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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展01 柯西不等式（精講+精練）
1.二維形式的柯西不等式
2.二維形式的柯西不等式的變式
3.二維形式的柯西不等式的向量形式
注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用。比如，對，并不是不等式的形狀，但變成就可以用柯西不等式了。
4.擴(kuò)展：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
【典例1】實(shí)數(shù)x、y滿足，則x+y的最大值是________.
解：，則
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
答案：
【典例2】（2019·全國高考真題）設(shè)，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，證明：或.
【分析】(1)根據(jù)條件，和柯西不等式得到，再討論是否可以達(dá)到等號成立的條件.(2)恒成立問題，柯西不等式等號成立時構(gòu)造的代入原不等式，便可得到參數(shù)的取值范圍.
【詳解】(1) 故等號成立當(dāng)且僅當(dāng)而又因，解得時等號成立，所以的最小值為.
(2)因?yàn)椋?
根據(jù)柯西不等式等號成立條件，當(dāng)，即時有成立.
所以成立，所以有或.
【題型訓(xùn)練1-刷真題】
一、填空題
1．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.
二、解答題
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2)若，則．
【題型訓(xùn)練2-刷模擬】
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x、y、z滿足（a為常數(shù)），求的最小值．
2．（2023·甘肅蘭州·校考一模）已知，且滿足，求的最小值．
3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且．求證：
(1)；
(2)．
4．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）已均為正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2)．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知均為正數(shù)，且滿足.證明：
(1)；
(2).
6．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為正數(shù)，且.
(1)證明；
(2)證明.
7．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）已知，且，證明：
(1)；
(2)若，則.
二、單選題
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“柯西不等式”是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的，但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為柯西﹣﹣布尼亞科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式推廣到完善的地步，在高中數(shù)學(xué)選修教材4﹣5中給出了二維形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc（即）時等號成立．該不等式在數(shù)學(xué)中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應(yīng)用．根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)的最大值及取得最大值時x的值分別為（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）若，則的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空題
10．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分別為⊙C，⊙D上一動點(diǎn)，最小值為4，則取值范圍為_________．
11．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是______________．
12．（2023秋·湖南湘潭·高三校聯(lián)考期末）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.
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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展01 柯西不等式（精講+精練）
1.二維形式的柯西不等式
2.二維形式的柯西不等式的變式
3.二維形式的柯西不等式的向量形式
注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用。比如，對，并不是不等式的形狀，但變成就可以用柯西不等式了。
4.擴(kuò)展：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
【題型訓(xùn)練1-刷真題】
一、填空題
1．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】設(shè)，由平面向量的知識可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.
【詳解】由題意，設(shè)，
則，即，
又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
二、解答題
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2)若，則．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）方法一：根據(jù)，利用柯西不等式即可得證；
（2）由（1）結(jié)合已知可得，即可得到，再根據(jù)權(quán)方和不等式即可得證.
【詳解】（1）[方法一]：【最優(yōu)解】柯西不等式
由柯西不等式有，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.
[方法二]：基本不等式
由，，， ，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.
（2）證明：因?yàn)椋桑?）得，
即，所以，
由權(quán)方和不等式知，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，
所以.
【點(diǎn)睛】（1）方法一：利用柯西不等式證明，簡潔高效，是該題的最優(yōu)解；
方法二：對于柯西不等式不作為必須掌握內(nèi)容的地區(qū)同學(xué)，采用基本不等式累加，也是不錯的方法．
【題型訓(xùn)練2-刷模擬】
一、解答題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x、y、z滿足（a為常數(shù)），求的最小值．
【答案】
【分析】利用柯西不等式進(jìn)行解答即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故，即的最小值為．
2．（2023·甘肅蘭州·校考一模）已知，且滿足，求的最小值．
【答案】6
【分析】利用柯西不等式求出最小值.
【詳解】由柯西不等式，得．
得．所以．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立．
所以的最小值為6．
3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且．求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)；
（2）利用柯西不等式．
【詳解】（1）因?yàn)閍，b，c是正實(shí)數(shù)，所以，所以 （當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立），即；
（2）因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ裕矗?br/>4．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）已均為正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用題意構(gòu)造基本不等式，再利用柯西不等式證明即可；
（2）構(gòu)造基本不等式即可證明.
【詳解】（1）證明：由柯西不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
即，則原式成立；
（2）證明：
．
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知均為正數(shù)，且滿足.證明：
(1)；
(2).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合柯西不等式證明即可；
（2）根據(jù)柯西不等式證明，再根據(jù)證明即可.
（1）
證明：由柯西不等式有：
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，可得；
（2）證明：由柯西不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)時取“號，可得，
又由，可得，可得，
故有，當(dāng)且僅當(dāng)時取“號.
6．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為正數(shù)，且.
(1)證明；
(2)證明.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由柯西不等式可得，由此證明結(jié)論；
（2）由重要不等式結(jié)合不等式性質(zhì)可得，，結(jié)合不等式性質(zhì)和柯西不等式證明結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)闉檎龜?shù)，，
由柯西不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
（2）由重要不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
同理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
兩式相加得
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
7．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）已知，且，證明：
(1)；
(2)若，則.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由柯西不等式即可證明；
（2）由均值的不等式可得，由（1）可得，即可證明.
【詳解】（1）由，得，
由柯西不等式有，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
（2）由可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
從而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
二、單選題
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“柯西不等式”是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的，但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為柯西﹣﹣布尼亞科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式推廣到完善的地步，在高中數(shù)學(xué)選修教材4﹣5中給出了二維形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc（即）時等號成立．該不等式在數(shù)學(xué)中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應(yīng)用．根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)的最大值及取得最大值時x的值分別為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將代入二維形式的柯西不等式的公式中，進(jìn)行化簡即可得到答案．
【詳解】由柯西不等式可知：
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即x＝時取等號，
故函數(shù)的最大值及取得最大值時的值分別為，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查二維形式柯西不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）若，則的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右邊利用柯西不等式進(jìn)行放縮，得到關(guān)于的一元二次不等式進(jìn)行求解.
【詳解】由已知整理得
，
由柯西不等式得
，
當(dāng)時取等號，
所以，即，
解得，所以的最小值為.
故選：C．
三、填空題
10．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分別為⊙C，⊙D上一動點(diǎn)，最小值為4，則取值范圍為_________．
【答案】
【分析】先根據(jù)的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范圍.
【詳解】由于最小值為4，圓C的半徑為1，圓D的半徑為2，故兩圓圓心距離，
即，
由柯西不等式得：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
即，解得：.故答案為：
11．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是______________．
【答案】
【分析】由將函數(shù)化為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，再由柯西不等式求出函數(shù)的最大值，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)榻恰⒕鶠殇J角，所以的范圍均為，
所以，
所以
因?yàn)椋?br/>所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
令，，，
所以.
則的范圍是：.
故答案為：
12．（2023秋·湖南湘潭·高三校聯(lián)考期末）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，應(yīng)用柯西不等式求的取值范圍，進(jìn)而可得目標(biāo)式的最小值，注意等號成立條件.
【詳解】由題設(shè)，，則，
又，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
∴的最小值為.
故答案為：.
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