資源簡介

專題1.1 菱形的性質與判定（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】菱形的定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
【要點說明】
菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件.
【知識點二】菱形的性質
菱形除了具有平行四邊形的一切性質外，還有一些特殊性質：
1.菱形的四條邊都相等；
2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.
【要點說明】
（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.
（2）菱形的面積有兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.
（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關計算問題.
【知識點三】菱形的判定
菱形的判定方法有三種：
1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
3.四條邊相等的四邊形是菱形.
【要點說明】
前兩種方法都是在平行四邊形的基礎上外加一個條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎上加上四條邊相等.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】菱形的性質中的角度與線段問題
【例1】（23-24八年級下·湖北武漢·期中）如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點O，于點H，交于點E．
（1）若，求的度數；
（2）若，點E是中點，求的長．
【變式1】（2024·浙江杭州·二模）如圖，菱形的對角線，相交于點O．若，則（ ）
A． B．3 C． D．
【變式2】（23-24八年級下·山西忻州·期末）如圖，在菱形中，交于點O，于點E，連接，若，則的度數是 ．
【題型2】菱形的性質中的面積與周長問題
【例2】（22-23八年級下·江蘇徐州·階段練習）如圖，在四邊形中，，對角線BD的垂直平分線與邊、分別相交于點M、N．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，則菱形的周長為______，面積為______．
【變式1】（23-24九年級上·陜西西安·期末）如圖，菱形的周長為，對角線長為，則它的面積為（　　）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級下·重慶沙坪壩·期中）如圖，菱形的周長為8，，E是的中點，P是對角線上的一個動點，則的最小值是 ．
【題型3】菱形的性質中的作圖與證明問題
【例3】（23-24八年級下·福建龍巖·期末）如圖，已知菱形，為對角線，過點作，交于點，交于點．
（1）請用無刻度的直尺和圓規過點作的垂線，交于點，交于點．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，求證．
【變式1】（2024·海南省直轄縣級單位·二模）如圖，在菱形中，分別以點C，D為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，N，連接．若直線恰好過點A且交于點E，連接，則是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，四邊形為菱形，，延長到，在內作射線，使得，過點作，垂足為，若，則對角線的長為 ．
【題型4】利用菱形的性質與判定求角度與證明
【例4】（23-24八年級下·重慶九龍坡·期中）如圖，在四邊形中，，對角線、交于點，，且平分，點為邊的中點，連接，連接交于點．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求的度數．
【變式1】（22-23八年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，在菨形中，過頂點作交對角線于點，已知，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【變式2】（23-24九年級上·河南平頂山·期中）如圖，是的角平分線，交于E，交于F，且交于O，則 度．

【題型5】利用菱形的性質與判定求線段長與證明
【例5】（天津市河東區2023-2024學年八年級下學期期末數學試題）如圖，在平行四邊形中，對角線上有兩點，，且．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若是等邊三角形，且邊長為8，，求．
【變式1】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在中，用尺規作的角平分線，保留用直尺和圓規的作圖痕跡．若，，則為（ ）．
A．10 B．8 C．6 D．4
【變式2】（23-24八年級下·山東泰安·期中）如圖，在菱形中，，與交于點O，E為延長線上的一點，且，連接分別交、于點、，連接，則下列結論中一定成立的是 ．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）
①；
②；
③由點A、B、D、E構成的四邊形是菱形．
【題型6】利用菱形的性質與判定求面積與證明
【例6】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖在直角△ABC中，，點D是中點，連接，點E為的中點，過點A作交線段的延長線于點F，連接．
（1）求證：；
（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出與面積相等的三角形（不包含）．
【變式1】（23-24八年級下·內蒙古巴彥淖爾·階段練習）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，，，則四邊形的面積為（　　）
A．48 B．15 C．24 D．12
【變式2】（2024·重慶·二模）如圖，在平行四邊形中，，，．E為邊上一點，且滿足，作的平分線交于點F，則的長度為
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動點P從菱形的點A出發，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數圖象如圖2所示，當點P運動到中點時，的長為（　　）
A．2 B．3 C． D．
【例2】（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，．線段與關于過點O的直線l對稱，點B的對應點在線段上，交于點E，則與四邊形的面積比為
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級下·福建莆田·期末）四邊形是凸四邊形，若線段（可以重合）滿足，則稱線段是關于點A的等角線段組．
（1）若四邊形是平行四邊形，，點M，N分別在線段上．（均不與端點重合），線段是關于點A的等角線段組．
①證明：；
②寫出一個的值，使得，并證明；
（2）凸四邊形中，，點E在線段上，且，若線段是關于點A的等角線段組，線段，是關于點C的等角線段組，求的值．
【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在中，，點M在的延長線上，點N在的延長線上，平分，．
（1）如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如圖2，當時，連接，交于點O，過點D作，交于點E，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中與面積相等的4個三角形．專題1.1 菱形的性質與判定（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】菱形的定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
【要點說明】
菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件.
【知識點二】菱形的性質
菱形除了具有平行四邊形的一切性質外，還有一些特殊性質：
1.菱形的四條邊都相等；
2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.
【要點說明】
（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.
（2）菱形的面積有兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.
（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關計算問題.
【知識點三】菱形的判定
菱形的判定方法有三種：
1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
3.四條邊相等的四邊形是菱形.
【要點說明】
前兩種方法都是在平行四邊形的基礎上外加一個條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎上加上四條邊相等.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】菱形的性質中的角度與線段問題
【例1】（23-24八年級下·湖北武漢·期中）如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點O，于點H，交于點E．
（1）若，求的度數；
（2）若，點E是中點，求的長．
【答案】(1) (2)
【分析】此題考查了菱形的性質，勾股定理，
（1）根據菱形的性質得到，，然后得到，進而利用三角形內角和定理求解即可；
（2）根據菱形的性質得到，然后求出，在中，設，利用勾股定理求出，，然后利用菱形的面積求解即可．
解：（1）四邊形為菱形，
，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）四邊形為菱形，
，
，點是中點，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
設，則：，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
，
又，
，
．
【變式1】（2024·浙江杭州·二模）如圖，菱形的對角線，相交于點O．若，則（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，先證是等邊三角形，根據等邊三角形的性質和勾股定理即可求解．
解：四邊形是菱形，
，，，，
∵，
∴是等邊三角形，
，
設，則，
根據勾股定理得：，
∴，
，
故選：C．
【變式2】（23-24八年級下·山西忻州·期末）如圖，在菱形中，交于點O，于點E，連接，若，則的度數是 ．
【答案】/25度
【分析】本題主要考查了菱形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質等知識點，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．
由菱形的性質得，，再由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得，進而由直角三角形斜邊上的中線性質得，然后由等腰三角形的性質得，最后根據角的和差即可解答．
解：∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【題型2】菱形的性質中的面積與周長問題
【例2】（22-23八年級下·江蘇徐州·階段練習）如圖，在四邊形中，，對角線BD的垂直平分線與邊、分別相交于點M、N．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，則菱形的周長為______，面積為______．
【答案】(1)見解析 (2)
【分析】（1）證明得到，結合判定四邊形是平行四邊形，利用線段垂直平分線的性質證明即可得證．
（2）根據菱形的性質，得到，根據勾股定理計算，計算即可．
（1）證明：∵，對角線的垂直平分線與邊分別相交于點M、N，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形．
（2）解：∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴菱形的周長為，面積為；
故答案為：．
【點撥】本題考查了菱形的判定和性質，勾股定理，線段垂直平分線的性質，熟練掌握菱形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．
【變式1】（23-24九年級上·陜西西安·期末）如圖，菱形的周長為，對角線長為，則它的面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題重點考查菱形的性質、菱形的周長和面積公式、勾股定理等知識，正確地求出的長是解題的關鍵．根據菱形的性質求得，，由，得，則，所以，則，于是得到問題的答案．
解：四邊形是菱形，且周長為，長為，
，，
，
，
，
，
，
故選：A
【變式2】（23-24八年級下·重慶沙坪壩·期中）如圖，菱形的周長為8，，E是的中點，P是對角線上的一個動點，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】此題考查軸對稱確定最短路線問題，菱形的性質，等邊三角形的判定與性質
連接，，根據菱形的性質可得，是等邊三角形，再證明，可得，從而得到的最小值為的長，再由E是的中點，可得，然后根據勾股定理可得，即可求解．
解：如圖，連接，，
∵四邊形是菱形，周長為8，，
∴，，，
∴是等邊三角形，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值為的長，
∵E是的中點，
∴，
∴，
即的最小值為．
故答案為：．
【題型3】菱形的性質中的作圖與證明問題
【例3】（23-24八年級下·福建龍巖·期末）如圖，已知菱形，為對角線，過點作，交于點，交于點．
（1）請用無刻度的直尺和圓規過點作的垂線，交于點，交于點．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，求證．
【分析】（1）以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧，交于點M，再分別以C，M為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于一點，再過該點和點A作直線，交于點F；
（2）先根據菱形的性質得出，，可得，再證明，然后根據可得答案．
【詳解】（1）如解圖所示，直線即為所求．
（2）證明：在菱形中，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【點撥】本題主要考查了尺規作圖，菱形的性質，全等三角形的判定，理解菱形的性質是解題的關鍵．
【變式1】（2024·海南省直轄縣級單位·二模）如圖，在菱形中，分別以點C，D為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，N，連接．若直線恰好過點A且交于點E，連接，則是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由作法得垂直平分，，由菱形，得到，得到為等邊三角形，由平行線的性質，即可求解，本題考查了垂直平分線的性質與判定，菱形的性質，等邊三角形的性質與判定，平行線的性質，解題的關鍵是：熟練掌握相關性質定理．
解：連接，
由作法得垂直平分，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【變式2】（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，四邊形為菱形，，延長到，在內作射線，使得，過點作，垂足為，若，則對角線的長為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查菱形的性質和全等三角形的判定，連接交于H，利用證明，得出的長度，再根據菱形的性質得出的長度．
解：如圖，連接交于H，
∵四邊形為菱形，，
∴，，，．，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故答案為∶．
【題型4】利用菱形的性質與判定求角度與證明
【例4】（23-24八年級下·重慶九龍坡·期中）如圖，在四邊形中，，對角線、交于點，，且平分，點為邊的中點，連接，連接交于點．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求的度數．
【答案】(1)見解析 (2)
【分析】（1）由平行線的性質結合題意可證，得出，即證明四邊形是平行四邊形．結合角平分線的定義可得出，即證明四邊形是菱形；
（2）由三角形中位線定理得出，從而得出，結合菱形的性質可得出，，進而由三角形外角的性質求解即可．
（1）證明：∵，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形；
（2）解：∵點為邊的中點，，
∴，
∴．
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∴．
【點撥】本題考查菱形的判定和性質，平行線的性質，三角形全等的判定和性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角形中位線的性質，三角形外角的性質等知識．熟練掌握上述知識是解題關鍵．
【變式1】（22-23八年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，在菨形中，過頂點作交對角線于點，已知，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據菱形的性質得出，再根據直角三角形兩個銳角互余，即可求解．
解：∵四邊形為菱形，
∴，
∴，則，
∵，
∴，
故選：A．
【點撥】本題主要考查了菱形的性質，解題的關鍵是掌握菱形的對角線平分菱形內角，直角三角形兩個銳角互余．
【變式2】（23-24九年級上·河南平頂山·期中）如圖，是的角平分線，交于E，交于F，且交于O，則 度．

【答案】
【分析】先根據平行四邊形的判定定理得出四邊形為平行四邊形，再根據平行線的性質及角平分線的性質得出，故可得出為菱形，根據菱形的性質即可得出結論．
解：如圖：

，，
四邊形為平行四邊形，
，，
是的角平分線，
，
，
為菱形．
，即．
故答案為：．
【點撥】本題考查的是菱形的判定與性質，平行線性質，等腰三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，根據題意判斷出四邊形是菱形是解答此題的關鍵．
【題型5】利用菱形的性質與判定求線段長與證明
【例5】（天津市河東區2023-2024學年八年級下學期期末數學試題）如圖，在平行四邊形中，對角線上有兩點，，且．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若是等邊三角形，且邊長為8，，求．
【答案】(1)見詳解 (2)
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、等邊三角形的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質和菱形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）連接交于點，由平行四邊形的性質得，再證，然后由平行四邊形的判定即可得出結論；
（2）根據是等邊三角形，且邊長為8，證平行四邊形是菱形，得，則平行四邊形是菱形，得，則，然后由勾股定理得，即可解決問題．
【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵是等邊三角形，且邊長為8，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴平行四邊形是菱形，
∴，
由（1）可知，四邊形是平行四邊形，
∴平行四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【變式1】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在中，用尺規作的角平分線，保留用直尺和圓規的作圖痕跡．若，，則為（ ）．
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】本題考查尺規基本作圖-解已知角的平分線，菱形的性質和判定，勾股定理，關鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，菱形對角線互相垂直且平分．
由尺規作的角平分線的過程可得，，，根據平行四邊形的性質可得，然后證明，進而可得四邊形為平行四邊形，再由可得四邊形為菱形；根據菱形的性質可得，，，利用勾股定理計算出的長，進而可得的長．
解：連接，設與相交于O，如圖，
由尺規作的角平分線的過程可得，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
四邊形為菱形；
，，，
在中，，
．
故選：B．
【變式2】（23-24八年級下·山東泰安·期中）如圖，在菱形中，，與交于點O，E為延長線上的一點，且，連接分別交、于點、，連接，則下列結論中一定成立的是 ．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）
①；
②；
③由點A、B、D、E構成的四邊形是菱形．
【答案】①②③
【分析】本題考查了菱形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、三角形中位線定理等知識；
由證明，得出，證出是的中位線，得出，①正確；先證四邊形是平行四邊形，再證、是等邊三角形，得，則四邊形是菱形，③正確；由即可證明，則②正確．
【詳解】證明：四邊形是菱形，
，，，，
，
，
，
∵，
，
，
是的中位線，
，故①正確；
連接，
∵，，
四邊形是平行四邊形，
，
、是等邊三角形，
，
∴四邊形是菱形，故③正確；
∵、是等邊三角形，
，，
，
在和中，
，
，
綜上，①②③都正確，
故答案為：①②③．
【題型6】利用菱形的性質與判定求面積與證明
【例6】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖在直角△ABC中，，點D是中點，連接，點E為的中點，過點A作交線段的延長線于點F，連接．
（1）求證：；
（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出與面積相等的三角形（不包含）．
【答案】(1)證明見解析 (2)
【分析】此題考查的是全等三角形的判定及性質、菱形的判定及性質、直角三角形的性質和三角形的面積：
（1）首先由E是的中點，，證明，即可得，即可；
（2）證明四邊形是菱形，根據平行線之間的距離處處相等、等高模型和菱形的性質即可解決問題．
（1）證明：∵，
∴，
∵點D是中點，點E為的中點，
∴，
在和中，
∵，
∴；
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，D是的中點，
∴，
∴四邊形是菱形；
∵，且的邊上的高，即的邊上的高，
∴，
∴，
∵，
∴的邊上的高等于的邊上的高，
∵，
∴，
綜上：與面積相等的三角形有：．
【變式1】（23-24八年級下·內蒙古巴彥淖爾·階段練習）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，，，則四邊形的面積為（　　）
A．48 B．15 C．24 D．12
【答案】C
【分析】本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理逆定理、菱形的判定與性質、菱形的面積公式，先由平行四邊形的性質得出，，再由勾股定理逆定理得出，從而得出四邊形是菱形，最后由菱形的面積公式計算即可．
解：四邊形是平行四邊形，
，，
又，
，
，即，
四邊形是菱形，
四邊形的面積為，
故選：C．
【變式2】（2024·重慶·二模）如圖，在平行四邊形中，，，．E為邊上一點，且滿足，作的平分線交于點F，則的長度為
【答案】
【分析】本題考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的性質，勾股定理．利用勾股定理求得，證明四邊形是菱形，利用菱形的面積公式列式計算即可求解．
解：連接，作交的延長線于點，
∵平行四邊形中，，
∴，，
∴,
∵，
∴，
設，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
在中，，
∵，平分，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，
∴．
故答案為：．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動點P從菱形的點A出發，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數圖象如圖2所示，當點P運動到中點時，的長為（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】結合圖象，得到當時，，當點P運動到點B時，，根據菱形的性質，得，繼而得到，當點P運動到中點時，的長為，解得即可．
本題考查了菱形的性質，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握菱形的性質，勾股定理，直角三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】結合圖象，得到當時，，
當點P運動到點B時，，
根據菱形的性質，得，
故，
當點P運動到中點時，的長為，
故選C．
【例2】（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，．線段與關于過點O的直線l對稱，點B的對應點在線段上，交于點E，則與四邊形的面積比為
【答案】/
【分析】此題考查了菱形的性質，軸對稱性質，全等三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．
設，，首先根據菱形的性質得到，，連接，，直線l交于點F，交于點G，得到點，D，O三點共線，，，，然后證明出，得到，然后證明出，得到，進而求解即可．
【詳解】∵四邊形是菱形，
∴設，
∴，
如圖所示，連接，，直線l交于點F，交于點G，
∵線段與關于過點O的直線l對稱，點B的對應點在線段上，
∴，，
∴
∴點，D，O三點共線
∴，
∴
∴
∵
∴
由對稱可得，
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴．
故答案為：．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級下·福建莆田·期末）四邊形是凸四邊形，若線段（可以重合）滿足，則稱線段是關于點A的等角線段組．
（1）若四邊形是平行四邊形，，點M，N分別在線段上．（均不與端點重合），線段是關于點A的等角線段組．
①證明：；
②寫出一個的值，使得，并證明；
（2）凸四邊形中，，點E在線段上，且，若線段是關于點A的等角線段組，線段，是關于點C的等角線段組，求的值．
【答案】(1)①見解析；②，證明見解析
(2)1
【分析】（1）①由平行四邊形的性質得；由線段是關于點A的等角線段組可得，由三角形外角的性質即可證明結論；
②若，則得四邊形是菱形，則，由①則可證明，得，從而有，則由等腰三角形的性質即可證明；
（2）延長到P，，連接；延長到G，使，連接；則，，；由線段，是關于點C的等角線段組，得，則可由可證明，得，；線段是關于點A的等角線段組，可得，從而得，則可證明，從而，即．
【詳解】（1）①證明：四邊形是平行四邊形，
；
線段是關于點A的等角線段組，
，
即，
，
，
；
②取，
則四邊形是菱形，
，
由①知，，，
，
，
，
，
；
（2）解：如圖，延長到P，使，連接；延長到G，使，連接；
，
，
，；
線段，是關于點C的等角線段組，
，
，
，
，；
線段是關于點A的等角線段組，
，
，
，，
，
，
，
，
即．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，菱形的判定與性質，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質，關鍵是理解題目中的等角線段組的含義，靈活運用以上知識，構造適當輔助線．
【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在中，，點M在的延長線上，點N在的延長線上，平分，．
（1）如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如圖2，當時，連接，交于點O，過點D作，交于點E，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中與面積相等的4個三角形．
【答案】(1)見解析；
(2)，，，．
【分析】（1）根據等邊對等角可推出，根據角平分線的定義可推出，再結合三角形外角的性質可得出，即推出，結合題意，即證明四邊形是平行四邊形；
（2）首先證明平行四邊形是菱形，然后證明是等邊三角形，得到，再根據等底等高的三角形面積相等可得答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵，，四邊形是平行四邊形，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形，
∴．
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴．
∵，
∴、、、的面積都與的面積相等．
【點撥】本題考查等腰三角形的性質、平行四邊形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、菱形的判定和性質，平行線間的距離處處相等，等底等高的三角形面積相等等知識．熟知特殊四邊形的判定和性質是解題關鍵．

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