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3.3一元一次不等式七大題型（一課一講）
題型一：判斷是否為一元一次不等式
【經典例題1】下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的個數為（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【變式訓練1-1】下列各式是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-2】下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】下列各式是一元一次不等式的有（ ）個
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練1-4】下列不等式中，一元一次不等式有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練1-5】下列是一元一次不等式的有（ ）
，，，，，
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練1-6】下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
；；；；；．
A．個 B．個 C．個 D．個
題型二：利用一元一次不等式定義求參數
【經典例題2】若是關于x的一元一次不等式，則 ．
【變式訓練2-1】若是關于的一元一次不等式，則該不等式的解集是 ．
【變式訓練2-2】已知是關于的一元一次不等式，則 ．
【變式訓練2-3】已知是關于x的一元一次不等式，則m的值為 ．
【變式訓練2-4】當 時，不等式是關于的一元一次不等式．
【變式訓練2-5】已知是關于x的一元一次不等式．
(1)求m的值．
(2)求出原一元一次不等式的解集．
題型三：解一元一次不等式
【經典例題3】解不等式(組)，并把解集在數軸上表示出來
．
【變式訓練3-1】解不等式把解集在數軸上表示出來．
【變式訓練3-2】解一元一次不等式，并把解在數軸上表示出來．
【變式訓練3-3】解不等式：
【變式訓練3-4】解不等式或解方程．
(1)．
(2)．
(3)
(4)
【變式訓練3-5】解不等式：，并將解集在如圖所示的數軸上表示出來．
題型四：一元一次不等式的整數解
【經典例題4】若關于x的不等式的最小整數解是2，則實數m的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
【變式訓練4-1】已知關于的不等式有且只有個負整數解，則的取值范圍是 ．
【變式訓練4-2】若關于x的不等式只有3個正整數解，則m的取值范圍是 ．
【變式訓練4-3】能使不等式成立的的最大整數值是 ．
【變式訓練4-4】不等式的非負整數解為 ．
【變式訓練4-5】已知關于的方程，若該方程的解是不等式的最大整數解，則 ．
【變式訓練4-6】若關于的不等式的正整數解是1，2，3，則整數的最小值是 ．
題型五：解|x|≥a型的不等式
【經典例題5】先閱讀絕對值不等式和的解法，再解答問題．
①因為，從數軸上（如圖1）可以看出只有大于－6而小于6的數的絕對值小于6，所以的解集為．
②因為，從數軸上（如圖2）可以看出只有小于－6的數和大于6的數的絕對值大于6．所以的解集為或．
(1)的解集為______，的解集為______；
(2)已知關于的二元一次方程組的解滿足，其中是正整數，求的值．
【變式訓練5-1】數學探究小組在學習了不等式知識后開展對絕對值不等式的解集的探究，首先對和進行探究：
根據絕對值的意義，將不等式的解集表示在數軸上（如圖1），可得的解集是：；將不等式的解集表示在數軸上（如圖2），可得的解集是：或．

根據以上探究，解答下列問題：
(1)填空：不等式（）的解集為______，不等式（）的解集為______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【變式訓練5-2】已知、在數軸上分別表示、.
(1)對照數軸填寫下表：
、兩點的距離
(2)寫出數軸上到和的距離之和為的所有整數，并求這些整數的和；
(3)若數軸上表示數a的點位于與6之間，求的值；
(4)若x表示一個有理數，且，求有理數的取值范圍．
【變式訓練5-3】認真閱讀下面的材料，完成有關問題，
材料：在學習絕對值時，一般地，點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，那么A，B之間的距離可表示為．例如：數軸上與3對應的點之間的距離為．
(1)點A，B，C在數軸上分別表示有理數x，，1，那么C到B的距離為______，A到B的距離與A到C的距離之和可表示為______（用含絕對值的式子表示）；
(2)利用數軸探究：當x取何值時，有最小值，最小值是多少
(3)①根據絕對值的幾何意義可以解一些絕對值不等式：

由圖可得出：絕對值不等式的解集是或；絕對值不等式的解集，是，則：不等式的解集是______；
②利用數軸解不等式，并加以說明．
【變式訓練5-4】先閱讀下面是的解題過程，然后回答下列問題．
例：解絕對值方程：．
解：分情況討論：①當時，原方程可化為，解得；
②當時，原方程可化為，解得．
所以原方程的解為或．
根據材料，解下列絕對值方程：
(1)理解應用：；
(2)拓展應用：不等式的解集為______．
【變式訓練5-5】閱讀理解：
例1．解方程，因為在數軸上到原點的距離為2的點對應的數為，所以方程的解為．
例2．解不等式，在數軸上找出的解（如圖），因為在數軸上到1對應的點的距離等于2的點對應的數為或3，所以方程的解為或，因此不等式的解集為或．

參考閱讀材料，解答下列問題：
(1)方程的解為________
(2)解不等式：．
(3)解不等式：．
題型六：用一元一次不等式解實際問題
【經典例題6】經銷商小李需要購進一批學生畫圖工具6000套，為此考察了甲、乙兩個文具加工廠．已知甲廠的加工能力是乙廠的1.5倍，且甲廠單獨加工這批畫圖工具所需要的天數比乙廠單獨加工這批畫圖工具所需要的天數少10天，還了解到這種畫圖工具甲廠的出廠價格為6元/套，乙廠的出廠價格為5.6元/套．
(1)求甲、乙兩個加工廠每天能加工這種畫圖工具各多少套？
(2)小李計劃從甲、乙兩廠購買這種畫圖工具，且費用不超過35400元，他最多能向甲工廠購買多少套這種畫圖工具？
【變式訓練6-1】為了落實東坡文化進校園，學校每年在初中年級舉辦國學誦讀活動，學校計劃購進類和類兩種演出服裝供學生使用，經市場調查，購買類演出服裝套和類演出服裝套共花費元，已知購買一套類演出服裝比購買一套類演出服裝多花元．
(1)購買一套類演出服裝和購買一套類演出服裝各需多少元？
(2)通過全校師生的共同努力，學校在今年市舉辦的東坡文化節誦讀活動中成績優秀，學校計劃用不超過元的經費再次購買類演出服裝和類演出服裝共套，若單價不變，則這次至少可以購買多少套類演出服裝？
【變式訓練6-2】期中考試后，某班班主任對在期中考試中取得優異成績的同學進行表彰．她到商場購買了甲、乙兩種筆記本作為獎品，購買甲種筆記本15個，乙種筆記本20個，共花費250元．已知購買一個甲種筆記本比購買一個乙種筆記本多花費5元．
(1)求購買一個甲種、一個乙種筆記本各需多少元？
(2)兩種筆記本均受到了獲獎同學的喜愛，班主任決定在期末考試后再次購買兩種筆記本共35個，正好趕上商場對商品價格進行調整，甲種筆記本售價比上一次購買時減價2元，乙種筆記本按上一次購買時售價的8折出售．如果班主任此次購買甲、乙兩種筆記本的總費用不超過上一次總費用的，求至多需要購買多少個甲種筆記本？
【變式訓練6-3】為改善城市人居環境，某區域原來每天需要處理生活垃圾920噸，剛好被12個A型和10個B型預處置點位進行初篩、壓縮等處理．已知一個A型點位比一個B型點位每天多處理7噸生活垃圾．
(1)求每個B型點位每天處理生活垃圾的噸數；
(2)由于垃圾分類要求提高，在每個點位每天將少處理8噸生活垃圾，同時由于市民環保意識增強，該區域每天需要處理的生活垃圾比原來少10噸．若該區域計劃增設A型、B型點位共5個，試問至少需要增設幾個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾？
【變式訓練6-4】鴻志中學傳統文化興趣小組在國慶節前夕，準備組織學生為學校編織大、小兩種中國結裝飾校園，若編織2個大號中國結和4個小號中國結需要彩繩22米，若編織1個大號中國結和3個小號中國結需要彩繩14米．
(1)求編織1個大號中國結和1個小號中國結各需要彩繩多少米？
(2)鴻志中學決定編織以上兩種中國結共60個，編織這兩種中國結的彩繩長不超過230米，那么該中學最多編織多少個大中國結？
【變式訓練6-5】隨著年輕消費群體對健康關注度日益增長，某品牌保溫杯的銷量一路攀升，該生產企業抓住商機，計劃加大生產一批優質保溫杯，現有兩組員工可完成這項任務．已知組員工單獨完成此項任務所需的時間是組員工的1.5倍，若由兩組合作完成，則需12天可完成此項任務．
(1)求兩組員單單獨完成此項任務各需多少天；
(2)根據市場需求，規定完成該任務所需時間不能超過8天，已知組原有10人，兩組合作2天后，組決定增加員工，組人數保持不變，兩組繼續合作，假設組每個人的工作效率相同，則組至少增加多少人時，兩組才能在規定時間內生產完這批保溫杯？
題型七：用一元一次不等式解幾何問題
【經典例題7】在 ABC中，，若其周長為，則邊的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-1】用長為 40 m 的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長度 m，要使靠墻的一邊長不小于 25 m，那么與墻垂直的一邊長 x（m）的取值范圍為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式訓練7-2】 ABC的邊長都為正整數，且，設，若為大于5的實數，滿足，求三角形 ABC各邊長．
【變式訓練7-3】如圖，數軸上點為原點，點A、B、C表示的數分別是．
(1) ．（用含m的代數式表示）
(2)當時，求m的最小值．
【變式訓練7-4】已知等腰三角形的周長為20，腰長為x．
(1)若腰長是底邊長的2倍，求底邊的長；
(2)求x的取值范圍．
【變式訓練7-5】如圖：在長方形中，，，動點P從點A出發，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C運動，到C點停止運動，設點P運動的時間為t秒，是否存在這樣的t，使得的面積？如果能，請求出t的取值范圍；如果不能，請說明理由．

【變式訓練7-6】若是△ABC的兩邊且
（1）試求的值，并求第三邊的取值范圍．
（2）若△ABC是等腰三角形，試求此三角形的周長．
（3）若另一等腰三角形DEF，其中一個內角為x°，另一個內角為(2x-20)°，試求此三角形的各內角度數．3.3一元一次不等式七大題型（一課一講）
題型一：判斷是否為一元一次不等式
【經典例題1】下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的個數為（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】A
【分析】本題主要考查了一元一次不等式的定義，含有一個未知數，未知數的次數是1，未知數的系數不為0，左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式．根據一元一次不等式的定義分析判斷即可．
【詳解】解：①，是方程；
②，不含未知數，不是一元一次不等式；
③，是代數式，不是不等式；
④，是一元一次不等式；
⑤，是一元一次不等式．
故選：A．
【變式訓練1-1】下列各式是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據含有一個未知數且未知數最高指數為1次的不等式叫作一元一次不等式，化簡后，根據定義判定即可．
本題考查了一元一次不等式，熟練掌握定義是解題的關鍵．
【詳解】解：A．含有2個未知數，不符合題意；
B．未知數的最高次數是2，不符合題意；
C．整理后不含未知數，不符合題意；
D．是一元一次不等式，符合題意．
故選：D．
【變式訓練1-2】下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一元一次不等式，根據一元一次不等式的定義逐項判斷即可求解，掌握一元一次不等式的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：、是一元一次不等式，該選項符合題意；
、不是一元一次不等式，該選項不符題意；
、不是一元一次不等式，該選項不符題意；
、不是一元一次不等式，該選項不符題意；
故選：．
【變式訓練1-3】下列各式是一元一次不等式的有（ ）個
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此題考查一元一次不等式的定義：含有一個未知數，且未知數的最高次數是1，用不等號連接，且不等號兩邊都是整式的式子是一元一次不等式，根據定義依次判斷．
【詳解】解：（1），（2），符合定義，
（3）不等號左邊不是整式，不符合定義，
（4）去括號后是，最高次數是2，不符合定義，
故選：B．
【變式訓練1-4】下列不等式中，一元一次不等式有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題主要依據的知識是一元一次不等式的定義．熟記不等式中只含有一個未知數，未知數的次數是1，且不等式的兩邊都是整式，這是解題的關鍵．
根據一元一次不等式的定義“不等式的兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1”，進行解答即可．
【詳解】①不是一元一次不等式，因為最高次數是2；
②不是一元一次不等式，因為是分式；
③不是一元一次不等式，因為有兩個未知數；
④是一元一次不等式；
⑤是一元一次不等式．
綜上，只有2個是一元一次不等式．
故選B．
【變式訓練1-5】下列是一元一次不等式的有（ ）
，，，，，
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查一元一次不等式的定義，未知數的最高次數為1，并且未知數的系數不能為0是解答本題的關鍵．
根據一元一次不等式的定義，只含有一個未知數，并且未知數的次數是1的不等式，作出判斷即可．
【詳解】解：，是一元一次不等式，共2個，
故選：B．
【變式訓練1-6】下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
；；；；；．
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【分析】本題考查了一元一次不等式的定義，含有一個未知數，未知數的次數是的不等式，叫做一元一次不等式，依此即可求解，正確理解一元一次不等式的定義是解題的關鍵．
【詳解】是一元一次不等式；是一元二次不等式，不是一元一次不等式；
不是一元一次不等式；，整理得是一元一次不等式；
是一元一次不等式；不是一元一次不等式；
綜上可知：是一元一次不等式，共個，
故選：．
題型二：利用一元一次不等式定義求參數
【經典例題2】若是關于x的一元一次不等式，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了一元一次不等式的定義，根據一元一次不等式的定義得到且，即可得到答案．
【詳解】解：∵是關于x的一元一次不等式，
∴且，
解得：，
故答案為：．
【變式訓練2-1】若是關于的一元一次不等式，則該不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查一元一次不等式的定義和解法，掌握基本概念和運算法則是解題的關鍵．先根據一元一次不等式的定義求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可．
【詳解】解：根據不等式是一元一次不等式可得：，
∴，
∴原不等式化為：，
解得：．
故答案為：．
【變式訓練2-2】已知是關于的一元一次不等式，則 ．
【答案】
【分析】本題考查一元一次不等式的定義，根據定義得到，解不等式即可得到答案，熟記一元一次不等式的定義是解決問題的關鍵．
【詳解】解：是關于的一元一次不等式，
，則或，且，解得，
故答案為：．
【變式訓練2-3】已知是關于x的一元一次不等式，則m的值為 ．
【答案】
【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可．
【詳解】∵是關于x的一元一次不等式，
∴，，
解得：，
故答案為：．
【點睛】此題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解本題的關鍵．
【變式訓練2-4】當 時，不等式是關于的一元一次不等式．
【答案】－2
【分析】根據一元一次不等式的定義列式求解即可．
【詳解】解：∵不等式是關于的一元一次不等式，
∴k 2≠0，，
解得：k＝－2，
故答案為：－2．
【點睛】本題主要考查一元一次不等式的定義：用不等號連接的，含有一個未知數，并且未知數的次數是1，系數不為0，左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式．
【變式訓練2-5】已知是關于x的一元一次不等式．
(1)求m的值．
(2)求出原一元一次不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據一元一次不等式的定義，，，分別進行求解即可．
（2）代入m的值，利用解一元一次不等式的一般步驟求解即可．
【詳解】（1）解：根據題意，解得，，
所以．
（2）解：原一元一次不等式為，
移項得，
合并同類項得，
解得．
【點睛】題考查了一元一次不等式的定義，解一元一次不等式，含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式．
題型三：解一元一次不等式
【經典例題3】解不等式(組)，并把解集在數軸上表示出來
．
【答案】，解集表示在數軸上見詳解
【分析】本題主要考查解一元一次不等式，根據不等式的性質，解一元一次不等式的方法，把解集表示在數軸上的方法即可求解．
【詳解】解：
去分母得，，
去括號得，，
移項，合并同類項得，，
系數化為1得，，
解集表示在數軸上，如圖所示，
【變式訓練3-1】解不等式把解集在數軸上表示出來．
【答案】，在數軸上表示見解析
【分析】本題主要考查了解不等式，先去分母，再去括號，然后移項，合并同類項，最后將解集表示在數軸上即可．解題的關鍵是熟練掌握解不等式的一般步驟，準確計算．
【詳解】解：，
去分母得，，
去括號得，，
移項得，，
合并同類項得，，
在數軸上表示如下：
【變式訓練3-2】解一元一次不等式，并把解在數軸上表示出來．
【答案】，在數軸上表示見解析
【分析】本題考查的是解一元一次不等式．熟練掌握解一元一次不等式的方法步驟，在數軸上表示不等式的解集，是解決問題的關鍵．先去分母、去括號、移項、合并同類項、化系數為1即可求出x的取值范圍，再把x的取值范圍在數軸上表示出來即可．
【詳解】，
去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
系數化成1，得．
將解集在數軸上表示出來如下：
【變式訓練3-3】解不等式：
【答案】
【分析】根據解一元一次不等式的步驟，即可求解，
本題考查了，解一元一次不等式，解題的關鍵是：熟練掌握解一元一次不等式的方法．
【詳解】解：
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
系數化為1，得．
【變式訓練3-4】解不等式或解方程．
(1)．
(2)．
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)原方程無解
【分析】本題考查解一元一次不等式及解分式方程，熟知不等式及分式方程的解法是正確解決本題的關鍵．
按一元一次不等式的解法及分式方程的解法分別計算每個小題，記得分式方程要檢驗．
【詳解】（1）解：
可得，
則，
解得；
（2）解：
可得：
則
解得．
（3）解：
去分母，得，
解得，
經檢驗，是原方程的根，
∴原方程的解為：；
（4）解：
去分母，得，
解得，
經檢驗，是原方程的增根，
∴原方程無解．
【變式訓練3-5】解不等式：，并將解集在如圖所示的數軸上表示出來．
【答案】，見解析
【分析】本題考查的是一元一次不等式的解法，在數軸上表示不等式的解集，先去分母，再移項，合并同類項，最后把未知數的系數化為1，最后在數軸上表示不等式的解集即可．
【詳解】解：，
去分母，得
移項、合并同類項，得，
系數化為1，得．
在數軸上表示如下：
．
題型四：一元一次不等式的整數解
【經典例題4】若關于x的不等式的最小整數解是2，則實數m的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】本題考查一元一次不等式的整數解．解不等式得出，根據不等式的最小整數解是即可確定的取值范圍，繼而得出結論．
【詳解】解：∵，
解得：，
∵關于x的不等式的最小整數解是，
∴，
∴，
∴實數的值可能是．
故選：C．
【變式訓練4-1】已知關于的不等式有且只有個負整數解，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據關于的一元一次不等式不等式的個負整數解只能是、、，求出的取值范圍即可．此題主要考查了一元一次不等式的整數解，要熟練掌握，解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據得到的條件進而求得不等式的整數解．
【詳解】解：，
，
，
∵不等式有個負整數解，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練4-2】若關于x的不等式只有3個正整數解，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元一次不等式的整數解；
首先求出不等式的解集，得出這三個正整數解分別是1，2，3，進而可得m的取值范圍．
【詳解】解：解不等式得：，
∵關于x的不等式只有3個正整數解，
∴這三個正整數解分別是1，2，3，
∴，
故答案為：．
【變式訓練4-3】能使不等式成立的的最大整數值是 ．
【答案】
【分析】本題考查求一元一次不等式的整數解，先求出不等式的解集，進而求出的最大整數值即可．
【詳解】解：
解得：，
∴使不等式成立的的最大整數值是；
故答案為：．
【變式訓練4-4】不等式的非負整數解為 ．
【答案】0，1，2，3
【分析】本題考查解一元一次不等式，求出一元一次不等式的解集，根據要求寫出符合要求的非負整數解即可．
【詳解】解：
，
∴不等式的非負整數解為：0，1，2，3．
故答案為：0，1，2，3．
【變式訓練4-5】已知關于的方程，若該方程的解是不等式的最大整數解，則 ．
【答案】2
【分析】本題考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解題的關鍵在于熟練掌握不等式和方程的解題技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整數解，即可求出m的值，將m的值代入方程即可求出的值．
【詳解】解：
，
不等式的最大整數解為2，
關于的方程的解是，
，
，
故答案為：2．
【變式訓練4-6】若關于的不等式的正整數解是1，2，3，則整數的最小值是 ．
【答案】10
【分析】本題考查了一元一次不等式的整數解，首先確定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根據整數解的個數就可以確定有哪些整數解，根據解的情況可以得到關于a的不等式，從而求出a的范圍．
【詳解】解：不等式的解集是：，
∵不等式的正整數解恰是1，2，3，
∴，
∴a的取值范圍是．
∴整數a的最小值是10．
故答案為：10．
題型五：解|x|≥a型的不等式
【經典例題5】先閱讀絕對值不等式和的解法，再解答問題．
①因為，從數軸上（如圖1）可以看出只有大于－6而小于6的數的絕對值小于6，所以的解集為．
②因為，從數軸上（如圖2）可以看出只有小于－6的數和大于6的數的絕對值大于6．所以的解集為或．
(1)的解集為______，的解集為______；
(2)已知關于的二元一次方程組的解滿足，其中是正整數，求的值．
【答案】(1)；或
(2)
【分析】本題主要考查了絕對值的幾何意義、二元一次方程組的特殊解法，求一元一次不等式組的整理數解等知識點，理解絕對值的幾何意義是解答本題的關鍵．
（1）根據閱讀材料的結論即可解答；
（2）先將二元一次的方程組的兩方程求和可得，再代入得到關于的絕對值方程，然后求解，最后確定滿足題意的的值即可．
【詳解】（1）解：由閱讀材料提供方法可得：的解集為；
的解集為或．
故答案為；或．
（2）解：二元一次方程組
可得：，即
，
是正整數
．
【變式訓練5-1】數學探究小組在學習了不等式知識后開展對絕對值不等式的解集的探究，首先對和進行探究：
根據絕對值的意義，將不等式的解集表示在數軸上（如圖1），可得的解集是：；將不等式的解集表示在數軸上（如圖2），可得的解集是：或．

根據以上探究，解答下列問題：
(1)填空：不等式（）的解集為______，不等式（）的解集為______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)，或
(2)或
(3)
【分析】此題是一個閱讀題目，首先通過閱讀把握題目中解題規律和方法，然后利用這些方法解決所給出的題目，所以解題關鍵是正確理解閱讀材料的解題方法，才能比較好的解決問題．此題是一個絕對值的問題，有點難以理解，要反復閱讀，充分理解題意．
（1）由于的解集是，的解集是或，根據它們即可確定和的解集；
（2）把當做一個整體，首先利用（1）的結論可以求出的取值范圍，然后就可以求出的取值范圍；
（3）先在數軸上找出的解，即可得出不等式的解集．
【詳解】（1）根據題干規律可得，不等式（）的解集為；
不等式（）的解集為或；
（2）由（1）得：由于，
所以或，
所以或，
所以的解集為或；
（3）由絕對值的意義得方程的解就是求在數軸上到1和對應點的距離之和等于5的點對應的x的值，
因為數軸上1和對應點的距離為3，
所以滿足方程的x對應的點在1的右邊或的左邊．
若x對應的點在1的右邊，可得；
若x對應的點在的左邊，可得；
所以方程的解為或，
所以不等式的解集為．
【變式訓練5-2】已知、在數軸上分別表示、.
(1)對照數軸填寫下表：
、兩點的距離
(2)寫出數軸上到和的距離之和為的所有整數，并求這些整數的和；
(3)若數軸上表示數a的點位于與6之間，求的值；
(4)若x表示一個有理數，且，求有理數的取值范圍．
【答案】(1)6；2；12
(2)0
(3)10
(4)或
【分析】（1）根據數軸上點表示的有理數，即可求出兩點間的距離．
（2）由數軸上兩點間的距離，可得出只要在和7之間的整數均滿足題意，進而即可求解．
（3）由題意得：，去絕對值即可求解．
（4）分類討論：當時；當時；當時；去絕對值，解不等式即可求解．
【詳解】（1）解：當，時，A、B兩點的距離為；
當，時，A、B兩點的距離為；
當，時，A、B兩點的距離為，
、兩點的距離 6 2 12
故答案為：6、2、12．
（2）7到的距離為，
7到之間的所有整數，均滿足到和的距離之和為，
∴ 數軸上到7和的距離之和為14的所有整數有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7；
，
答：所有這些整數的和為0．
（3）由題意得：，
則．
（4）當時，
不等式，即：，
解得：；
當時，
不等式，即，
則無解，
當時，不等式，即：，
解得：，
綜上所述：有理數x的取值范圍為：或．
【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離、解一元一次不等式及絕對值的意義，熟練掌握數軸上兩點之間的距離及絕對值不等式的解法是解題的關鍵．
【變式訓練5-3】認真閱讀下面的材料，完成有關問題，
材料：在學習絕對值時，一般地，點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，那么A，B之間的距離可表示為．例如：數軸上與3對應的點之間的距離為．
(1)點A，B，C在數軸上分別表示有理數x，，1，那么C到B的距離為______，A到B的距離與A到C的距離之和可表示為______（用含絕對值的式子表示）；
(2)利用數軸探究：當x取何值時，有最小值，最小值是多少
(3)①根據絕對值的幾何意義可以解一些絕對值不等式：

由圖可得出：絕對值不等式的解集是或；絕對值不等式的解集，是，則：不等式的解集是______；
②利用數軸解不等式，并加以說明．
【答案】(1)3，
(2)，最小值為1
(3)①；②
【分析】（1）利用絕對值的意義計算和表示相應距離即可；
（2）分析出的意義，結合數軸找到合適的值即可；
（3）①仿照所給例即可求解；②分三種情況，并結合數軸求解．
【詳解】（1）解：C到B的距離為；
A到B的距離與A到C的距離之和可表示為；
（2）表示數軸上x與3和x與2的距離之和，

故當時，取最小值，且為；
（3）①的解集為或，
故答案為：或；
②當時，，
∴；
當時，，
∴x無解；
當時，，
∴；
綜上所述：或．

【點睛】本題考查數軸與絕對值，熟練掌握絕對值的意義，理解題意，分類討論是解題的關鍵．
【變式訓練5-4】先閱讀下面是的解題過程，然后回答下列問題．
例：解絕對值方程：．
解：分情況討論：①當時，原方程可化為，解得；
②當時，原方程可化為，解得．
所以原方程的解為或．
根據材料，解下列絕對值方程：
(1)理解應用：；
(2)拓展應用：不等式的解集為______．
【答案】(1)①；②或
(2)或
【分析】（1）分為兩種情況：①當時，②當時，去掉絕對值符號后求出即可；
（2）分為兩種情況：①當時，②當時，分情況求出即可．
【詳解】（1）解：分情況討論：
①當時，
原方程可化為，解得；
②當時，
原方程可化為：，
解得：，
所以原方程的解為或；
（2）解：分情況討論：
①當時，
解得：；
②當時，
解得：，
所以不等式解集為或．
【點睛】本題考查了含絕對值符號的一元一次方程及一元一次不等式的應用，關鍵是能去掉絕對值符號，用了分類討論思想．
【變式訓練5-5】閱讀理解：
例1．解方程，因為在數軸上到原點的距離為2的點對應的數為，所以方程的解為．
例2．解不等式，在數軸上找出的解（如圖），因為在數軸上到1對應的點的距離等于2的點對應的數為或3，所以方程的解為或，因此不等式的解集為或．

參考閱讀材料，解答下列問題：
(1)方程的解為________
(2)解不等式：．
(3)解不等式：．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）利用在數軸上到對應的點的距離等于5的點對應的數為5或，求解即可；
（2）先求出的解，再求的解集即可；
（3）先在數軸上找出的解，即可得出不等式的解集．
【詳解】（1）解：∵在數軸上到2對應的點的距離等于3的點對應的數為或5，
∴方程的解為：或，
故答案為：或．
（2）解：在數軸上找出的解，如圖：

∵在數軸上到2對應的點的距離等于1的點對應的數為1或3，
∴方程的解為或，
∴不等式的解集為．
（3）解：在數軸上找出的解，
由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數軸上到4和對應的點的距離之和等于8的點對應的的值，
∵在數軸上4和對應的點的距離為6，
∴滿足方程的x對應的點在4的右邊或的左邊，
若x對應的點在4的右邊，可得；
若x對應的點在的左邊，可得，
∴方程的解是或，
∴不等式的解集為或．
【點睛】本題主要考查了絕對值，不等式，數軸上兩點間的距離公式，解題的關鍵是理解表示在數軸上數與數對應的點之間的距離．
題型六：用一元一次不等式解實際問題
【經典例題6】經銷商小李需要購進一批學生畫圖工具6000套，為此考察了甲、乙兩個文具加工廠．已知甲廠的加工能力是乙廠的1.5倍，且甲廠單獨加工這批畫圖工具所需要的天數比乙廠單獨加工這批畫圖工具所需要的天數少10天，還了解到這種畫圖工具甲廠的出廠價格為6元/套，乙廠的出廠價格為5.6元/套．
(1)求甲、乙兩個加工廠每天能加工這種畫圖工具各多少套？
(2)小李計劃從甲、乙兩廠購買這種畫圖工具，且費用不超過35400元，他最多能向甲工廠購買多少套這種畫圖工具？
【答案】(1)甲工廠每天可加工這種畫圖工具300套，乙工廠每天可加工這種畫圖工具200套
(2)4500套
【分析】本題考查分式方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用：
（1）設乙工廠每天可加工這種畫圖工具x套，則甲工廠每天可加工這種畫圖工具套，根據甲廠單獨加工這批畫圖工具所需要的天數比乙廠單獨加工這批畫圖工具所需要的天數少10天，列出分式方程，進行求解即可；
（2）設小李向甲工廠購買y套，根據題意，列出不等式進行求解即可．
【詳解】（1）解：設乙工廠每天可加工這種畫圖工具x套，則甲工廠每天可加工這種畫圖工具套，根據題意，可得
解得，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意．
．
答：甲工廠每天可加工這種畫圖工具300套，乙工廠每天可加工這種畫圖工具200套．
（2）設小李向甲工廠購買y套．
根據題意，得，
解得．
答：小李最多能向甲工廠購買4500套畫圖工具．
【變式訓練6-1】為了落實東坡文化進校園，學校每年在初中年級舉辦國學誦讀活動，學校計劃購進類和類兩種演出服裝供學生使用，經市場調查，購買類演出服裝套和類演出服裝套共花費元，已知購買一套類演出服裝比購買一套類演出服裝多花元．
(1)購買一套類演出服裝和購買一套類演出服裝各需多少元？
(2)通過全校師生的共同努力，學校在今年市舉辦的東坡文化節誦讀活動中成績優秀，學校計劃用不超過元的經費再次購買類演出服裝和類演出服裝共套，若單價不變，則這次至少可以購買多少套類演出服裝？
【答案】(1)一套類演出服裝需要元，購買一套類演出服裝需要元．
(2)至少可以購買套類演出服裝．
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
（1）設購買一套類演出服裝需要元，購買一套類演出服裝需要元，根據購買套類演出服裝和套類演出服裝共花費元，購買一套類演出服裝比購買一套類演出服裝多花元，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購買套類演出服裝，則購買套類演出服裝，根據總價單價數量結合總費用不超過元，即可得出關于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論．
【詳解】（1）解：設購買一套類演出服裝需要元，購買一套類演出服裝需要元，
依題意，得：，
解得：．
答：購買一套類演出服裝需要元，購買一套類演出服裝需要元．
（2）解：設購買套類演出服裝，則購買套類演出服裝，依題意，得：
，
解得：．
答：本次至少可以購買套類演出服裝．
【變式訓練6-2】期中考試后，某班班主任對在期中考試中取得優異成績的同學進行表彰．她到商場購買了甲、乙兩種筆記本作為獎品，購買甲種筆記本15個，乙種筆記本20個，共花費250元．已知購買一個甲種筆記本比購買一個乙種筆記本多花費5元．
(1)求購買一個甲種、一個乙種筆記本各需多少元？
(2)兩種筆記本均受到了獲獎同學的喜愛，班主任決定在期末考試后再次購買兩種筆記本共35個，正好趕上商場對商品價格進行調整，甲種筆記本售價比上一次購買時減價2元，乙種筆記本按上一次購買時售價的8折出售．如果班主任此次購買甲、乙兩種筆記本的總費用不超過上一次總費用的，求至多需要購買多少個甲種筆記本？
【答案】(1)購買一個甲種筆記本需要10元，購買一個乙種筆記本需要5元
(2)15個
【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式解決實際問題．
（1）設購買一個甲種筆記本需要元，購買一個乙種筆記本需要元，根據“購買甲種筆記本15個，乙種筆記本20個，共花費250元；購買一個甲種筆記本比購買一個乙種筆記本多花費5元”即可列出方程組，求解即可；
（2）設購買個甲種筆記本，則購買個乙種筆記本，則第二次購買時總費用為元，根據“第二次購買總費用不超過上一次總費用的”即可列出不等式，求解即可．
【詳解】（1）解：設購買一個甲種筆記本需要元，購買一個乙種筆記本需要元，
依題意，得：
，解得，
答：購買一個甲種筆記本需要10元，購買一個乙種筆記本需要5元．
（2）設購買個甲種筆記本，則購買個乙種筆記本，
依題意，得：
解得：
答：至多需要購買15個甲種筆記本．
【變式訓練6-3】為改善城市人居環境，某區域原來每天需要處理生活垃圾920噸，剛好被12個A型和10個B型預處置點位進行初篩、壓縮等處理．已知一個A型點位比一個B型點位每天多處理7噸生活垃圾．
(1)求每個B型點位每天處理生活垃圾的噸數；
(2)由于垃圾分類要求提高，在每個點位每天將少處理8噸生活垃圾，同時由于市民環保意識增強，該區域每天需要處理的生活垃圾比原來少10噸．若該區域計劃增設A型、B型點位共5個，試問至少需要增設幾個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾？
【答案】(1)38噸
(2)3個
【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用：
（1）設每個B型點位每天處理生活垃圾噸，則每個A型點位每天處理生活垃圾噸，根據一共要處理920噸垃圾列出方程求解即可；
（2）設需要增設個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾，則提高后，每個A型點位每天處理生活垃圾（噸），個B型點位每天處理生活垃圾（噸），再根據一共處理的垃圾要不少于噸列出不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設每個B型點位每天處理生活垃圾噸，則每個A型點位每天處理生活垃圾噸，
根據題意，得，
解得．
答：每個B型點位每天處理生活垃圾38噸．
（2）解：設需要增設個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾，
由（1）可知垃圾分類要求提高前，每個A型點位每天處理生活垃圾45噸，則垃圾分類要求提高后，每個A型點位每天處理生活垃圾（噸）；
垃圾分類要求提高前，每個B型點位每天處理生活垃圾38噸，則垃圾分類要求提高后，每個B型點位每天處理生活垃圾（噸）．
根據題意，得，
解得．
是正整數，
符合條件的的最小值為3．
答：至少需要增設3個A型點位才能當日處理完所有生活垃圾．
【變式訓練6-4】鴻志中學傳統文化興趣小組在國慶節前夕，準備組織學生為學校編織大、小兩種中國結裝飾校園，若編織2個大號中國結和4個小號中國結需要彩繩22米，若編織1個大號中國結和3個小號中國結需要彩繩14米．
(1)求編織1個大號中國結和1個小號中國結各需要彩繩多少米？
(2)鴻志中學決定編織以上兩種中國結共60個，編織這兩種中國結的彩繩長不超過230米，那么該中學最多編織多少個大中國結？
【答案】(1)編織1個大號中國結需要彩繩5米，編織1個小號中國結需要彩繩3；
(2)該中學最多編織25個大中國結．
【分析】本題考查的是二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用；
（1）設編織1個大號中國結需要彩繩x米，編織1個小號中國結需要彩繩y米，根據編織2個大號中國結和4個小號中國結需要彩繩22米，若編織1個大號中國結和3個小號中國結需要彩繩14米，再建立方程組解題即可；
（2）設該中學編織m個大中國結，根據編織這兩種中國結的彩繩長不超過230米，再建立不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設編織1個大號中國結需要彩繩x米，編織1個小號中國結需要彩繩y米，根據題意得．
，
解得，
答：編織1個大號中國結需要彩繩5米，編織1個小號中國結需要彩繩3．
（2）解：設該中學編織m個大中國結，根據題意得
，
解得，
答：該中學最多編織25個大中國結．
【變式訓練6-5】隨著年輕消費群體對健康關注度日益增長，某品牌保溫杯的銷量一路攀升，該生產企業抓住商機，計劃加大生產一批優質保溫杯，現有兩組員工可完成這項任務．已知組員工單獨完成此項任務所需的時間是組員工的1.5倍，若由兩組合作完成，則需12天可完成此項任務．
(1)求兩組員單單獨完成此項任務各需多少天；
(2)根據市場需求，規定完成該任務所需時間不能超過8天，已知組原有10人，兩組合作2天后，組決定增加員工，組人數保持不變，兩組繼續合作，假設組每個人的工作效率相同，則組至少增加多少人時，兩組才能在規定時間內生產完這批保溫杯？
【答案】(1)B組員工單獨完成此項任務需要20天，A組員工單獨完成此項任務需要30天
(2)組至少增加17人
【分析】本題考查分式方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用．
（1）設B組員工單獨完成此項任務需要x天，則A組員工單獨完成此項任務需要天，根據兩組合作完成，需12天可完成此項任務，列出分式方程求解即可，注意檢驗；
（2）設組至少增加m人，則組增加m人后的工作效率為，根據兩組合作2天后，組決定增加員工，組人數保持不變，兩組繼續合作，完成該任務所需時間不能超過8天，列出不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設B組員工單獨完成此項任務需要x天，則A組員工單獨完成此項任務需要天，根據題意得：
解得：，
經檢驗，是原分式方程的解，
則（天）
答：B組員工單獨完成此項任務需要20天，A組員工單獨完成此項任務需要30天；
（2）解：設組至少增加m人，則組增加m人后的工作效率為，根據題意得：
，即，
解得：，
是正整數，
m最小可取17，
答：組至少增加17人．
題型七：用一元一次不等式解幾何問題
【經典例題7】在 ABC中，，若其周長為，則邊的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形的三邊關系、等腰三角形的性質；設，由三角形的三邊關系定理得出，再由邊長為正數得出，即可得出結果．掌握三角形的三邊關系定理是解題的關鍵．
【詳解】解：設，
∵在中，，若其周長為，
∴，
∵，即，
解得：，
又∵，
解得：，
∴，
即．
故選：B．
【變式訓練7-1】用長為 40 m 的鐵絲圍成如圖所示的圖形，一邊靠墻，墻的長度 m，要使靠墻的一邊長不小于 25 m，那么與墻垂直的一邊長 x（m）的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意和圖形列出不等式即可解得．
【詳解】根據題意和圖形可得，
解得：，
故選：D
【點睛】此題考查了不等式的應用，解題的關鍵是根據題意列出不等式．
【變式訓練7-2】 ABC的邊長都為正整數，且，設，若為大于5的實數，滿足，求三角形 ABC各邊長．
【答案】，
【分析】本題考查的是非負數的性質，因式分解的應用，勾股定理的應用，理解題意，將不等式化簡得出是解題關鍵．
由可得，則，可得，結合題意及勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵n為大于5的實數，
∴，而，
∴，
解得：，
∴，
∵的邊長都為正整數，且，
∴．
【變式訓練7-3】如圖，數軸上點為原點，點A、B、C表示的數分別是．
(1) ．（用含m的代數式表示）
(2)當時，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查數軸上兩點間的距離，解一元一次不等式等知識，準確計算是解決問題的關鍵．
（1）用右邊的點所表示的數減去左邊的點所表示的數即可求解．
（2）利用，建立方程求得，求解即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：∵，
∵，，
∴，
∴，
m最小?。?br/>【變式訓練7-4】已知等腰三角形的周長為20，腰長為x．
(1)若腰長是底邊長的2倍，求底邊的長；
(2)求x的取值范圍．
【答案】(1)底邊的長為4
(2)x的取值范圍為
【分析】此題考查了等腰三角形的性質及三角形的三邊關系一元一次方程的實際應用及一元一次不等式的實際應用．
（1）根據題意得腰長為x，則底邊長為，利用三邊之和等于20列出方程求解即可；
（2）利用兩腰之和大于底列出不等式，求解即可得出答案．
【詳解】（1）解：根據題意得腰長為x，則底邊長為，
解得，則，
答：底邊的長為4；
（2）解：根據題意得：
即
解得：，
答：x的取值范圍為．
【變式訓練7-5】如圖：在長方形中，，，動點P從點A出發，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C運動，到C點停止運動，設點P運動的時間為t秒，是否存在這樣的t，使得的面積？如果能，請求出t的取值范圍；如果不能，請說明理由．

【答案】能，或
【分析】分兩段考慮：①點P在上，②點P在上，分別用含t的式子表示出的面積，再由建立不等式，解出t的取值范圍即可．
【詳解】解：分兩種情況：
①當點P在上時，如圖1所示：

假設存在的面積滿足條件，即運動時間為t秒，則
解得：
又∵P在上運動，，
∴；
②當點P在上時，

假設存在的面積滿足條件，即運動時間為t秒，則
解得：
又∵P在上運動，，
∴；
綜上，存在這樣的t，使得的面積滿足條件，此時或．
【點睛】此題考查了三角形面積的計算、不等式的解法，注意結合動點問題，分情況討論解題是關鍵．
【變式訓練7-6】若是△ABC的兩邊且
（1）試求的值，并求第三邊的取值范圍．
（2）若△ABC是等腰三角形，試求此三角形的周長．
（3）若另一等腰三角形DEF，其中一個內角為x°，另一個內角為(2x-20)°，試求此三角形的各內角度數．
【答案】（1）；（2）10或11；（3）三角形三個內角為50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．
【分析】（1）利用非負數的性質可求得、的值，根據三角形三邊關系可求得的范圍；
（2）分腰長為3或4兩種情況進行計算；
（3）分這兩個內角一個為頂角和兩個都是底角三種情況，結合三角形內角和定理可求得，可得出三個角的度數．
【詳解】解：（1）∵，
， ，
，
；
（2）當腰長為3時，
此時三角形的三邊為3、3、4，滿足三角形三邊關系，周長為10；
當腰長為4時，
此時三角形的三邊長為4、4、3，滿足三角形三邊關系，周長為11；
綜上可知等腰三角形的周長為10或11；
（3）當底角為、頂角為時，則根據三角形內角和為 可得
，
解得，
此時三個內角分別為、、；
當頂角為、底角為時，則根據三角形內角和為 可得
，
解得，
此時三個內角分別為、、；
當底角為、時，則等腰三角形性質可得
，
解得，
此時三個內角分別為、、；
綜上可知三角形三個內角為50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩腰相等、兩底角相等是解題的關鍵．

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