資源簡介

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展03 與大學(xué)高等數(shù)學(xué)接軌的三類函數(shù)（精講+精練）
高考數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(如歐拉公式、高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù))的接軌，常以小題的形式呈現(xiàn)，意在考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．因此在復(fù)習(xí)備考中，有意識地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練是很有必要的，這有利于培養(yǎng)個(gè)人的探究、創(chuàng)新精神，拓寬思維，提升核心素養(yǎng)．
【題型訓(xùn)練】
1.歐拉公式
1．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）歐拉公式（）被數(shù)學(xué)家們稱為“宇宙第一公式”.（其中無理數(shù)），如果記小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域（）為，值域（）為，則關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A． B．函數(shù)的圖像是一群孤立的點(diǎn)
C．是的函數(shù) D．
2．（單選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）歐拉公式（）被數(shù)學(xué)家們稱為“宇宙第一公式”.（其中無理數(shù)），如果記小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域（）為，值域（）為，則關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A． B．函數(shù)的圖像是一群孤立的點(diǎn)
C．是的函數(shù) D．
3．（填空題）（2023春·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）歐拉公式，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列前2022項(xiàng)的乘積為__.
2.高斯函數(shù)
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，例如，.已知，，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有解之和為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·寧夏銀川·高三銀川一中?？计谥校└咚故堑聡臄?shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家.用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：，表示不超過的最大整數(shù)，如，，，已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·江蘇南京·高三南京師大附中?？计谀└咚故堑聡臄?shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
1．（2023春·廣東廣州·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（ ）
A．， B．，
C．，若，則有 D．方程的解集為
2．（2023春·湖南長沙·高三長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（ ）
A．是奇函數(shù)
B．在上是減函數(shù)
C．的值域是
D．
3.狄利克雷函數(shù)
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）狄利克雷函數(shù)與黎曼函數(shù)是兩個(gè)特殊函數(shù)，狄利克雷函數(shù)為黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為則（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）德國著名數(shù)學(xué)家、解析數(shù)論的創(chuàng)始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年5月5日），對函數(shù)論、三角級數(shù)論等都有重要貢獻(xiàn)，主要著作有《數(shù)論講義》《定積分》等.狄利克雷函數(shù)就是以其名字命名的函數(shù)，其解析式為則下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．對任意有理數(shù)t，
B．對任意實(shí)數(shù)x，
C．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
D．存在實(shí)數(shù)x，y，
二、多選題
1．（2023秋·江西上饒·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．函數(shù)的值域?yàn)?B．若，則
C．若，則 D．，
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人,并且是有意識地“以概念代替直覺”的人．在狄利克雷之前,數(shù)學(xué)家們主要研究具體函數(shù),進(jìn)行具體計(jì)算,他們不大考慮抽象問題,但狄利克雷之后,人們開始考慮函數(shù)的各種性質(zhì),例如奇偶性、單調(diào)性、周期性等．1837年,狄利克雷拓廣了函數(shù)概念,提出了自變量x與另一個(gè)變量y之間的現(xiàn)代觀念的對應(yīng)關(guān)系,并舉出了個(gè)著名的函數(shù)——狄利克雷函數(shù):,下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．是偶函數(shù) D．的值域?yàn)?br/>3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型函數(shù)，若，其中為有理數(shù)集，則稱為狄利克雷函數(shù).對于狄利克雷函數(shù)，下面4個(gè)命題中真命題是（ ）
A．對任意，都有
B．對任意，都有
C．對任意，都存在，
D．若，，則有
三、填空題
1．（2023春·重慶酉陽·高三重慶市酉陽第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且有意識地“以概念代替直覺”，他定義了一個(gè)函數(shù)有如下四個(gè)結(jié)論：
①；
②函數(shù)是偶函數(shù)；
③函數(shù)具有單調(diào)性；
④已知點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形.
其中所有正確結(jié)論的序號是__________.
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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展03 與大學(xué)高等數(shù)學(xué)接軌的三類函數(shù)（精講+精練）
高考數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(如歐拉公式、高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù))的接軌，常以小題的形式呈現(xiàn)，意在考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．因此在復(fù)習(xí)備考中，有意識地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練是很有必要的，這有利于培養(yǎng)個(gè)人的探究、創(chuàng)新精神，拓寬思維，提升核心素養(yǎng)．
【題型訓(xùn)練】
1.歐拉公式
1．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）歐拉公式（）被數(shù)學(xué)家們稱為“宇宙第一公式”.（其中無理數(shù)），如果記小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域（）為，值域（）為，則關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A． B．函數(shù)的圖像是一群孤立的點(diǎn)
C．是的函數(shù) D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)的定義可知A正確；由可知B正確；根據(jù)函數(shù)定義可知C錯(cuò)誤；根據(jù)，可知D正確.
【詳解】對于A，小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，，A正確；
對于B，，的圖像是一群孤立的點(diǎn)，B正確；
對于C，由的值可知：當(dāng)時(shí)，，不符合函數(shù)的定義，C錯(cuò)誤；
對于D，由題意知：；又，，D正確.
故選：ABD.
2．（單選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）歐拉公式（）被數(shù)學(xué)家們稱為“宇宙第一公式”.（其中無理數(shù)），如果記小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域（）為，值域（）為，則關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A． B．函數(shù)的圖像是一群孤立的點(diǎn)
C．是的函數(shù) D．
【答案】A
【分析】利用歐拉公式即可判斷①，逆用歐拉公式即可判斷②
【詳解】①
②
則①②均正確
故選：A
3．（填空題）（2023春·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）歐拉公式，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列前2022項(xiàng)的乘積為__.
【答案】
【分析】根據(jù)題意，，然后根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則求積，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式化簡，最后根據(jù)定義求結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>所以
.
故答案為: .
2.高斯函數(shù)
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，例如，.已知，，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，將其變形分析其取值范圍結(jié)合取整函數(shù)，即可求得結(jié)果.
【詳解】易知，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以，則函數(shù)的值域?yàn)?
故選：C.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有解之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】，，使，可得，，分類討論k為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，求出k的值，再代入求解即可.
【詳解】解：，，使，則，
可得，，
若k為奇數(shù)，則，所以，
，則，
解得，或，
當(dāng)時(shí)，，，，，
當(dāng)時(shí)，，，，，
若k為偶數(shù)，則，所以，
，則，
解得，或，
當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，，，，
因此，所有解之和為：，
故選：C.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
3．（2023春·寧夏銀川·高三銀川一中?？计谥校└咚故堑聡臄?shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家.用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：，表示不超過的最大整數(shù)，如，，，已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先進(jìn)行分離，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)性質(zhì)求出的值域，結(jié)合已知定義即可求解．
【詳解】因?yàn)?br/>又，
所以，
所以
所以，
則的值域．
故選：C．
4．（2023秋·江蘇南京·高三南京師大附中校考期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依題意可得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)討論，和時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性與值域，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋x域?yàn)椋?br/>因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，則在定義域上單調(diào)遞減，
所以在定義域上單調(diào)遞減，
時(shí)，，
時(shí)，；
則時(shí)，
時(shí)，，
時(shí)，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于理解題中高斯函數(shù)的定義，才能通過研究的性質(zhì)來研究的值域，突破難點(diǎn).
二、多選題
1．（2023春·廣東廣州·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（ ）
A．， B．，
C．，若，則有 D．方程的解集為
【答案】CD
【分析】取，，，A錯(cuò)誤，取，，，B錯(cuò)誤，，則，，故，C正確，計(jì)算，或，D正確，得到答案.
【詳解】對選項(xiàng)A：取，則，，錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)B：取，，，錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)C：，則，，故，正確；
對選項(xiàng)D：，故，解得，
故或，故或，正確.
故選：CD
2．（2023春·湖南長沙·高三長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考開學(xué)考試）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（ ）
A．是奇函數(shù)
B．在上是減函數(shù)
C．的值域是
D．
【答案】ACD
【分析】利用奇偶性的定義判斷A，利用函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論判斷B，由單調(diào)性求出的取值范圍，結(jié)合定義判斷C，利用對數(shù)函數(shù)的值域結(jié)合定義判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，所以是奇函數(shù)，選項(xiàng)A正確；
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，所以的值域是，選項(xiàng)C正確；
令，，
由高斯函數(shù)定義可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以
，選項(xiàng)D正確；
故選：ACD
3.狄利克雷函數(shù)
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）狄利克雷函數(shù)與黎曼函數(shù)是兩個(gè)特殊函數(shù)，狄利克雷函數(shù)為黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為則（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)與黎曼函數(shù)的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，又為上的無理數(shù)，所以，因?yàn)椋?br/>故選：A.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）德國著名數(shù)學(xué)家、解析數(shù)論的創(chuàng)始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年5月5日），對函數(shù)論、三角級數(shù)論等都有重要貢獻(xiàn)，主要著作有《數(shù)論講義》《定積分》等.狄利克雷函數(shù)就是以其名字命名的函數(shù)，其解析式為則下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．對任意有理數(shù)t，
B．對任意實(shí)數(shù)x，
C．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
D．存在實(shí)數(shù)x，y，
【答案】C
【詳解】對于A，對任意有理數(shù)t，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)，則；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，為無理數(shù)，則，故A正確；
對于B，若x為有理數(shù)，則；若x為無理數(shù)，則，故B正確；
對于C，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，則為有理數(shù)，則；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，則為無理數(shù)，則，于是對任意實(shí)數(shù)x，都有，即狄利克雷函數(shù)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對于D，取，，因?yàn)闉闊o理數(shù)，所以，故D正確.
故選：C.
二、多選題
1．（2023秋·江西上饒·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．函數(shù)的值域?yàn)?B．若，則
C．若，則 D．，
【答案】BD
【分析】根據(jù)函數(shù)值域的定義，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】由函數(shù)的值域定義可知函數(shù)的值域?yàn)?，所以選項(xiàng)A不正確；
因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)B正確；
當(dāng)時(shí)，顯然滿足，但是，所以選項(xiàng)C不正確；
當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確，
故選：BD
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人,并且是有意識地“以概念代替直覺”的人．在狄利克雷之前,數(shù)學(xué)家們主要研究具體函數(shù),進(jìn)行具體計(jì)算,他們不大考慮抽象問題,但狄利克雷之后,人們開始考慮函數(shù)的各種性質(zhì),例如奇偶性、單調(diào)性、周期性等．1837年,狄利克雷拓廣了函數(shù)概念,提出了自變量x與另一個(gè)變量y之間的現(xiàn)代觀念的對應(yīng)關(guān)系,并舉出了個(gè)著名的函數(shù)——狄利克雷函數(shù):,下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．是偶函數(shù) D．的值域?yàn)?br/>【答案】AC
【分析】根據(jù)選項(xiàng)對兩種情況分類討論,即可得出A,C的正誤,時(shí),,所以,選項(xiàng)B錯(cuò)誤,由可知,,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】解:由題知,
關(guān)于選項(xiàng)A,
當(dāng)時(shí),,,
當(dāng)時(shí),,,故選項(xiàng)A正確;
關(guān)于選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),,,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
關(guān)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,,
當(dāng)時(shí),,,為偶函數(shù),故選項(xiàng)C正確;
關(guān)于選項(xiàng)D,由解析式可知,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:AC
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型函數(shù)，若，其中為有理數(shù)集，則稱為狄利克雷函數(shù).對于狄利克雷函數(shù)，下面4個(gè)命題中真命題是（ ）
A．對任意，都有
B．對任意，都有
C．對任意，都存在，
D．若，，則有
【答案】ACD
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可得出.
【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以對任意，都有，故A正確；
對B，若，則，，故B錯(cuò)誤；
對C，顯然當(dāng)時(shí)，對任意，，故C正確；
對D，由的解析式可得的值域?yàn)椋十?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
1．（2023春·重慶酉陽·高三重慶市酉陽第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且有意識地“以概念代替直覺”，他定義了一個(gè)函數(shù)有如下四個(gè)結(jié)論：
①；
②函數(shù)是偶函數(shù)；
③函數(shù)具有單調(diào)性；
④已知點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形.
其中所有正確結(jié)論的序號是__________.
【答案】②④
【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義判斷①，②，③，再結(jié)合點(diǎn)的位置判斷④.
【詳解】當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)，，，，
當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，為無理數(shù)，，，，
所以①錯(cuò)誤；
因?yàn)閷θ我獾模院瘮?shù)是偶函數(shù)；②正確，
因?yàn)?，所以函?shù)具有單調(diào)性；③錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，即點(diǎn)，，，的坐標(biāo)分別為，，，，所以，，結(jié)合圖象可得，，所以四邊形為平行四邊形，④正確，
故答案為：②④.21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
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