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專題2.1 認識一元二次方程（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】一元二次方程的定義
（1）一元二次方程：只含有一個未知數，并且未知數次數的最高次數是2次的整式方程，叫做一元二次方程.
（2）構成一元二次方程必須同時滿足三個條件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一個未知數；③整理后的方程含未知數的最高次數是2.
【知識點二】一元二次方程的一般形式
一般形式
項及項的系數 二次項為 二次項系數為
一次項為一次項系數為
常數項為
特點 方程左邊是關于未知數的二次整式，一般按未知數冪降冪排列，方程右邊為0.
【知識點三】一元二次方程的解（根）
概念 使方程左右兩邊相等的未知數的值叫這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
判斷一個數是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入檢驗法） 若一元二次方程有解，則這個解一定有兩個
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】一元二次方程的定義
【例1】（2024九年級上·全國·專題練習）已知關于x的方程，試問：
（1）m為何值時，該方程是關于x的一元一次方程？
（2）m為何值時，該方程是關于x的一元二次方程？
【答案】(1)或 (2)
【分析】本題考查了一元二次方程和一元一次方程的定義，能根據一元一次方程的定義得出或或是解（1）的關鍵，能根據一元二次方程的定義得出且是解（2）的關鍵．
（1）根據一元一次方程的定義得出或或，再求出即可；
（2）根據一元二次方程的定義得出且，再求出即可．
（1）解：要使關于的方程是一元一次方程，分3種情況：
①，解得：，該方程是一元一次方程；
②，解得：，該方程是一元一次方程；
③，解得：，該方程是一元一次方程；
所以當或時，該方程是關于的一元一次方程；
（2）解：要使關于的方程是一元二次方程，必須且，
解得：，都滿足，
所以時，該方程是關于的一元二次方程．
【變式1】．（23-24九年級上·湖北荊州·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程是解答此題的關鍵．根據一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可．
解：A、當時，方程是一元一次方程，故本選項錯誤；
B、方程是一元一次方程，故本選項錯誤；
C、方程是一元三次方程，故本選項錯誤；
D、符合一元二次方程的定義，故本選項正確．
故選：D．
【變式2】（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習）若關于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是
【答案】
【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義，根據一元二次方程的定義： 只含有一個未知數， 并且未知數的最高次數是 2 的整式方程叫一元二次方程可得，再解即可 ．
解： 由題意得：，
解得：，
故答案為：
【題型2】一元二次方程的一般形式
【例2】（23-24九年級上·全國·單元測試）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
(1) ； (2)．
（23-24九年級上·全國·單元測試）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
(1) ；
(2)．
【答案】(1)，二次項系數是1，一次項系數是1，常數項是
(2)，二次項系數是 ，一次項系數是4，常數項是0，或，二次項系數是1 ，一次項系數是，常數項是0
【分析】本題考查一元二次方程的定義，熟知一元二次方程的定義是解題的關鍵．根據一元二次方程的定義，形如（a、b、c為常數，）的整式方程叫做一元二次方程，其中a為二次型系數，b為一次項系數，c為常數項．
（1）解：
，
二次項系數是1，一次項系數是1，常數項是；
（2）解：，
，或
二次項系數是 ，一次項系數是4，常數項是0或二次項系數是1 ，一次項系數是，常數項是0．
【變式1】（2024九年級上·全國·專題練習）將一元二次方程化成的形式，則a，b的值分別是（　　）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【答案】A
【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，根據完全平方公式、移項把原方程化為一般形式，即可得到答案．
解：，
則，
∴，
由題意得：，
解得：，
故選：A．
【變式2】（23-24八年級下·廣西崇左·期中）把方程化為一元二次方程的一般形式是 ．
（23-24八年級下·廣西崇左·期中）把方程化為一元二次方程的一般形式是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，去括號的過程中要注意符號的變化，不要漏乘，移項時要注意符號的變化．
首先根據完全平方公式進行計算，把方程變形為一元二次方程的一般形式是：是常數且特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．
解：方程
去括號得：，
即，
移項合并同類項得：，
即可化成，
故答案為：．
【題型3】一元二次方程的解（根）中的整體思想求值（解）
【例3】（23-24九年級上·全國·單元測試）若a是方程的一個根，求代數式的值．
（23-24九年級上·全國·單元測試）若a是方程的一個根，求代數式的值．
【答案】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的根、代數式化簡求值，將a代入方程再將方程變換得到，，代入所求代數式即可求解；
解：∵a是方程的一個根，
∴，，
∴
．
【變式1】（23-24八年級下·浙江衢州·期末）如果關于x的一元二次方程的一個解是，則代數式的值為（ ）
A． B． C．2023 D．2025
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
利用一元二次方程解的定義得到，然后把變形為，再利用整體代入的方法計算．
解：把代入方程得，
所以，
所以．
故選：C．
【變式2】（2024·四川內江·二模）已知a是方程的一個根，則 ．
（2024·四川內江·二模）已知a是方程的一個根，則 ．
【答案】
【分析】本題考查一元二次方程的解、分式的化簡求值，由題意得，把代入得，，即，，，再把式子代入求解即可．
解：∵a是方程的一個根，
把代入得，，
∴，，即，，
∴，
故答案為：．
【題型4】一元二次方程的解（根）中的估算
【例4】（23-24九年級上·全國·單元測試）小貝在做“一塊矩形鐵片，面積為，長比寬多，求鐵片的長”時是這樣做的：設鐵片的長為，列出的方程為，整理，得小貝列出方程后，想知道鐵片的長到底是多少下面是它的探索過程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
（1）請你幫小貝填完空格，完成她未完成的部分．
（2）通過以上探索，可以估計出矩形鐵片的長的整數部分為多少十分位為多少
（23-24九年級上·全國·單元測試）小貝在做“一塊矩形鐵片，面積為，長比寬多，求鐵片的長”時是這樣做的：設鐵片的長為，列出的方程為，整理，得小貝列出方程后，想知道鐵片的長到底是多少下面是它的探索過程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
(1)請你幫小貝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通過以上探索，可以估計出矩形鐵片的長的整數部分為多少十分位為多少
【答案】(1)見解析
(2)矩形鐵片的長的整數部分為3，十分位為3
【分析】本題考查了求一元二次方程的近似解，解題的關鍵是掌握求一元二次方程近似解的方法和步驟．
（1）分別計算當、、、時代數式的值，即可補充表格；
（2）根據（1）中得出的x的取值范圍，即可解答．
（1）解：當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
∴補充表格如下：
第一步：

3
所以
第二步：


所以 ．
（2）解：由（1）可得：，
∴矩形鐵片的長的整數部分為3，十分位為3．
【變式1】（24-25九年級上·全國·課后作業）輸入一組數據，按下列程序進行計算，輸出結果如下表：
→→→→
輸出
分析表格中的數據，估計方程的一個正數解的大致范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解，根據表格得，當時，，即，從而可以判斷時的大致范圍，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
解：根據表格得，當時，，
即，
∴方程的正數解的大致范圍為，
故選：．
【變式2】（22-23九年級上·山東青島·期中）根據下表得知，方程的一個近似解為 （精確到0.1）
x … …
… 0.56 1.25 1.96 …
（22-23九年級上·山東青島·期中）根據下表得知，方程的一個近似解為 （精確到0.1）
x … …
… 0.56 1.25 1.96 …
【答案】
【分析】看0在相對應的哪兩個的值之間，那么近似根就在這兩個對應的的值之間．
解：，
當時，隨增大而減小，
根據表格得，當時，，即，
∵0距近一些，
∴方程的一個近似根是，
故答案為：．
【點撥】本題考查了估算一元二次方程的近似解：給出一些未知數的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數的值愈接近方程的根．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·四川遂寧·中考真題）已知m為方程的根，那么的值為（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根據題意有，即有，據此即可作答．
解：∵m為的根，
∴，且m≠0，
∴，
則有原式=，
故選：B．
【點撥】本題考查了利用未知數是一元二次方程的根求解代數式的值，由m為得到是解答本題的關鍵．
【例2】（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程的根，則 ．
（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程的根，則 ．
【答案】6
【分析】由m是方程的根，可得，把化為，再通分變形即可．
解：∵m是方程的根，
∴，即，
∴
；
【點撥】本題考查的是一元二次方程的解的含義，分式的化簡求值，準確的把原分式變形，再求值是解本題的關鍵．
2、拓展延伸
【例1】（2024·廣東深圳·三模）已知，．
（1）化簡A；
（2）若a是方程的一個根，求A的值．
（2024·廣東深圳·三模）已知，．
【答案】(1) (2)
【分析】本題考查異分母分式的減法運算，一元二次方程的解；
（1）通分，化成同分母，進行計算即可；
（2）把代入方程，得到，整體代入（1）中結果進行求解即可．
解：（1）
；
（2）∵a是方程的一個根，
∴，
∴．
【例2】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖所示，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是和的邊長，易知，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：

（1）試判斷方程是否為“勾系一元二次方程”．
（2）若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是12，求的面積．
（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖所示，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是和的邊長，易知，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：

(1)試判斷方程是否為“勾系一元二次方程”．
(2)若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是12，求的面積．
【答案】(1)是勾系一元二次方程； (2)2．
【分析】（1）根據定義，把方程變形為，得到，滿足，判斷即可．
（2）根據方程根的定義，新定義，完全平方公式，變形計算即可．
本題考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟練掌握定義，定理，公式是解題的關鍵．
解：（1）根據定義，方程變形為，
得到，
且，
故方程是否為“勾系一元二次方程”．
（2）∵是“勾系一元二次方程”的一個根，
∴，
∴，
∵四邊形的周長是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故的面積為2．專題2.1 認識一元二次方程（知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點一】一元二次方程的定義
（1）一元二次方程：只含有一個未知數，并且未知數次數的最高次數是2次的整式方程，叫做一元二次方程.
（2）構成一元二次方程必須同時滿足三個條件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一個未知數；③整理后的方程含未知數的最高次數是2.
【知識點二】一元二次方程的一般形式
一般形式
項及項的系數 二次項為 二次項系數為
一次項為一次項系數為
常數項為
特點 方程左邊是關于未知數的二次整式，一般按未知數冪降冪排列，方程右邊為0.
【知識點三】一元二次方程的解（根）
概念 使方程左右兩邊相等的未知數的值叫這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
判斷一個數是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入檢驗法） 若一元二次方程有解，則這個解一定有兩個
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】一元二次方程的定義
【例1】（2024九年級上·全國·專題練習）已知關于x的方程，試問：
（1）m為何值時，該方程是關于x的一元一次方程？
（2）m為何值時，該方程是關于x的一元二次方程？
【變式1】．（23-24九年級上·湖北荊州·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習）若關于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是
【題型2】一元二次方程的一般形式
【例2】（23-24九年級上·全國·單元測試）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
(1) ； (2)．
【變式1】（2024九年級上·全國·專題練習）將一元二次方程化成的形式，則a，b的值分別是（　　）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【變式2】（23-24八年級下·廣西崇左·期中）把方程化為一元二次方程的一般形式是 ．
【題型3】一元二次方程的解（根）中的整體思想求值（解）
【例3】（23-24九年級上·全國·單元測試）若a是方程的一個根，求代數式的值．
【變式1】（23-24八年級下·浙江衢州·期末）如果關于x的一元二次方程的一個解是，則代數式的值為（ ）
A． B． C．2023 D．2025
【變式2】（2024·四川內江·二模）已知a是方程的一個根，則 ．
【題型4】一元二次方程的解（根）中的估算
【例4】（23-24九年級上·全國·單元測試）小貝在做“一塊矩形鐵片，面積為，長比寬多，求鐵片的長”時是這樣做的：設鐵片的長為，列出的方程為，整理，得小貝列出方程后，想知道鐵片的長到底是多少下面是它的探索過程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
（1）請你幫小貝填完空格，完成她未完成的部分．
（2）通過以上探索，可以估計出矩形鐵片的長的整數部分為多少十分位為多少
【變式1】（24-25九年級上·全國·課后作業）輸入一組數據，按下列程序進行計算，輸出結果如下表：
→→→→
輸出
分析表格中的數據，估計方程的一個正數解的大致范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（22-23九年級上·山東青島·期中）根據下表得知，方程的一個近似解為 （精確到0.1）
x … …
… 0.56 1.25 1.96 …
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·四川遂寧·中考真題）已知m為方程的根，那么的值為（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【例2】（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程的根，則 ．
2、拓展延伸
【例1】（2024·廣東深圳·三模）已知，．
（1）化簡A；
（2）若a是方程的一個根，求A的值．
【例2】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖所示，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是和的邊長，易知，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：

（1）試判斷方程是否為“勾系一元二次方程”．
（2）若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是12，求的面積．

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