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專題1.7 正方形的性質與判定（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】正方形的定義
四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.
【要點說明】既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.
【知識點二】正方形的性質
正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質.
1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；
2.角——四個角都是直角；
3.對角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角；
4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.
【要點說明】正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.
【知識點三】正方形的判定
正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直（即菱形）.
【知識點四】特殊平行四邊形之間的關系
【知識點四】順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀
（1）順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.
（2）順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形.
（3）順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形.
（4）順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.
【要點說明】新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成.
（1）若原四邊形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形.
（2）若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形.
（3）若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】正方形性質與判定的理解
【例1】（2024·廣東江門·模擬預測）下列條件不能判定正方形的是（ ）．
A．對角線互相垂直的梯形 B．對角線互相垂直且相等的平行四邊形
C．對角線相等的菱形 D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形
【變式1】（23-24八年級下·重慶九龍坡·期末）矩形和正方形都具有的性質是（ ）
A．對角線互相平分且相等 B．對角線互相垂直平分
C．對角線互相垂直平分且相等 D．對角線平分一組對角
【變式2】（23-24八年級下·北京延慶·期末）學習了正方形之后，老師提出問題：要判斷一個四邊形是正方形，有哪些思路？
甲同學說：先判定四邊形是菱形，再確定這個菱形有一個角是直角；
乙同學說：先判定四邊形是矩形，再確定這個矩形有一組鄰邊相等；
丙同學說：先判定四邊形的對角線相等，再確定對角線互相垂直；
丁同學說：先判定四邊形是平行四邊形，再確定這個平行四邊形有一個角是直角并且有一組鄰邊相等．
上述四名同學的說法中，正確的是（ ）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁
【題型2】利用正方形的性質求值或證明
【例2】（23-24八年級下·內蒙古呼和浩特·期中）如圖，已知正方形，P是對角線上任意一點，過點P作于點M，于點N．
(1)求證：四邊形是正方形；
(2)若E是上一點，且，寫出的度數．
【變式1】（23-24八年級下·重慶江津·期末）如圖，在正方形中，點、分別為邊、上的點，連接、，平分，若．當時，則的度數為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）如圖，正方形的邊長為4，點E是的中點，垂直平分且分別交、于點H、G，則的長為 ．
【題型3】證明或添加條件證明四邊形為正方形
【例3】（23-24八年級下·上海普陀·期中）如圖，在四邊形中，對角線相交于點，延長至點E，使，連接．
(1)當時，求證：；
(2)當，且時，求證：四邊形是正方形．
【變式1】（23-24八年級下·河南新鄉·期末）如圖，在中，對角線相交于點O，則下列判斷正確的有（ ）
①若，，則是正方形；
②若，則是正方形；
③若，，則是正方形；
④若，則是菱形；
⑤若，則是菱形
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【變式2】（23-24九年級上·陜西西安·階段練習）如圖，點是菱形內的一點，連接，，平分，，．請判斷四邊形是正方形嗎？并說明理由．

【題型4】利用正方形的性質與判定證明或求角度
【例4】（21-22八年級下·湖南長沙·期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求證：四邊形OCED是菱形；
(2)若AB=AD，求∠ADE的度數．
【變式1】如圖，在正方形ABCD中，以對角線BD為邊作菱形BDFE，連接BF，則∠AFB＝（　　）
A．22.5° B．25° C．30° D．不能確定
【變式2】（23-24九年級上·福建三明·期中）如圖，在矩形中，．若點P滿足，且，則 ．

【題型5】利用正方形的性質與判定證明或求線段長
【例5】（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，已知菱形，E、F是對角線所在直線上的兩點，且，連接．
(1)求證：四邊形是正方形；
(2)若，求菱形的周長．
【變式1】（22-23九年級上·重慶大渡口·階段練習）如圖，點E是正方形對角線上一點，過E作交于F，連接，若，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·湖南婁底·一模）如圖，正方形的對角線、交于點，是邊上一點，連接，過點作，交于點．若四邊形的面積是5，則的長為 ．
【題型6】中點四邊形
【例6】已知：如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形（即四邊形的中點四邊形）．
(1)四邊形的形狀是________，并證明你的結論．
(2)當四邊形的對角線滿足________條件時，四邊形是矩形．
(3)在教材課本中你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是菱形？________
【變式1】（23-24八年級下·江蘇南京·期末）如圖，在四邊形中，分別是的中點．下列結論：
①四邊形是平行四邊形；
②當時，四邊形是菱形；
③當時，四邊形是矩形．
其中所有正確結論的序號是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【變式2】（23-24八年級下·北京順義·期末）如圖，在矩形中，點，，，分別為，，，的中點．若，，則四邊形的周長為 ．
1、直通中考
【例1】（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長為2的正方形的對角線與相交于點．是邊上一點，是上一點，連接．若與關于直線對稱，則的周長是（ ）

A． B． C． D．
【例2】（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，點在的延長線上，，連接．
（1）線段的長為 ；
（2）若為的中點，則線段的長為 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級下·北京順義·期末）在正方形中，點在邊上，點在邊上，，連接，．
(1)求證：；
(2)在邊取點，使得，過點作交于點，連接．
①依題意補全圖形；
②用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．
【例2】（23-24八年級下·浙江寧波·期末）如圖1，在正方形中，點P在上，連接，過點B作于點E，過點D作于點F．
(1)求證：．
(2)如圖2，延長至點G，使，連結，．
①探究線段，，之間的數量關系，并說明理由．
②連結，若，求的長．專題1.7 正方形的性質與判定（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】正方形的定義
四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.
【要點說明】既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.
【知識點二】正方形的性質
正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質.
1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；
2.角——四個角都是直角；
3.對角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角；
4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.
【要點說明】正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.
【知識點三】正方形的判定
正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直（即菱形）.
【知識點四】特殊平行四邊形之間的關系
【知識點四】順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀
（1）順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.
（2）順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形.
（3）順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形.
（4）順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.
【要點說明】新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成.
（1）若原四邊形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形.
（2）若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形.
（3）若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】正方形性質與判定的理解
【例1】（2024·廣東江門·模擬預測）下列條件不能判定正方形的是（ ）．
A．對角線互相垂直的梯形 B．對角線互相垂直且相等的平行四邊形
C．對角線相等的菱形 D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形
【答案】A
【分析】本題考查正方形的判定，利用正方形的判定方法逐一分析判斷得出答案即可．
解：A. 對角線互相垂直的梯形不是正方形，故此選項不能判定正方形，符合題意；
B. 對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，不符合題意；
C. 對角線相等的菱形是正方形，不符合題意；
D. 對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，不符合題意；
故選：A．
【變式1】（23-24八年級下·重慶九龍坡·期末）矩形和正方形都具有的性質是（ ）
A．對角線互相平分且相等 B．對角線互相垂直平分
C．對角線互相垂直平分且相等 D．對角線平分一組對角
【答案】A
【分析】本題考查了矩形的性質和正方形的性質，根據矩形的對角線互相平分且相等，正方形的對角線互相平分且相等即可得出答案，熟練掌握矩形的性質和正方形的性質是解此題的關鍵．
解：∵矩形的對角線互相平分且相等，正方形的對角線互相平分且相等，
∴矩形和正方形都具有的性質是對角線互相平分且相等，
故選：A．
【變式2】（23-24八年級下·北京延慶·期末）學習了正方形之后，老師提出問題：要判斷一個四邊形是正方形，有哪些思路？
甲同學說：先判定四邊形是菱形，再確定這個菱形有一個角是直角；
乙同學說：先判定四邊形是矩形，再確定這個矩形有一組鄰邊相等；
丙同學說：先判定四邊形的對角線相等，再確定對角線互相垂直；
丁同學說：先判定四邊形是平行四邊形，再確定這個平行四邊形有一個角是直角并且有一組鄰邊相等．
上述四名同學的說法中，正確的是（ ）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁
【答案】D
【分析】本題考查正方形的判定定理，熟記這些判定定理才能夠正確做出判斷．
根據正方形的判定方法進行解答即可．正方形的判定定理有：對角線相等的菱形；對角線互相垂直的矩形；對角線互相垂直平分且相等的四邊形．
解：甲同學說：先判定四邊形是菱形，再確定這個菱形有一個角是直角，故說法正確；
乙同學說：先判定四邊形是矩形，再確定這個矩形有一組鄰邊相等，故說法正確；
丙同學說：先判定四邊形的對角線相等，再確定對角線互相垂直，還需要對角線互相平分，故說法錯誤；
丁同學說：先判定四邊形是平行四邊形，再確定這個平行四邊形有一個角是直角并且有一組鄰邊相等，故說法正確；
故選：D．
【題型2】利用正方形的性質求值或證明
【例2】（23-24八年級下·內蒙古呼和浩特·期中）如圖，已知正方形，P是對角線上任意一點，過點P作于點M，于點N．
(1)求證：四邊形是正方形；
(2)若E是上一點，且，寫出的度數．
【答案】(1)見解析；(2)
【分析】本題考查了正方形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質，三角形內角和，角平分線性質，熟練掌握正方形的各種性質是證題的關鍵．
（1）由四邊形是正方形，易得，平分，又由，即可證得四邊形PMAN是正方形；
（2）根據正方形的性質得到，求得，根據三角形的內角和即可得到結論．
（1）證明：∵四邊形是正方形，
，平分，
∵，
，
∴四邊形是矩形，
，
∴四邊形是正方形；
（2）解：∵四邊形是正方形，
，
∵，
，
∴．
【變式1】（23-24八年級下·重慶江津·期末）如圖，在正方形中，點、分別為邊、上的點，連接、，平分，若．當時，則的度數為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正方形的性質，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質，由正方形的性質可得，，，進而由可得，，再由角平分線的定義得，又證明可得，最后利用角的和差關系即可求解，掌握正方形的性質是解題的關鍵．
解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故選：．
【變式2】（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）如圖，正方形的邊長為4，點E是的中點，垂直平分且分別交、于點H、G，則的長為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，正方形的性質，勾股定理等，連接，根據線段垂直平分線性質可得，根據正方形的性質可得，根據點E是的中點求得，設的長為x，則的長為，根據勾股定理即可求得的值，然后根據勾股定理求出結果即可．
解：連接，
在邊長為4的正方形中，，
，
垂直平分，
，，，
∵點E是的中點，
，
∴，
∴，
設的長為x，則的長為，
在和中，
，
即，
整理得，，
即，
∴，
∴．
∴．
故答案為：．
【題型3】證明或添加條件證明四邊形為正方形
【例3】（23-24八年級下·上海普陀·期中）如圖，在四邊形中，對角線相交于點，延長至點E，使，連接．
(1)當時，求證：；
(2)當，且時，求證：四邊形是正方形．
【分析】本題考查平行線的判定，特殊四邊形的判定和性質，掌握特殊四邊形的判定定理和性質定理是解題關鍵．
（1）根據平行線的性質可證，結合題意可證四邊形為菱形，即得出，再結合，即得出；
（2）由（1）可知四邊形為平行四邊形，即得出，，．再結合題意即證明四邊形是正方形．
（1）證明：∵，
∴．
∵，
∴四邊形為平行四邊形．
∵，
∴平行四邊形為菱形，
∴．
∵，
∴；
（2）證明：如圖，，，
由（1）可知四邊形為平行四邊形，
∴，，．
∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形．
∵，
∴，
∴平行四邊形為菱形．
∵，
∴，
∴菱形為正方形．
【變式1】（23-24八年級下·河南新鄉·期末）如圖，在中，對角線相交于點O，則下列判斷正確的有（ ）
①若，，則是正方形；
②若，則是正方形；
③若，，則是正方形；
④若，則是菱形；
⑤若，則是菱形
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】D
【分析】本題考查正方形，菱形的判定，根據正方形和菱形的判定方法，逐一進行判斷即可．
解：∵，
∴是矩形，
∵，
∴，
∴是正方形；故①正確；
∵，
∴，
∴是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴是正方形；故②正確；
∵，
∴是矩形，
∵，
∴是正方形；故③正確；
∵，
∴是菱形；故④正確．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是菱形；故⑤正確．
故選D．
【變式2】（23-24九年級上·陜西西安·階段練習）如圖，點是菱形內的一點，連接，，平分，，．請判斷四邊形是正方形嗎？并說明理由．

【答案】四邊形是正方形．理由見解析
【分析】由勾股定理的逆定理得，進而求得，根據正方形的判定定理即可得證．
解：四邊形是正方形．理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴四邊形是正方形．
【點撥】本題考查了角平分線的定義、等邊對等角、正方形的判定及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
【題型4】利用正方形的性質與判定證明或求角度
【例4】（21-22八年級下·湖南長沙·期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求證：四邊形OCED是菱形；
(2)若AB=AD，求∠ADE的度數．
【答案】(1)見解析； (2)135° ；
【分析】（1）先由兩組對邊平行證明四邊形OCED是平行四邊形，再由OD=OC證明四邊形OCED是菱形；
（2）先證矩形ABCD是正方形，再由正方形的性質得∠BDC=∠ACD=，再由平行線的性質得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解．
（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
∵矩形ABCD對角線AC，BD相交于點O，
∴OD=OC．
∴四邊形OCED是菱形．
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠BDC=∠ACD=．
∵DE∥AC，
∴∠EDC=∠ACD=45°，
∴∠ADE=90°+45°=135°．
【點撥】本題考查菱形的判定、正方形的判定與性質以及平行線的性質，由正方形的性質得出∠BDC=∠ACD=是解題的關鍵．
【變式1】如圖，在正方形ABCD中，以對角線BD為邊作菱形BDFE，連接BF，則∠AFB＝（　　）
A．22.5° B．25° C．30° D．不能確定
【答案】A
【分析】根據正方形的對角線平分一組對角可得∠ADB=45°，再根據菱形的四條邊都相等可得BD=DF，根據等邊對等角可得∠DBF=∠DFB，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和進行計算即可得解．
解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°，
在菱形BDFE中，BD=DF，
所以，∠DBF=∠AFB，
在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，
解得∠AFB=22.5°．
故選：A．
【點撥】本題考查了正方形的四個角都是直角，對角線平分一組對角的性質，菱形的四條邊都相等的性質，以及等邊對等角，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，難度不大，熟記各性質是解題的關鍵．
【變式2】（23-24九年級上·福建三明·期中）如圖，在矩形中，．若點P滿足，且，則 ．

【答案】
【分析】本題考查正方形的判定與性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，通過作輔助線構造全等三角形與正方形是解題的關鍵．過點P作交延長線于M，交延長線于N，過點P作于Q，交于E，證明四邊形是矩形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，現證明，從而證明四邊形為正方形，利用正方形的性質即可得出結論．
解：過點P作交延長線于M，交延長線于N，過點P作于Q，交于E，如圖，

∵矩形
∴，，，，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴
，
∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，
∴，，
∵
∴，
∴
∵
∴
在與
∴
∴，，
∴四邊形為正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為正方形，
∴．
故答案為：．
【題型5】利用正方形的性質與判定證明或求線段長
【例5】（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，已知菱形，E、F是對角線所在直線上的兩點，且，連接．
(1)求證：四邊形是正方形；
(2)若，求菱形的周長．
【答案】(1)見解析 (2)
【分析】本題主要考查了菱形的性質和判定，正方形的判定，勾股定理等，靈活的選擇判定定理是解題的關鍵．
（1）連接，交于點O，根據菱形的性質，再結合，說明四邊形是菱形，然后根據“有一個角是直角的菱形是正方形”得出答案；
（2）先根據正方形的性質求出 ，即可求出，再根據勾股定理求出，即可得出答案．
（1）證明：連接，交于點O，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴與垂直且互相平分，
∴四邊形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴菱形是正方形；
（2）解：∵菱形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周長．
【變式1】（22-23九年級上·重慶大渡口·階段練習）如圖，點E是正方形對角線上一點，過E作交于F，連接，若，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過點E作于點H，證明四邊形是正方形，可得，在中，由勾股定理可得，進而可求得正方形的邊長，再根據勾股定理可求解．
解：過點E作EH⊥BC于點H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，
，
，
∴，
，
，
∴，
故選：D．
【點撥】本題考查了正方形的判定及性質，勾股定理的應用，熟練掌握正方形的判定及性質，正確作出輔助線利用勾股定理是解題的關鍵．
【變式2】（2023·湖南婁底·一模）如圖，正方形的對角線、交于點，是邊上一點，連接，過點作，交于點．若四邊形的面積是5，則的長為 ．
【答案】
【分析】如圖，過作于，于，則四邊形是正方形，證明，則，，即，解得，根據，計算求解即可．
解：如圖，過作于，于，則四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，解得，（舍去），
∴，
故答案為：．
【點撥】本題考查了正方形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
【題型6】中點四邊形
【例6】已知：如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形（即四邊形的中點四邊形）．
(1)四邊形的形狀是________，并證明你的結論．
(2)當四邊形的對角線滿足________條件時，四邊形是矩形．
(3)在教材課本中你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是菱形？________
【答案】(1)平行四邊形，證明見解析 (2) (3)矩形
【分析】（1）連接BD，然后根據三角形中位線可進行求解；（2）根據矩形的判定定理可進行求解；
（3）由矩形的性質可進行求解．
（1）解：四邊形的形狀是平行四邊形，理由如下：
如圖1，連結．
∵、分別是、中點，
∴，，
同理，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：當四邊形的對角線滿足時，四邊形是矩形；理由如下：
連結AC，如圖所示：
由（1）可知四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形；
（3）解：由（1）可知四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
故答案為矩形．
【點撥】本題主要考查中點四邊形、三角形中位線、矩形的性質與判定及菱形的判定，熟練掌握中點四邊形、三角形中位線、矩形的性質與判定及菱形的判定是解題的關鍵．
【變式1】（23-24八年級下·江蘇南京·期末）如圖，在四邊形中，分別是的中點．下列結論：
①四邊形是平行四邊形；
②當時，四邊形是菱形；
③當時，四邊形是矩形．
其中所有正確結論的序號是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理、矩形、菱形的判定定理是解題的關鍵．①根據三角形中位線定理得到，，，，根據平行四邊形的判定定理證明結論；②根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答；③根據矩形的判定定理解答．
解：①，分別是，的中點，
是的中位線，
，，
同理，，，
，，
四邊形是平行四邊形；
故①正確，符合題意；
②，分別是，的中點，
是的中位線，
，，
當時，，
四邊形是菱形；
當與滿足條件時，四邊形是菱形，
故②正確，符合題意；
③，
，
，
，
當時，
，
，
，
平行四邊形是矩形，
當時，四邊形不一定是矩形，
故③錯誤，不符合題意；
故選：A．
【變式2】（23-24八年級下·北京順義·期末）如圖，在矩形中，點，，，分別為，，，的中點．若，，則四邊形的周長為 ．
【答案】20
【分析】本題主要考查矩形的性質，勾股定理以及菱形的判定與性質，連接，證明四邊形是菱形，由勾股定理得，從而可得結論
解：連接，如圖，
∵四邊形是矩形，
∴
∵點，，，分別為，，，的中點．
∴分別是的中位線，
∴
∴
∴四邊形是菱形，
在中，，，
∴
∴菱形的周長,
故答案為：20
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長為2的正方形的對角線與相交于點．是邊上一點，是上一點，連接．若與關于直線對稱，則的周長是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了正方形的性質和折疊的性質，屬于基礎題型，熟練掌握正方形的性質和折疊的性質是解題的關鍵．根據正方形的性質可求出，根據軸對稱的性質可得，則，再求出，，即可求出答案．
解：正方形的邊長為2，
∴，
∴，
∵與關于直線對稱，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周長是，
故選：A．
【例2】（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，點在的延長線上，，連接．
（1）線段的長為 ；
（2）若為的中點，則線段的長為 ．
【答案】 2 /
【分析】本題考查正方形的性質，中位線定理，正確添加輔助線、熟練運用中位線定理是解題的關鍵；
（1）運用正方形性質對角線互相平分、相等且垂直，即可求解，（2）作輔助線，構造中位線求解即可．
（1）四邊形是正方形，
，
在中，，
，
，
；
（2）延長到點，使，連接
由點向作垂線，垂足為
∵為的中點，為的中點，
∴為的中位線，
在中， ，
，
在中，，
為的中位線，
；
故答案為：2；.
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級下·北京順義·期末）在正方形中，點在邊上，點在邊上，，連接，．
(1)求證：；
(2)在邊取點，使得，過點作交于點，連接．
①依題意補全圖形；
②用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．
【答案】(1)見解析；(2)①見解析②，證明見解析
【分析】本題主要考查正方形的性質，等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質以及勾股定理：
（1）設相交于點H，根據證明，得由得，由三角形內角和定理得，即；
（2）①根據題意補全圖形即可；②延長到點Q，使，連接，證明，根據證明，得，再證明，得是等腰直角三角形，得到，從而可得結論
（1）證明：設相交于點H，
∵四邊形是正方形，
∴，
又
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如圖，即為所作：
②,理由如下：
延長到點Q，使，連接，如圖，
由（1）得，，，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
，
∴，
∵
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴．
【例2】（23-24八年級下·浙江寧波·期末）如圖1，在正方形中，點P在上，連接，過點B作于點E，過點D作于點F．
(1)求證：．
(2)如圖2，延長至點G，使，連結，．
①探究線段，，之間的數量關系，并說明理由．
②連結，若，求的長．
【答案】(1)見詳解 (2)①；②
【分析】（1）利用證明；
（2）①證明和是等腰直角三角形，得出，所以；
②過點作交于，過點作交于點，證明，求出，利用勾股定理求出的長．
（1）證明：∵四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：①，理由如下：
∵，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
；
②過點作交于，過點作交于點，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點撥】本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質，特殊三角形的三邊關系等，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．

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