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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展02 不等式中的恒成立問題（精講+精練）
1.結(jié)合圖象務(wù)必理解掌握下面幾個重要結(jié)論！
設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榛颍蚧蛑兄环N，則
①若恒成立（即無解），則；
②若恒成立（即無解），則；
③若有解（即存在使得成立），則；
④若有解（即存在使得成立），則；
⑤若 有解（即無解），則；
⑥若無解（即有解），則．
【說明】
（1）一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法．
（2）取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號的取舍?。炊它c(diǎn)值的取舍）
2.分離參數(shù)的方法
①常規(guī)法分離參數(shù)：如；
②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；
【當(dāng)?shù)闹涤锌赡苋〉?，而的值一定不?時，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】
③討論法分離參數(shù)：如:
④整體法分離參數(shù)：如；
⑤不完全分離參數(shù)法：如；
⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．
【注意】
（1）分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法（大多數(shù)題可以使用此方法）． 但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時就用含參轉(zhuǎn)化法．
（2）恒成立命題對自變量的范圍有時有一部分或端點(diǎn)是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點(diǎn)，再分離參數(shù)求解．【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題．】
3.其他恒成立類型一
①在上是增函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．
②在 上是減函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．
③在上是單調(diào)函數(shù)，方法一：分上述兩種情形討論；(常用方法)
4.其他恒成立類型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5.其他恒成立類型三
①，；
②，；
③，；
④，．
【方法】處理時，把當(dāng)常數(shù)；處理時，把當(dāng)常數(shù)．
思考：對的四種取值情形；或；或等又如何處理呢？【同理！】
【典例1】正數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.
【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ裕?br/>由，，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，解得.所以的取值范圍為.
故答案為：.
【典例2】已知不等式的解集為，且對于，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由不等式的解集為知可用表示，代入中并用參數(shù)分離與基本不等式求得的取值范圍.
【詳解】由不等式的解集為，可知為方程的兩個根，
故且，即，
則不等式變?yōu)椋?br/>由于，則上式可轉(zhuǎn)化為在恒成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故.故選：B.
【題型訓(xùn)練】
1.基本不等式恒成立問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知P是曲線上的一動點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知 且，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．} C． D．
4．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知實(shí)數(shù) 滿足， 且， 若不等式恒成立， 則實(shí)數(shù)的最大值為 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為 （ ）
A． B． C． D．
二、多選題
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)，，時，恒成立，則的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
三、填空題
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)），，且恒成立，則的最大值為__．
14．（2023·山西大同·大同市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對任給，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
16．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為______．
2.一元二次不等式恒成立問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校校考開學(xué)考試）對任意的，不等式都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）對于任意實(shí)數(shù)及，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)在直線上，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時，恒成立，則a的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谀┤魧?，使得（且）恒成立，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若時，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕c中較大的數(shù)，恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則的取值范圍為________．
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對任意恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.
15．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.
16．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是____________．
17．（2023·高三課時練習(xí)）若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________
18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________．
3.一元二次不等式有解問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量滿足，，若，，則向量與的夾角不等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．（2023·山東·日照一中?？寄M預(yù)測）若正實(shí)數(shù)、滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）．
A．或 B．或
C． D．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則的取值范圍為________．
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
10．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）對數(shù)列，，如果存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列是數(shù)列的“優(yōu)數(shù)列”，若，，并且是的“優(yōu)數(shù)列”，也是的“優(yōu)數(shù)列”，則的取值范圍是____________．
11．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預(yù)測）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．
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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展02 不等式中的恒成立問題（精講+精練）
1.結(jié)合圖象務(wù)必理解掌握下面幾個重要結(jié)論！
設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榛颍蚧蛑兄环N，則
①若恒成立（即無解），則；
②若恒成立（即無解），則；
③若有解（即存在使得成立），則；
④若有解（即存在使得成立），則；
⑤若 有解（即無解），則；
⑥若無解（即有解），則．
【說明】
（1）一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法．
（2）取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號的取舍?。炊它c(diǎn)值的取舍）
2.分離參數(shù)的方法
①常規(guī)法分離參數(shù)：如；
②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；
【當(dāng)?shù)闹涤锌赡苋〉?，而的值一定不?時，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】
③討論法分離參數(shù)：如:
④整體法分離參數(shù)：如；
⑤不完全分離參數(shù)法：如；
⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．
【注意】
（1）分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法（大多數(shù)題可以使用此方法）． 但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時就用含參轉(zhuǎn)化法．
（2）恒成立命題對自變量的范圍有時有一部分或端點(diǎn)是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點(diǎn)，再分離參數(shù)求解．【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題．】
3.其他恒成立類型一
①在上是增函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．
②在 上是減函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．
③在上是單調(diào)函數(shù)，方法一：分上述兩種情形討論；(常用方法)
4.其他恒成立類型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5.其他恒成立類型三
①，；
②，；
③，；
④，．
【方法】處理時，把當(dāng)常數(shù)；處理時，把當(dāng)常數(shù)．
思考：對的四種取值情形；或；或等又如何處理呢？【同理！】
1.基本不等式恒成立問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范圍.
【詳解】當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，即的取值范圍為.
故選：D.
2．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知P是曲線上的一動點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及給定傾斜角的范圍，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解a的范圍即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)榍€在M處的切線的傾斜角，
所以對于任意的恒成立，
即對任意恒成立，
即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時，等號成立，故，
所以a的取值范圍是．故選：D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知 且，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．} C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式可取的最小值，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【詳解】∵，且，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，
由恒成立可得，
解得：，
故選：D.
4．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知實(shí)數(shù) 滿足， 且， 若不等式恒成立， 則實(shí)數(shù)的最大值為 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【分析】由得到，從而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，從而得到.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>，
當(dāng)且僅當(dāng)， 即時，等號成立．
因不等式恒成立，只需，
因此，故實(shí)數(shù)的最大值為25．
故選：D
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求出，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為，然后解不等式即可.
【詳解】恒成立，即
，
又，
上述兩個不等式中，等號均在時取到，
，
，解得且，又，
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
6．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可得，然后求出的最小值即可，而，所以，化簡后利用基本不等式可求得其最小值.
【詳解】依題意，，
因?yàn)檎龜?shù)滿足，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時兩個等號同時成立，
所以的取值范圍為.
故選：B
7．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用可得的最小值為4，再根據(jù)含參不等式恒成立解一元二次不等式，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，等號成立，則時，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
8．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結(jié)合條件，由可得，然后由可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>所以由可得，
因?yàn)?，所以?br/>所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，
故選：B．
9．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先參變分離得，再利用，與相乘，然后連續(xù)運(yùn)用兩次基本不等式即可.
【詳解】依題意，．
又，
而
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，
前后兩個不等號中的等號同時成立，所以的取值范圍為
故選：
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)，求出的值，代入中化簡，利用基本不等式求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則
所以
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號
所以的最小值是，則的最大值為.
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是設(shè)，得出進(jìn)行代換，屬于偏難題目.
二、多選題
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】將題目轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即求的最小值，利用基本不等式求出的最小值，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)的取值范圍，則答案可求．
【詳解】解：， 即恒成立，
，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
．
故選：ABC．
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查恒成立問題的求解，考查學(xué)生計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，是中檔題．
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)，，時，恒成立，則的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【分析】利用基本不等式求出的最小值，再求出的最大值即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
因?yàn)椋?br/>若恒成立，則，解得．
故選：AB.
三、填空題
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)），，且恒成立，則的最大值為__．
【答案】4
【分析】將不等式變形分離出，不等式恒成立即大于等于右邊的最小值；由于，湊出兩個正數(shù)的積是常數(shù)，利用基本不等式求最值．
【詳解】解：由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可
，，故，因此
故答案為：4．
14．（2023·山西大同·大同市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．
【答案】
【分析】根據(jù)將分離出來，基本不等式求最值即可求解.
【詳解】由得．
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時等號成立，
∴，∴的最大值為．
故答案為：
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對任給，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】
【分析】利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式等價為a恒成立，
設(shè)m，則m＞0，
平方得m2＝（）2111+1＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號，
∴m2≤2，則0∴要使a恒成立，
則a，
故答案為[，+∞）
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法以及基本不等式求出最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．
16．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為______．
【答案】
【分析】分析可得原題意等價于對任意恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】∵，則，
原題意等價于對任意恒成立，
由，，則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，
∴，解得．
故正實(shí)數(shù)的取值集合為.
故答案為：．
2.一元二次不等式恒成立問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)新定義得，再參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
【詳解】等價于，即，
記，，．
故選：D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得答案.
【詳解】，
∵不等式恒成立，
∴，
解得，
故選：B．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】對進(jìn)行分類討論，當(dāng)時不等式恒成立，時不等式恒成立，需要時且，可求得的范圍．
【詳解】當(dāng)時，不等式化為恒成立，
當(dāng)時，要使不等式恒成立，需，解得，
綜上可得，不等式對任意恒成立，則的取值范圍是．故選：A．
4．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）對任意的，不等式都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分離參數(shù)得對任意的恒成立，則求出即可.
【詳解】因?yàn)閷θ我獾?，都有恒成立?br/>∴對任意的恒成立．
設(shè)，
，，
當(dāng)，即時，，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：D.
5．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）對于任意實(shí)數(shù)及，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先將除了以外的量看成常量，運(yùn)用基本不等式先求出左邊表達(dá)式的最小值，然后利用分離參數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求解.
【詳解】由基本不等式，，故只需要即可，
即對于任意的，恒成立，等價于對任意的，，或.
當(dāng)時，由于，原式可變形為，記，
根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)在上遞減，在上遞增，
于是在上遞增，此時；
當(dāng)時，由于，原式可變形為，記，
根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)在上遞減，在上遞增，于是在上遞減，在上遞增，
當(dāng)，當(dāng)，注意到，故當(dāng)時，，故.
綜上，.
故選：D
6．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)在直線上，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】將點(diǎn)代入直線方程，再利用基本不等式求得的最小值，從而將問題轉(zhuǎn)化，解之即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，
因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以.
故選：A
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時，恒成立，則a的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】，可看作關(guān)于的二次函數(shù)大于等于0恒成立，則判別式小于等于0恒成立，即在時恒成立，記，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.
【詳解】，即 ，
算式可看作關(guān)于的二次函數(shù)大于等于0恒成立，
則判別式恒成立，即在時恒成立，
記，則，
，解得，，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
∴，則a的最小值是2，
故選：D
8．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谀┤魧Γ沟茫ㄇ遥┖愠闪ⅲ瑒t實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式恒成立，得到，求出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】對取對數(shù)可得：.
即關(guān)于x的不等式對恒成立，
只需
所以，解得：.
故選：A
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若時，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意設(shè)，，由一次函數(shù)以及不等式分析得時，，變形后代入，然后利用基本不等式求解.
【詳解】設(shè)（），（），
因?yàn)椋援?dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
由不等式恒成立，得：或，
即當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時，恒成立，
所以當(dāng)時，，則，即，
則當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
10．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為與中較大的數(shù)，恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意分析可得對恒成立，對整理分析可得：對恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析運(yùn)算.
【詳解】∵當(dāng)時，則，可得；當(dāng)時，則，可得；
∴當(dāng)時，，
故原題意等價于對恒成立，
整理得，
∵，則，可得，
故原題意等價于對恒成立，
構(gòu)建，可知開口向上，對稱軸，
可得，或，或，
解得，
所以a的取值范圍為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
1.對的符號分析可得：對恒成立；
2.對因式分解，分析可得：對恒成立.
二、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】由一元二次不等式在R上恒成立可得，即可求的范圍.
【詳解】由題設(shè)，，即，
所以.
故答案為：
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則的取值范圍為________．
【答案】
【分析】根據(jù)不等式有解可得當(dāng)時，，結(jié)合二次函數(shù)的最值可求得結(jié)果.
【詳解】在內(nèi)有解，，其中；
設(shè)，則當(dāng)時，，
，解得：，的取值范圍為.
故答案為：.
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】先移項(xiàng)，根據(jù)不等式是否為二次不等式分類討論，當(dāng)是一次不等式，若對恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需開口向上且判別式小于零，建立不等式解出即可.
【詳解】解：原不等式可化為對恒成立．
（1）當(dāng)時，若不等式對恒成立，
只需，解得；
（2）當(dāng)時，若該二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
綜上：.故答案為：
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對任意恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.
【答案】
【分析】把題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，即可求解.
【詳解】可轉(zhuǎn)化為.
設(shè)，則是關(guān)于m的一次型函數(shù).
要使恒成立，只需，
解得.
故答案為：
15．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.
【答案】
【分析】原不等式可轉(zhuǎn)化為，利用換元法，令，將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在區(qū)間上恒成立問題，利用一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)椋栽坏仁娇赊D(zhuǎn)化為在上恒成立，
令，，
要使在上恒成立，
當(dāng)時，不符合題意，
當(dāng)時，若要在上恒成立，
由一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得該函數(shù)圖象開口向下，即，
當(dāng)對稱軸，即時，只需，解得；
當(dāng)對稱軸，即時，只需，解得；
綜上所述，
故答案為：
16．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】通過參數(shù)分離等價轉(zhuǎn)化不等式，再求二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值，即可求出a的取值范圍．
【詳解】由不等式對恒成立，
可轉(zhuǎn)化為對恒成立，即，
而，
當(dāng)時，有最大值，所以，
故答案為：．
17．（2023·高三課時練習(xí)）若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________
【答案】.
【詳解】由已知得不等式對任意恒成立，所以不等式對任意恒成立，即不等式對任意恒成立，當(dāng)時，則不等式對任意不恒成立，所以．所以 ，即 ，所以．解得．
【點(diǎn)睛】解對數(shù)不等式應(yīng)將兩邊都化成同底數(shù)的對數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較真數(shù)的大?。坏仁綄θ我夂愠闪?，可轉(zhuǎn)化為不等式對任意恒成立，分與兩種情況討論．時結(jié)合二次函數(shù)的圖像得結(jié)論．
18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】分類討論：①當(dāng)時，即：，
整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)時，，則；
②當(dāng)時，即：，整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)或時，，則；
綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.
點(diǎn)睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號四個方面分析．
3.一元二次不等式有解問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】將不等式在上有解，轉(zhuǎn)化為不等式在上有解求解.
【詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏嫌薪猓?br/>所以不等式在上有解，
令，則，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選：B
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意和一元二次不等式能成立可得對于，成立，
令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出.
【詳解】存在，不等式成立，
則，能成立，
即對于，成立，
令，，
則，令，
所以當(dāng)，單調(diào)遞增，
當(dāng)，單調(diào)遞減，
又，所以，
所以.
故選：C
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分別在、和的情況下，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論得到結(jié)果.
【詳解】①當(dāng)時，不等式化為，解得：，符合題意；
②當(dāng)時，為開口方向向上的二次函數(shù)，
只需，即；
③當(dāng)時，為開口方向向下的二次函數(shù)，
則必存在實(shí)數(shù)，使得成立；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量滿足，，若，，則向量與的夾角不等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律將模長的平方寫為向量的平方，結(jié)合一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上有解求解即可.
【詳解】設(shè)向量與的夾角為，，
由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可將原問題轉(zhuǎn)化為，，
即，根據(jù)題意整理得有解，
所以，
解得，
故選：C
5．（2023·山東·日照一中校考模擬預(yù)測）若正實(shí)數(shù)、滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）．
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，即，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，即的最小值為，
因?yàn)椴坏仁接薪?，則，即，
即，解得或.
故選：A.
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)換為在上有解，設(shè)函數(shù)，，求出函數(shù)的最大值，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，，即 ，
故問題轉(zhuǎn)化為在上有解，
設(shè)，則，，
對于 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
則，故 ，故選：A
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】據(jù)題意，分兩種情況討論：①當(dāng)時，即，將的值代入分析不等式的解集是否為空集，②當(dāng)時，即，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析不等式解集非空時的取值范圍，綜合2種情況即可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論：
①當(dāng)時，即，
若時，原不等式為，解可得：，則不等式的解集為，不是空集；
若時，原不等式為，無解，不符合題意；
②當(dāng)時，即，
若的解集是空集，則有，解得，
則當(dāng)不等式的解集不為空集時，有或且，
綜合可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為；
故選：C．
二、填空題
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則的取值范圍為________．
【答案】
【分析】根據(jù)不等式有解可得當(dāng)時，，結(jié)合二次函數(shù)的最值可求得結(jié)果.
【詳解】在內(nèi)有解，，其中；
設(shè)，則當(dāng)時，，
，解得：，的取值范圍為.
故答案為：.
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
【答案】
【詳解】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題．分類討論，先驗(yàn)證是否成立，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式得出a的范圍．
【解答】當(dāng)時，不等式為有解，故，滿足題意；
當(dāng)時，若不等式有解，
則滿足，解得或；
當(dāng)時，此時對應(yīng)的函數(shù)的圖象開口向下，此時不等式總是有解，
所以，
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
10．（2023·上海·高三專題練習(xí)）對數(shù)列，，如果存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列是數(shù)列的“優(yōu)數(shù)列”，若，，并且是的“優(yōu)數(shù)列”，也是的“優(yōu)數(shù)列”，則的取值范圍是____________．
【答案】．
【分析】根據(jù)“優(yōu)數(shù)列”列不等式，再根據(jù)二次不等式有解求參數(shù)范圍.
【詳解】因?yàn)槭堑摹皟?yōu)數(shù)列”，
所以存在正整數(shù)，
即，
顯然成立，所以；
因?yàn)槭堑摹皟?yōu)數(shù)列”，
所以存在正整數(shù)，
即，
當(dāng)時，由于對稱軸，所以必存在正整數(shù)，使得
綜上，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義、不等式有解問題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.
11．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中?？寄M預(yù)測）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，遞減小于0，再解含參數(shù)的不等式分類討論即可.
【詳解】，
由題意知，在上有實(shí)數(shù)解，
即有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)時，顯然滿足，
當(dāng)時，只需
綜上所述，故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，及含參數(shù)的不等式有解求參數(shù)的取值范圍問題.
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求相應(yīng)最值即可得到結(jié)論.
【詳解】由可得，，
因?yàn)?，所以，根?jù)題意，即可，
設(shè)，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，所以，
故答案為：21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
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