可.
【詳解】如圖，
因為,
所以.
故答案為：
12．（23-24高二上·浙江臺州·期中）已知P為空間中任意一點，A、B、C、D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且，則實數x的值為 .
【答案】
【分析】根據向量共面的基本定理求即可求解.
【詳解】P為空間中任意一點，A、B、C、D四點滿足任意三點均不共線，
但四點共面，且，
則根據向量共面定理，，即.
故答案為：
四、解答題
13．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并在圖中標
所以，
所以，又為公共點，
所以B，C，D三點共線．
B能力提升
1．（2024·浙江）已知空間向量兩兩相互垂直，且，若則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，根據題意可得，再利用基本不等式，即可得答案；
【詳解】設，
，
，
等號成立，當且僅當，
，
故選：C.
【點睛】本題考查向量的數量積、基本不等式，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意驗證等號成立的條件.
2．（23-24高二上·廣東東莞·階段練習）如圖，點是棱長為2的正四面體底面的中心，過點的直線交棱于點是棱上的點，平面與棱的延長線相交于點，與棱的延長線相交下點，則 ．

【答案】
【分析】
確定，根據共面得到，解得答案.
【詳解】
；
四點共面，故，即.
故答案為：
3．（23-24高二·全國·課后作業）如圖所示，已知，，及，，分別是異面直線，上的三點，點，，，分別是線段，，，的中點．求證：，，，四點共面．
【答案】證明見解析
【分析】把通過，用和線性表示，得它們共面，從而可得四點共面．
【詳解】證明：連接，，，，，．易知，，∴，．
．（*）
∵，，三點共線及，，三點共線，
∴存在實數，，使得，，
代入（*）式，得，
∴，∴，，共面．
又，，過同一點，
∴，，，四點共面．
4．（23-24高二上·廣東深圳·開學考試）如圖，在三棱錐中，點為的重心，點在上，且，過點任意作一個平面分別交線段，，于點，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.
【答案】為定值4；證明見解析；
【分析】聯結AG并延長交BC于H，由題意，令為空間向量的一組基底，表示出.
然后根據點，，，M共面，故存在實數，滿足，再表示出一組的表達式，因此其系數相同，從而證得結論.
【詳解】聯結AG并延長交BC于H，由題意，令為空間向量的一組基底，
則
.
聯結DM，點，，，M共面，故存在實數，
滿足，即，
因此，
由空間向量基本定理知，
，
故，為定值.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑