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專題1.4 矩形的性質與判定（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】矩形的定義
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
【要點說明】矩形定義的兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角.即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件.
【知識點二】矩形的性質
矩形的性質包括四個方面：
1.矩形具有平行四邊形的所有性質；
2.矩形的對角線相等；
3.矩形的四個角都是直角；
4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.
【要點說明】
矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩
形分成完全全等的兩部分.
矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直線）.對稱軸的
交點就是對角線的交點（即對稱中心）.
矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質，從而矩形的性質
可以歸結為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.
【知識點三】矩形的判定
矩形的判定有三種方法：
1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2.對角線相等的平行四邊形是矩形.
3.有三個角是直角的四邊形是矩形.
【要點說明】
在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.
【知識點四】直角三角形斜邊上的中線的性質
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
【要點說明】
直角三角形斜邊上的中線的性質是矩形性質的推論.性質的前提是直角三角形
對一般三角形不可使用.
學過的直角三角形主要性質有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直
角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半.
（3）性質可以用來解決有關線段倍分的問題.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】利用矩形的性質證明與求值
【例1】（23-24八年級下·浙江寧波·期中）如圖，在矩形中，對角線相交于點O，于點E，于點F，連接與．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，求度數．
【答案】(1)見解析； (2)
【分析】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質：
（1）證明，得到，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可得證；
（2）矩形，得到，平行四邊形的性質，推出，，再利用角的和差關系求解即可．
（1）證明：∵，
∴
∵四邊形是矩形
∴
∵在△AOF和△COE中
∴
∴
∴四邊形是平行四邊形；
（2）∵四邊形是矩形
∴
∵在中，
又∵
∴
∵，
∴
∵在中，
∴．
【變式1】（23-24八年級下·云南昭通·階段練習）兩個矩形的位置如圖所示，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查矩形的性質，余角與補角，由補角的定義可得，由題意可得，，則有，即可得解．
解：如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
【變式2】（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習）如圖，在矩形中，，點E在邊上，且，若平分，則的長是 ．
【答案】5
【分析】本題考查矩形的性質，勾股定理，根據矩形的性質，角平分線的性質，得到，設，在中，利用勾股定理進行求解即可．
解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
設，則：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴；
故答案為：5．
【題型2】利用矩形的性質解決折疊問題
【例2】（23-24八年級下·浙江金華·期中）如圖1，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且點B的坐標為（4，2），點D為線段上的一個動點，點E為線段上一點（不與點A重合），連結．
（1）求對角線所在直線的函數表達式．
（2）如圖2，將沿著翻折，使點A落在平面內的點F處．若點D為對角線的中點，當點F恰好落在矩形的頂點上時，求的長．
【答案】(1)； (2)或
【分析】對于（1），先求出點A，C的坐標，再根據待定系數法求出一次函數的關系式即可；
對于（2），當點F與點O重合時，根據中點定義得出答案；當點F與點C重合時，根據勾股定理求出答案．
解（1）∵四邊形是矩形，點B的坐標為，
∴，，
設直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為；
（2）當F點與O點重合時，，
∵D點是的中點，
∴E點是的中點，
∴.
當F點與C點重合時，，
此時，
在中，，
∴，
解得，
∴.
綜上所述：的長為2或.
【點撥】本題主要考查了待定系數法求一次函數關系式，翻折的性質，勾股定理，矩形的性質，勾股定理是求線段長的常用方法．
【變式1】（2024·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊，分別在x軸，y軸上，點E在邊上，將該矩形沿折疊，點B恰好落在邊上的F處．若，，則點E的坐標是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查勾股定理的應用，矩形的性質、翻折變化、坐標與圖形變化對稱，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．根據題意可以得到、的長度，根據點E在第二象限，從而可以得到點E的坐標．
解：由題意，，
設，則，
由折疊可得，，
∵，
∴，
解得，，
設，
∴，
∴，
∵，
，
解得，
∴點E的坐標為，
故選：A．
【變式2】（2024·廣西玉林·一模）如圖，把一張矩形紙片按如下方法進行兩次折疊：第一次將邊折疊到邊上得到， 折痕為， 連接，， 第二次將沿著折疊，恰好落在邊上． 則該矩形紙片的長寬比的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了正方形中的翻折，熟練掌握翻折的性質和正方形的性質是解題的關鍵．先利用第一次翻折確定四邊為正方形，得出，再利用第二次翻折得出，即可求解．
解：∵四邊形為矩形，
∴，，，，
由第一次折疊可知，，，
∴四邊為正方形，
∴，
∴，
由第二次折疊可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【題型3】直角三角形斜邊上的中線問題
【例3】（23-24八年級下·北京·期中）已知：如圖所示，在平行四邊形中，對角線、相交于點O，，E、F、G分別是、、的中點．求證：
(1)． (2)．
【分析】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的性質，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
（1）由已知條件易證，再根據等腰三角形中底邊上的高與中線合一的性質知．
（2）利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半及中位線定理可證．
解（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
是等腰三角形，
E是的中點，
．
（2）證明：由（）知，
是直角三角形，
G是的中點，
，
E、F分別是，的中點，
，
．
【變式1】（2024·浙江紹興·二模）如圖，菱形的對角線，相交于點，過點作于，是邊的中點，連接，若，菱形的面積96，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，先由菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，可計算出的長度，根據勾股定理即可求得的長，再根據直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出答案．
解：四邊形是菱形，
∴，
∵，菱形的面積為96，
∴，
解得，
則，
∵，是邊的中點，
∴，
∴，
故選：D．
【變式2】（23-24八年級下·福建福州·期末）如圖，菱形的對角線、相交于點，過點作于點，連接，若，則的度數為 ．
【答案】/度
【分析】本題考查了菱形的性質、等邊對等角、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質，解題關鍵是根據菱形和直角三角形的性質得出角之間的關系．
根據菱形的性質、等邊對等角，求出，求出，再根據斜邊中線等于斜邊一半、等邊對等角，推出，得出答案即可．
解：∵四邊形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：．
【題型4】矩形判定的理解
【例4】（23-24八年級下·河南商丘·期中）如圖，平行四邊形的對角線、相交于點O，，，E在線段上從點B以的速度運動，點F在線段上從點O以的速度運動，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．
（1）若點E、F同時運動，當t為何值時，四邊形是平行四邊形；
（2）在（1）的條件下， 當為何值時， 四邊形是菱形？
（3）在（1）的條件下，四邊形還可能是矩形嗎？為什么？
【答案】(1)2； (2)(3)不能；理由見解析
【分析】本題綜合考查平行四邊形的判定和菱形的判定．考查學生綜合運用數學知識的能力．
（1）根據要使四邊形為平行四邊形時，得出，即可求得t值；
（2）若是菱形，則垂直于，即有，故可求；
（3）若是矩形，，則此時E在O上，所以四邊形不可以是矩形．
（1）解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
若四邊形為平行四邊形，
∴，，
∵E在線段上從點B以的速度運動，點F在線段上從點O以的速度運動，
∴，，
∴，
∴，
∴當t的值為2時，四邊形是平行四邊形．
（2）解：若四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：不可以．
若是矩形，，
∴，
∴，
則此時E在點B上，F在O上，
顯然四邊形不是矩形．
【變式1】（23-24八年級下·重慶九龍坡·期中）下列說法正確的是（ ）
A．對角線互相垂直的平行四邊形是矩形 B．有一個角是直角的平行四邊形是矩形
C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是矩形
【答案】B
【分析】本題考查了矩形的判定定理，掌握以上定理是解題的關鍵．根據矩形的判定定理逐項分析即可．
解：A、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以A選項不符合題意;
B、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以B選項符合題意；
C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以C選項不符合題意；
D、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，所以D選項不符合題意；
故選：B．
【變式2】（23-24八年級下·內蒙古呼和浩特·期中）如圖，在四邊形中，，，，，點從點出發每秒以個單位長度的速度向點運動，則當運動時間為 秒時，四邊形是矩形．
【答案】
【分析】本題考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，則可得出答案．確定是解題的關鍵．
解：∵點從點出發每秒以個單位長度的速度向點運動，設運動時間為，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
當時，四邊形是矩形，
∴，
∴，
故答案為：．
【題型5】利用矩形的性質與判定求值與證明
【例5】（23-24九年級上·江西九江·期末）課本再現：
（1）定理 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
已知：如圖1，在中，，是邊上的中線．
求證：．
證明：如圖1，延長到點，使得，連接．
……
請把證明過程補充完整．
知識應用：
（2）如圖2，在中，是邊上的高，是邊上的中線，是的中點，連接并延長交于點，連接．求證：．
【分析】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定與性質，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握矩形的判定與性質是解（1）的關鍵，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解（2）的關鍵．
（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明四邊形是矩形即可；
（2）由直角三角形斜邊中線的性質得，進而可證，然后證明是線段的垂直平分線即可．
解：（1）是邊上的中線，
．
，
四邊形是平行四邊形．
，
四邊形是矩形．
．
，
．
（2）如圖，連接．
是邊上的高，是邊上的中線，
，是的中點．
．
，
．
．
是的中點，
．
是線段的垂直平分線．
．
【變式1】（22-23八年級下·湖北十堰·期中）如圖，矩形中，，點E是上一點，且，的垂直平分線交的延長線于點F，交于點H，連接交于點G．若G是的中點，則的長是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】過點E作于點P，證明四邊形和四邊形為矩形，得出，，根據證明，得出，又垂直平分，得出，令，則，進而，，，在中，，進行求解即可．
解：過點E作于點P，
在矩形中
，，
∴四邊形和四邊形為矩形，
又，，
∴，，
∵G是的中點，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
令，則，
又∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴
解得．
故選：A．
【點撥】本題考查矩形的判定和性質，垂直平分線的性質，勾股定理以及全等三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是作輔助線構造直角三角形求邊長．
【變式2】（23-24九年級上·山東濟南·期中）如圖，在矩形中，，點E在邊上，點F在邊上，且，連接，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查矩形的性質、勾股定理、將軍飲馬問題全等三角形的判定與性質等內容，綜合性較強，將轉化為是解題的關鍵．
先連接，將轉化為，再利用將軍飲馬解決問題即可．
解：
如圖，連接
四邊形是矩形
，
∵
如圖，作B點關于A點的對稱點，連接
，
的最小值為
故答案為：．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知矩形．
（1）尺規作圖：作對角線的垂直平分線，交于點E，交于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）連接．求證：四邊形是菱形．
【分析】本題主要考查矩形的性質，垂直平分線的畫法及性質，三角形全等的判定與性質，菱形的判定．
（1）根據垂直平分線的畫法即可求解；
（2）由直線是線段的垂直平分線．得到，，，，根據矩形的性質可證，可得，即可得到，即可求證．
（1）解：如圖1所示，直線為所求；
（2）證明：如圖2，設與的交點為O，
由（1）可知，直線是線段的垂直平分線．
∴，，，，
又∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
【例2】（2024·云南·中考真題）如圖，在四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，且，，四邊形是矩形．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若矩形的周長為22，四邊形的面積為10，求的長．
【答案】(1)見解析 (2)
【分析】（1）連接，，證明四邊形是平行四邊形，再利用三角形中位線定理得到，，利用矩形的性質得到，即可證明四邊形是菱形；
（2）利用三角形中位線定理和菱形性質得到，利用lx 面積公式得到，再利用完全平方公式結合勾股定理進行變形求解即可得到．
（1）解：連接，，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，
，，
四邊形是矩形，
，
，
四邊形是菱形；
（2）解：四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，
，，
矩形的周長為22，
，
四邊形是菱形，
即，
四邊形的面積為10，
，即，
，
，
．
【點撥】本題考查了平行四邊形性質和判定，矩形的性質和判定，三角形中位線定理，菱形的性質和判定，菱形面積公式，勾股定理，完全平方公式，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．
2、拓展延伸
【例1】（重慶市秀山土家族苗族自治縣2023-2024學年八年級下學期期末數學試題）如圖，平面直角坐標系中，已知直線上一點，A為軸正半軸上一點，連接；過點作，在上截取線段，使，過點作直線軸，垂足為；交直線于點，連接，交直線于點，
（1）求證：；
（2）當點坐標為時，求點的坐標；
（3）當時，直接寫出點的坐標．
【答案】(1)見解析； (2)；(3)
【分析】（1）設點A的坐標為，則，過點M作軸于點Q，交于點P，則，，，證明，得到，從而，又，即可得到；
（2）當點坐標為時，， ，，，由得到，，從而得到點，運用待定系數法求出直線的解析式為，解方程組即可得到點D的坐標；
（3）設點A的坐標為，則，根據兩點間距離公式得到，當時，即，求解即可得到點A的坐標．
（1）解：設點A的坐標為，則，
過點M作軸于點Q，交于點P，
∴
∵，
∴，，，
∵軸，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵軸，軸，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：當點坐標為時，， ，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
設過點，的直線的解析式為，則
，解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，得，
∴
（3）解：設點A的坐標為，則
∵，軸，
∴點C的橫坐標為，
∵點C在直線上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
【點撥】本題考查待定系數法，全等三角形的判定及性質，一次函數圖象的交點，矩形的判定，坐標與圖形，正確作出輔助線，證明三角形全等是解題的關鍵．
【例2】（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）在學完矩形的判定后，善于鉆研的小壯、小剛和小強同學有自己獨到的見解：
已知：如圖，四邊形中，，對角線、相交于點O，．
小壯說：若，則四邊形為矩形；
小剛說：若，則四邊形為矩形．
小強說：若，則四邊形為矩形．
請對三人的說法任選其一進行判斷并證明．
【答案】小壯的說法是正確的（三人的觀點都正確，可任選其一判斷），理由見解析
【分析】選擇小壯：先證明，再證明四邊形為平行四邊形，可得到，即可證明；
選擇小剛：同上可證證明四邊形為平行四邊形，再證明即可證明；
選擇小強：同上可證證明四邊形為平行四邊形，再證明即可證明．
解：小壯的說法是正確的（三人的觀點都正確，可任選其一判斷），理由如下：
證明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又，
∴四邊形為平行四邊形．
∵，
∴，
∴四邊形是矩形．
若選擇小剛：
證明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為矩形；
若選擇小強：
證明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為矩形．
【點撥】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，等腰三角形的判定，三角形的外角，熟練掌握知識點是解題的關鍵．專題1.4 矩形的性質與判定（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】矩形的定義
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
【要點說明】矩形定義的兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角.即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件.
【知識點二】矩形的性質
矩形的性質包括四個方面：
1.矩形具有平行四邊形的所有性質；
2.矩形的對角線相等；
3.矩形的四個角都是直角；
4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.
【要點說明】
矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩
形分成完全全等的兩部分.
矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直線）.對稱軸的
交點就是對角線的交點（即對稱中心）.
矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質，從而矩形的性質
可以歸結為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.
【知識點三】矩形的判定
矩形的判定有三種方法：
1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2.對角線相等的平行四邊形是矩形.
3.有三個角是直角的四邊形是矩形.
【要點說明】
在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.
【知識點四】直角三角形斜邊上的中線的性質
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
【要點說明】
直角三角形斜邊上的中線的性質是矩形性質的推論.性質的前提是直角三角形
對一般三角形不可使用.
學過的直角三角形主要性質有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直
角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半.
（3）性質可以用來解決有關線段倍分的問題.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】利用矩形的性質證明與求值
【例1】（23-24八年級下·浙江寧波·期中）如圖，在矩形中，對角線相交于點O，于點E，于點F，連接與．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，求度數．
【變式1】（23-24八年級下·云南昭通·階段練習）兩個矩形的位置如圖所示，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習）如圖，在矩形中，，點E在邊上，且，若平分，則的長是 ．
【題型2】利用矩形的性質解決折疊問題
【例2】（23-24八年級下·浙江金華·期中）如圖1，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且點B的坐標為（4，2），點D為線段上的一個動點，點E為線段上一點（不與點A重合），連結．
（1）求對角線所在直線的函數表達式．
（2）如圖2，將沿著翻折，使點A落在平面內的點F處．若點D為對角線的中點，當點F恰好落在矩形的頂點上時，求的長．
【變式1】（2024·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊，分別在x軸，y軸上，點E在邊上，將該矩形沿折疊，點B恰好落在邊上的F處．若，，則點E的坐標是（ ）

A． B． C． D．
【變式2】（2024·廣西玉林·一模）如圖，把一張矩形紙片按如下方法進行兩次折疊：第一次將邊折疊到邊上得到， 折痕為， 連接，， 第二次將沿著折疊，恰好落在邊上． 則該矩形紙片的長寬比的值為 ．
【題型3】直角三角形斜邊上的中線問題
【例3】（23-24八年級下·北京·期中）已知：如圖所示，在平行四邊形中，對角線、相交于點O，，E、F、G分別是、、的中點．求證：
(1)． (2)．
【變式1】（2024·浙江紹興·二模）如圖，菱形的對角線，相交于點，過點作于，是邊的中點，連接，若，菱形的面積96，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級下·福建福州·期末）如圖，菱形的對角線、相交于點，過點作于點，連接，若，則的度數為 ．
【題型4】矩形判定的理解
【例4】（23-24八年級下·河南商丘·期中）如圖，平行四邊形的對角線、相交于點O，，，E在線段上從點B以的速度運動，點F在線段上從點O以的速度運動，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．
（1）若點E、F同時運動，當t為何值時，四邊形是平行四邊形；
（2）在（1）的條件下， 當為何值時， 四邊形是菱形？
（3）在（1）的條件下，四邊形還可能是矩形嗎？為什么？
【變式1】（23-24八年級下·重慶九龍坡·期中）下列說法正確的是（ ）
A．對角線互相垂直的平行四邊形是矩形 B．有一個角是直角的平行四邊形是矩形
C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是矩形
【變式2】（23-24八年級下·內蒙古呼和浩特·期中）如圖，在四邊形中，，，，，點從點出發每秒以個單位長度的速度向點運動，則當運動時間為 秒時，四邊形是矩形．
【題型5】利用矩形的性質與判定求值與證明
【例5】（23-24九年級上·江西九江·期末）課本再現：
（1）定理 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
已知：如圖1，在中，，是邊上的中線．
求證：．
證明：如圖1，延長到點，使得，連接．
……
請把證明過程補充完整．
知識應用：
（2）如圖2，在中，是邊上的高，是邊上的中線，是的中點，連接并延長交于點，連接．求證：．
【變式1】（22-23八年級下·湖北十堰·期中）如圖，矩形中，，點E是上一點，且，的垂直平分線交的延長線于點F，交于點H，連接交于點G．若G是的中點，則的長是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式2】（23-24九年級上·山東濟南·期中）如圖，在矩形中，，點E在邊上，點F在邊上，且，連接，，則的最小值為 ．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知矩形．
（1）尺規作圖：作對角線的垂直平分線，交于點E，交于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）連接．求證：四邊形是菱形．
【例2】（2024·云南·中考真題）如圖，在四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，且，，四邊形是矩形．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若矩形的周長為22，四邊形的面積為10，求的長．
2、拓展延伸
【例1】（重慶市秀山土家族苗族自治縣2023-2024學年八年級下學期期末數學試題）如圖，平面直角坐標系中，已知直線上一點，A為軸正半軸上一點，連接；過點作，在上截取線段，使，過點作直線軸，垂足為；交直線于點，連接，交直線于點，
（1）求證：；
（2）當點坐標為時，求點的坐標；
（3）當時，直接寫出點的坐標．
【例2】（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）在學完矩形的判定后，善于鉆研的小壯、小剛和小強同學有自己獨到的見解：
已知：如圖，四邊形中，，對角線、相交于點O，．
小壯說：若，則四邊形為矩形；
小剛說：若，則四邊形為矩形．
小強說：若，則四邊形為矩形．
請對三人的說法任選其一進行判斷并證明．

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