資源簡介

專題2.15 一元二次方程（全章知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點1】一般形式：（其中是未知數，是已知數，）.
【知識點2】一元二次方程的解法：
（1）一元二次方程的解法： 直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.
（2）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般不用配方法.
【知識點3】一元二次方程的根的判別式：
（1）當時方程有兩個不相等的實數根；
（2） 當時方程有兩個相等的實數根；
（3）當時方程沒有實數根；
（4）當時方程有兩個實數根
【知識點4】一元二次方程根與系數的關系
若是一元二次方程的兩個根，則, .
【知識點5】實際問題與一元二次方程
（1）列一元二次方程解應用題步驟：
① 審：審的目的找等量關系，注意找關鍵詞；
② 設：有直接設法與間接設法，注意要帶單位；
③ 列：由等量關系列出方程，注意方程兩邊單位要一致；
④ 解：用適當的方法解一元二次方程；
⑤ 檢：一是檢驗是否正確，二是結合實際是否有意義；
⑥ 答：寫出實際問題的答案。
常見實際問題的數量關系
① 傳播問題：傳染源+第一輪傳染+第二輪傳染=兩輪傳染總數；
② 增長（降低）率問題：平均增長率公式；（x是平均增長率，n增長次數）
③ 幾何問題：涉及三角形全等，勾股定理，各種規則圖形面積公式，動點問題等等；
④ 數字問題：主要與數字與位數的關系；比如：兩位數=十位數字10+個位數字；
⑤ 商品銷售問題：利潤=售價-進價；售價=進價（1+利潤率）；總利潤=總售價-總成本=單件利潤總銷量等等
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】一元二次方程及相關概念
【例1】（23-24九年級上·全國·單元測試）已知關于的方程．
（1）當為何值時，此方程是一元一次方程？
（2）當為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項．
【答案】(1) (2),一元二次方程的二次項系數是、一次項系數是，常數項是
【分析】本題考查了一元二次方程，一元一次方程的定義；熟練掌握定義是解答本題的關鍵．
（1）根據二次項系數等于零，一次項系數不等于零時是一元一次方程，可得答案；
（2）根據二次項系數不等于零是一元二次方程，可得答案．
解：（1）由是一元一次方程，得
根據題意，得且．
解得．
所以當時，此方程是一元一次方程；
（2）根據題意，得．
解得．
此時一元二次方程的二次項系數是、一次項系數是，常數項是．
【變式1】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知m是一元二次方程的一個根，則的值是 ．
【答案】0
【分析】本題考查了一元二次方程的解和代數式求值，利用整體代入的思想求解是解題的關鍵．利用一元二次方程的解的定義得到，再根據，代入求解即可求．
解：是一元二次方程的一個根，
即，
，
將代入得：原式，
故答案為：0．
【變式2】（23-24八年級下·重慶·期末）根據下列表格的對應值：判斷方程一個解的取值范圍是（　　）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的解的估算．熟練掌握一元二次方程的解的估算是解題的關鍵．
由圖象可知，，則方程一個解的取值范圍為，然后判斷作答即可．
解：∵，
∴方程一個解的取值范圍為，
故選：C．
【題型2】選擇合適（指定）的方法解一元二次方程
【例2】（2024九年級上·全國·專題練習）用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接開平方法) (2) (配方法)
(3) (公式法) (4) (因式分解法)
【答案】(1) (2)，
(3) (4)
【分析】本題考查了解一元二次方程，根據要求結合方程的特點靈活運用相關解法是解題的關鍵．
（1）將常數項移到右側，利用直接開平方法求解即可；
（2）方程兩邊同時加上4，左邊配成完全平方式，然后兩邊開平方即可得；
（3）確定出a、b、c的值，然后按照公式法的步驟進行求解即可；
（4）方程左邊利用完全平方公式進行分解，繼而進行求解即可得．
解：（1），
，
，
∴；
（2），
，
，
，
∴，；
（3），
，，，
，
∴，
即；
（4），
，
，
∴．
【變式1】（22-23九年級上·廣東佛山·階段練習）請用指定方法解下列方程：
(1) （用配方法） (2)（用公式法）
【答案】(1)， (2)，
【分析】（1）配方法解方程即可；
（2）公式法解方程即可．
解：（1），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2），
，
∴，
∴，
∴，．
【點撥】本題考查解一元二次方程．熟練掌握解一元二次方程的方法，正確的計算，是解題的關鍵．
【變式2】（23-24九年級上·全國·課后作業）利用指定方法解一元二次方程：
(1)（公式法）； (2)（因式分解法）．
【答案】(1)， (2)，
【分析】（1）先把方程化為一般式，再計算出根的判別式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；
（2）先把方程變形為，再利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可．
解：（1），
，
∵，，，
∴，
∴
解得：，．
（2），
，
，
，
，
或，
解得：，．
【點撥】本題考查了解一元二次方程——公式法和因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【題型3】配方法的應用
【例3】（23-24八年級下·廣西百色·期中）先閱讀下列問題，再按要求解答問題：
例題：求代數式的最小值．
解：
∵，∴，
∴的最小值是9．
（1）求代數式的最小值；
（2）求代數式的最大值；
（3）小紅的爸爸要在一塊一邊靠墻（墻長）的空地上建一個長方形雞舍，雞舍一邊靠墻，另三邊用總長為的柵欄圍成．如圖，設；請問：當x取何值時，雞舍的面積最大？最大面積是多少？
【答案】(1)4 (2)4 (3)當時，花園的面積最大，最大面積是
【分析】本題考查了配方法的應用：
（1）多項式配方后，根據完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多項式配方后，根據完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根據題意列出關系式，配方后根據完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可；
熟練掌握配方法是解題的關鍵．
解：（1），
∵，
∴，
∴的最小值是4．
（2），
∵，
∴，
∴，
∴的最大值是4．
（3）設，則，
由題意，得花園的面積是，
，
，
的最大值是50，此時，，符合題意，
則當時，花園的面積最大，最大面積是．
【變式1】（22-23九年級上·安徽蕪湖·期中）把方程化成的形式則點關于軸對稱的點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了配方法解一元二次方程及坐標與圖形，解題時要注意解題步驟．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項系數為，一次項的系數是的倍數．根據配方法的一般步驟：把常數項移到等號的右邊；把二次項的系數化為；等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方，再找出，的值即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴點關于軸對稱的點的坐標為，
故選：．
【變式2】（2024·湖北襄陽·模擬預測）如圖，平面直角坐標系中，已知點，，P 為y軸正半軸上一個動點，將線段 繞點P逆時針旋轉，點A的對應點為Q，則線段的最小值是

【答案】
【分析】過點 Q 作軸于點C，軸于點 D，證明，可得，，設，可得，表示出，利用配方法求出的最小值即可．
解∶如圖，過點 Q 作軸于點C，軸于點 D，

由旋轉得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
設，則，
∴，
∵，
∴，
∴當時，取最小值，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，坐標與圖形性質，勾股定理的應用，配方法的應用，作出合適的輔助線，設出點P坐標，能夠表示出點Q的坐標是解題的關鍵．
【題型4】根的判別式
【例4】（23-24八年級下·安徽滁州·期末）已知關于x的方程無實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）判斷方程的根的情況．
【答案】(1) (2)當時，有一個實數根；當且時，有兩個不相等的實數根．
【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，對于一般形式有：（1）當時，方程有兩個不相等的實數根；（2）當時，方程有兩個相等的實數根；（3）當時，方程沒有實數根．
（1）根據一元二次方程的判別式求解即可；
（2）根據題意分和且兩種情況討論，然后利用一元二次方程的判別式求解即可．
解：（1）∵關于x的方程無實數根
∴
解得；
（2）∵方程
∴當時，即時，方程為
∴方程為一元一次方程，有一個實數根，
當且時，方程為一元二次方程
∴
∵
∴
∴一元二次方程有兩個不相等的實數根；
綜上，當時，有一個實數根；當且時，有兩個不相等的實數根．
【變式1】（2024·河南·模擬預測）在平面直角坐標系中，若直線經過第一、三、四象限，則關于x的方程的實根的情況是（ ）
A．與a的取值有關 B．有兩個不相等的實數根
C．有兩個相等的實數根 D．沒有實數根
【答案】B
【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．也考查了一次函數的性質．利用一次函數的性質得到，再判斷，從而得到方程根的情況．
解：∵直線經過第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選：B．
【變式2】（2024·江蘇揚州·三模）若關于x的方程有實數根，則實數k的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：①，方程有兩個不相等的實數根，②，方程有兩個相等的實數根，③，方程沒有實數根．根據題意分兩種情況：當，即時，當，即時，分別求解即可得出答案．
解：當，即時，方程為，解得，有實數根，
當，即時，方程為一元二次方程，則，
解得：，
∴綜上所述，實數k的取值范圍是，
故答案為：．
【題型5】根與系數的關系與根的判別式綜合
【例5】（22-23九年級上·福建莆田·期中）關于的一元二次方程．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）若方程的兩根分為，且，求的值．
【答案】(1)見解析 (2)或
【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式判定即可得證；
（2）由根與系數的關系得，，將變形得，代入解方程即可得解．
解：（1）證明：∵關于的一元二次方程
∴．
∵，
∴方程總有兩個實數根；
（2）解：∵是關于的一元二次方程的兩個實數根，
∴，，
∵
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
∴的值為或．
【點撥】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式、根與系數的關系以及完全平方公式，熟練掌握一元二次方程根的判別式以及根與系數的關系是解題的關鍵．
【變式1】（23-24九年級上·甘肅定西·期末）已知關于的方程．
(1)取什么值時，方程有兩個實數根．
(2)如果方程有兩個實數根，，且，求的值．
【答案】(1) (2)
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數關系和根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數關系和根的判別式是解題的關鍵．
（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；
（2）根據一元二次方程根與系數關系和根的判別式，即可求解．
解：（1）方程有兩個實數根，
，
解得：；
（2）解：∵方程有兩個實數根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
【變式2】（2023·北京·模擬預測）已知關于x的一元二次方程．
(1)試說明不論實數m取何值，方程總有實數根；
(2)如果當時，α、β為方程的兩個根，求的值．
【答案】(1)見詳解 (2)
【分析】（1）計算其判別式，判斷出其符號即可；
（2）當時，其方程為，利用方程根的定義可求得，，代入求值即可．
解：（1），
，
不論實數m取何值，方程總有實數根；
（2）當時，其方程為，
α、β為方程的兩個根，
，，
．
【點撥】本題考查了根的判別式、根與系數的關系，掌握方程根的情況和根的判別式的關系是解題的關鍵．
【題型6】實際問題與一元二次方程
【例6】（22-23九年級上·河南鄭州·期末）一款服裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了擴大銷售量，增加利潤，經市場調查發現，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）設每件服裝降價x元，則每天銷售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代數式表示）；
（2）在讓利于顧客的情況下，每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元？
（3）商家能達到平均每天盈利1800元嗎？請說明你的理由．
【答案】(1)， (2)每件服裝降價20元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能盈利1200元；
(3)商家不能達到平均每天盈利1800元，理由見解析
【分析】（1）根據每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件列出代數式即可解答；
（2）設每件服裝降價x元，則每件的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為件，利用商家每天銷售該款服裝獲得的利潤=每件的銷售利潤×日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合需要讓利于顧客即可解答；
（3）設每件服裝降價y元，則每件的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為件，利用商家每天銷售該款服裝獲得的利潤=每件的銷售利潤×日銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，再根據根與系數的關系即可解答．
解：（1）設每件衣服降價x元，則每天銷售量增加件，每件商品盈利元．
故答案為：，．
（2）解：設每件服裝降價x元，則每件的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為件，
依題意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要讓利于顧客，
∴．
答：每件服裝降價20元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能盈利1200元．
（3）解：商家不能達到平均每天盈利1800元，理由如下：
設每件服裝降價y元，則每件的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為件，
依題意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程無解，即不可能每天盈利1800元．
【變式】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）“愛在煙臺，難以離開”，醉美所城里在2024年“五一”小長假期間，接待游客達2萬人次，預計在2026年“五一”小長假期間，接待游客萬人次，一家特色小面店希望在“五一”小長假期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒以往經驗，若每碗賣10元，平均每天將銷售60碗；若價格每提高1元，則平均每天少銷售4碗．
（1）求出2024至2026年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；
（2）為了更好地維護煙臺形象，物價局規定每碗售價不得超過15元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天利潤360元？
【答案】(1)年平均增長率為 (2)當每碗售價定為15元時，店家才能實現每天利潤360元
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用：
（1）設年平均增長率為，則2025年接待游客萬人，2026年接待游客萬人，據此列出方程求解即可；
（2）設每碗售價定為元時，店家才能實現每天利潤600元，根據利潤（售價成本價）銷售量列出方程求解即可．
解：（1）設年平均增長率為，
依題意有．
解得，（舍去）．
答：年平均增長率為；
（2）解：設每碗售價定為元時，店家才能實現每天利潤600元，
依題意得：，
解得，，
每碗售價不得超過15元，
當每碗售價定為15元時，店家才能實現每天利潤360元．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·廣東廣州·中考真題）關于的方程有兩個不等的實數根．
（1）求的取值范圍；
（2）化簡：．
【答案】(1) (2)
【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，分式的混合運算，掌握相應的基礎知識是解本題的關鍵；
（1）根據一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；
（2）根據（1）的結論化簡絕對值，再計算分式的乘除混合運算即可．
解：（1） ∵關于的方程有兩個不等的實數根．
∴，
解得：；
∵，
∴
；
【例2】（2019·湖北鄂州·中考真題）已知關于的方程有實數根．
（1）求的取值范圍；
（2）設方程的兩根分別是、，且，試求k的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)根據一元二次方程有兩個不相等的實數根得到，求出的取值范圍即可；
(2)根據根與系數的關系得出方程解答即可．
解：(1) ∵原方程有實數根，
∴，∴，
∴.
(2)∵，是方程的兩根，根據一元二次方程根與系數的關系，得：
，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解之，得：，．
經檢驗，都符合原分式方程的根，
∵，
∴．
【點撥】本題主要考查了根的判別式以及根與系數關系的知識，解答本題的關鍵是根據根的判別式的意義求出k的取值范圍，此題難度不大．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）關于的一元二次方程如果有兩個不相等的實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的一元二次方程為“倍根方程”，
（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序號______；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
（3）若是“倍根方程”，求代數式的值．
【答案】(1)① (2)的值為18 (3)代數式的值為或
【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系，涉及新定義，解題的關鍵是讀懂“倍根方程”的定義和分類討論思想的應用．
（1）求出的根為，，可知是“倍根方程”；求出的根為，，知不是“倍根方程”；
（2）設的兩個根為和，可得，即可解得的值為18；
（3）求出，，可得或，即或，分別代入求值即可．
解：（1）的根為，，
，
是“倍根方程”；
的根為，，
，
不是“倍根方程”；
故答案為：①；
（2）由一元二次方程是“倍根方程”，設的兩個根為和，
，
解得；
經檢驗，符合題意，
的值為18；
（3）由得，，
是“倍根方程”，
或，即或，
當時，；
當時，；
代數式的值為或．
【例2】（22-23九年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，一次函數的圖象交軸于點，交軸于點，點在線段上（不與點、重合），過點分別作和的垂線，垂足分別為、．
（1）點A坐標為________，線段__________．
（2）當矩形的面積為時，求P點的坐標．
（3）平面直角坐標系內，是否存在點M，使得點A，P，O，M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點M的坐標．
【答案】(1)；4 (2)點的坐標為，或，．(3)點的坐標為，即．
【分析】（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征即可得出點、的坐標，再根據兩點間的距離公式即可求出線段的長度；
（2）由點在線段上可設出點的坐標，再利用矩形的面積公式找出與之間的函數關系式，代入求出值，將其代入點坐標中即可得出結論；
（3）假設存在，根據菱形的性質可得出為等腰三角形，結合的度數即可得出為等邊三角形，進而可得出點的坐標，再根據菱形的性質分別以、、為對角線找出點的坐標，此題得解．
解：（1）當時，，
；
當時，，
，．
．
故答案為：；4．
（2）設點的坐標為，，
．
當時，有，
解得：，．
點的坐標為，或，．
（3）假設存在．
以點，，，為頂點的四邊形為菱形，
為等腰三角形，
，，，
，
為等邊三角形．
點為線段的中點，
點．
以點，，，為頂點的四邊形為菱形分三種情況（如圖所示）
以線段為對角線時，
，，，
點的坐標為，即；
以線段為對角線時，
，，，
點的坐標為，即；
以線段為對角線時，
，，，
點的坐標為，即．
【點撥】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、兩點間的距離公式、矩形的面積、二次函數的性質以及菱形的性質，解題的關鍵是：（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征找出點、的坐標；（2）利用矩形的面積公式找出與之間的函數關系式；（3）分以、和為對角線三種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據一次函數圖象上點的坐標特征找出點的坐標是關鍵．專題2.15 一元二次方程（全章知識梳理與考點分類講解）
第一部分【知識點歸納】
【知識點1】一般形式：（其中是未知數，是已知數，）.
【知識點2】一元二次方程的解法：
（1）一元二次方程的解法： 直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.
（2）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般不用配方法.
【知識點3】一元二次方程的根的判別式：
（1）當時方程有兩個不相等的實數根；
（2） 當時方程有兩個相等的實數根；
（3）當時方程沒有實數根；
（4）當時方程有兩個實數根
【知識點4】一元二次方程根與系數的關系
若是一元二次方程的兩個根，則, .
【知識點5】實際問題與一元二次方程
（1）列一元二次方程解應用題步驟：
① 審：審的目的找等量關系，注意找關鍵詞；
② 設：有直接設法與間接設法，注意要帶單位；
③ 列：由等量關系列出方程，注意方程兩邊單位要一致；
④ 解：用適當的方法解一元二次方程；
⑤ 檢：一是檢驗是否正確，二是結合實際是否有意義；
⑥ 答：寫出實際問題的答案。
常見實際問題的數量關系
① 傳播問題：傳染源+第一輪傳染+第二輪傳染=兩輪傳染總數；
② 增長（降低）率問題：平均增長率公式；（x是平均增長率，n增長次數）
③ 幾何問題：涉及三角形全等，勾股定理，各種規則圖形面積公式，動點問題等等；
④ 數字問題：主要與數字與位數的關系；比如：兩位數=十位數字10+個位數字；
⑤ 商品銷售問題：利潤=售價-進價；售價=進價（1+利潤率）；總利潤=總售價-總成本=單件利潤總銷量等等
第二部分【題型展示與方法點撥】
【題型1】一元二次方程及相關概念
【例1】（23-24九年級上·全國·單元測試）已知關于的方程．
（1）當為何值時，此方程是一元一次方程？
（2）當為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項．
【變式1】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知m是一元二次方程的一個根，則的值是 ．
【變式2】（23-24八年級下·重慶·期末）根據下列表格的對應值：判斷方程一個解的取值范圍是（　　）
x
A． B． C． D．
【題型2】選擇合適（指定）的方法解一元二次方程
【例2】（2024九年級上·全國·專題練習）用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接開平方法) (2) (配方法)
(3) (公式法) (4) (因式分解法)
【變式1】（22-23九年級上·廣東佛山·階段練習）請用指定方法解下列方程：
(1) （用配方法） (2)（用公式法）
【變式2】（23-24九年級上·全國·課后作業）利用指定方法解一元二次方程：
(1)（公式法）； (2)（因式分解法）．
【題型3】配方法的應用
【例3】（23-24八年級下·廣西百色·期中）先閱讀下列問題，再按要求解答問題：
例題：求代數式的最小值．
解：
∵，∴，
∴的最小值是9．
（1）求代數式的最小值；
（2）求代數式的最大值；
（3）小紅的爸爸要在一塊一邊靠墻（墻長）的空地上建一個長方形雞舍，雞舍一邊靠墻，另三邊用總長為的柵欄圍成．如圖，設；請問：當x取何值時，雞舍的面積最大？最大面積是多少？
【變式1】（22-23九年級上·安徽蕪湖·期中）把方程化成的形式則點關于軸對稱的點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【變式2】（2024·湖北襄陽·模擬預測）如圖，平面直角坐標系中，已知點，，P 為y軸正半軸上一個動點，將線段 繞點P逆時針旋轉，點A的對應點為Q，則線段的最小值是

【題型4】根的判別式
【例4】（23-24八年級下·安徽滁州·期末）已知關于x的方程無實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）判斷方程的根的情況．
【變式1】（2024·河南·模擬預測）在平面直角坐標系中，若直線經過第一、三、四象限，則關于x的方程的實根的情況是（ ）
A．與a的取值有關 B．有兩個不相等的實數根
C．有兩個相等的實數根 D．沒有實數根
【變式2】（2024·江蘇揚州·三模）若關于x的方程有實數根，則實數k的取值范圍是 ．
【題型5】根與系數的關系與根的判別式綜合
【例5】（22-23九年級上·福建莆田·期中）關于的一元二次方程．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）若方程的兩根分為，且，求的值．
【變式1】（23-24九年級上·甘肅定西·期末）已知關于的方程．
(1)取什么值時，方程有兩個實數根．
(2)如果方程有兩個實數根，，且，求的值．
【變式2】（2023·北京·模擬預測）已知關于x的一元二次方程．
(1)試說明不論實數m取何值，方程總有實數根；
(2)如果當時，α、β為方程的兩個根，求的值．
【題型6】實際問題與一元二次方程
【例6】（22-23九年級上·河南鄭州·期末）一款服裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了擴大銷售量，增加利潤，經市場調查發現，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）設每件服裝降價x元，則每天銷售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代數式表示）；
（2）在讓利于顧客的情況下，每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元？
（3）商家能達到平均每天盈利1800元嗎？請說明你的理由．
【變式】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）“愛在煙臺，難以離開”，醉美所城里在2024年“五一”小長假期間，接待游客達2萬人次，預計在2026年“五一”小長假期間，接待游客萬人次，一家特色小面店希望在“五一”小長假期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒以往經驗，若每碗賣10元，平均每天將銷售60碗；若價格每提高1元，則平均每天少銷售4碗．
（1）求出2024至2026年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；
（2）為了更好地維護煙臺形象，物價局規定每碗售價不得超過15元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天利潤360元？
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·廣東廣州·中考真題）關于的方程有兩個不等的實數根．
（1）求的取值范圍；
（2）化簡：．
【例2】（2019·湖北鄂州·中考真題）已知關于的方程有實數根．
（1）求的取值范圍；
（2）設方程的兩根分別是、，且，試求k的值．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）關于的一元二次方程如果有兩個不相等的實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的一元二次方程為“倍根方程”，
（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序號______；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
（3）若是“倍根方程”，求代數式的值．
【例2】（22-23九年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，一次函數的圖象交軸于點，交軸于點，點在線段上（不與點、重合），過點分別作和的垂線，垂足分別為、．
（1）點A坐標為________，線段__________．
（2）當矩形的面積為時，求P點的坐標．
（3）平面直角坐標系內，是否存在點M，使得點A，P，O，M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點M的坐標．

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