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專題1.10 特殊平行四邊形（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）
第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】
【知識(shí)點(diǎn)一】菱形
1、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2、菱形的性質(zhì)
（1）邊：四條邊都相等.
即；
對(duì)邊平行.
即，.
（2）角：對(duì)角相等.
即，
（3）對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直且平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
即
平分，平分
（4）對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸.
3、菱形的判定
（1）方法一（定義法）：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
（2）方法二：四條邊都相等的四邊形是菱形.
（3）方法三：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形菱形.
4、菱形的面積
菱形的面積=底×高=兩對(duì)角線乘積的一半.
即
【知識(shí)點(diǎn)二】矩形
1、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2、矩形的性質(zhì)
（1）邊：對(duì)邊平行且相等.
即,
（2）角：四個(gè)角都是直角.
即
（3）對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相平分，
即
對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸.
3、矩形的判定
（1）方法一（定義法）：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.
（2）方法二：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；
（3）方法三：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.
【知識(shí)點(diǎn)三】正方形
1、正方形的定義
有一組鄰邊相等,并且有一個(gè)角是直角的的平行四邊形叫做正方形.
2、正方形的性質(zhì)
（1）邊：四條邊都相等.
即；
對(duì)邊平行.
即，.
（2）角：四個(gè)角都是直角.
即
（3）對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線都平分一組對(duì)角（對(duì)角線與邊的夾角為45°）.
即
（4）對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸.
3、正方形的判定
（1）方法一（定義法）：有一個(gè)角是直角，一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形.
（2）方法二：一組鄰邊相等的矩形是正方形.
（3）方法三：一個(gè)角是直角的菱形是正方形.
（4）方法四：對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形.
（5）方法五：對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形.
第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】
【題型1】利用菱形的性質(zhì)與判定求值或證明
【例1】（23-24八年級(jí)下·四川內(nèi)江·期中）問(wèn)題：如圖，在中，，，，的平分線分別與直線交于點(diǎn)E、F，求的長(zhǎng)．
探究：
(1) ．
(2)把“問(wèn)題”中的條件“”去掉，其余條件不變．
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)， ；
②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)， ；
(3)把“問(wèn)題”中的條件“”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C、D、E、F相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求的值．
【變式1】（2024八年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）如圖，剪兩張對(duì)邊平行且寬度相同的紙條隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）
A．， B．
C．， D．
【變式2】（23-24八年級(jí)下·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）在矩形中，，，P是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作，交邊于點(diǎn)G，則的最小值為 ．
【題型2】利用矩形的性質(zhì)與判定求值或證明
【例2】（23-24八年級(jí)下·河南信陽(yáng)·期末）如圖，的對(duì)角線 相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，于點(diǎn) G，于點(diǎn) F，連接．
(1)求證∶四邊形 是矩形；
(2)若 ，求的長(zhǎng)．
【變式1】（22-23八年級(jí)下·河南開(kāi)封·階段練習(xí)）如圖，在的兩邊上分別截取使，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，再連接，若，則四邊形的面積是（ ）

A．240 B．130 C．120 D．65
【變式2】（23-24八年級(jí)下·廣西南寧·期末）如圖，矩形內(nèi)有一點(diǎn)P，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)是 ．
【題型3】利用正方形的性質(zhì)與判定求值或證明
【例3】（23-24八年級(jí)下·福建南平·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，，軸，交x軸于點(diǎn)C．
(1)求四邊形的面積；
(2)直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)P在線段上．
①若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②設(shè)，直接寫(xiě)出 m的最小值．
【變式1】如圖，是正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線交對(duì)角線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，則的度數(shù)是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．不確定
【變式2】（23-24九年級(jí)上·廣東揭陽(yáng)·期中）如圖，在矩形中，交于點(diǎn)O，且，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，且、分別為、的中點(diǎn)，則四邊形的面積是 ．
【題型4】中點(diǎn)四邊形
【例4】（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·期中）我們把依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做“中點(diǎn)四邊形”．如圖，在四邊形中，E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到“中點(diǎn)四邊形”．
(1)如圖，“中點(diǎn)四邊形”的形狀是 ；
(2)求證：矩形的“中點(diǎn)四邊形”是菱形．（畫(huà)圖，寫(xiě)出已知、求證和證明）
【變式1】（23-24八年級(jí)下·山西朔州·期末）如圖，四邊形的對(duì)角線于點(diǎn)，點(diǎn)，，，分別為邊，，和的中點(diǎn)，順次連接，，和得到四邊形．若，則四邊形的面積等于（ ）
A．30 B．35 C．40 D．60
【變式2】（23-24八年級(jí)下·廣東河源·期中）如圖，四邊形的兩條對(duì)角線、互相垂直，將四邊形各邊中點(diǎn)依次相連，得到四邊形，若四邊形的面積為15，則四邊形的面積為 ．
【題型5】矩形、菱形、正方形性質(zhì)與判定綜合
【例5】（23-24八年級(jí)下·河南周口·期末）如圖①，在正方形和正方形中，點(diǎn)，，在同一條直線上，是線段的中點(diǎn)，連接，．

(1)探究與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖②，將原問(wèn)題中的正方形和正方形換成菱形和菱形且．探究與的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想并加以證明
(3)如圖③，將圖②中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的邊恰好與菱形的邊在同一條直線上，問(wèn)題（2）中的其他條件不變．探究與的位置關(guān)系？直接寫(xiě)出你的猜想不需要證明．
【變式1】（23-24八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在矩形中，，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)、分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、．若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【變式2】（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且，以為邊構(gòu)造菱形，將菱形與正方形組成的圖形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，，則的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
【例2】（2021·青海·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，M在上，且，N是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級(jí)下·青海果洛·期末）在正方形中，，且點(diǎn)為上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，如圖1所示，連接．

(1)求證：；
(2)如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
①求證：；
②若，求的長(zhǎng)度．
【例2】（23-24八年級(jí)下·湖南永州·期末）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下：
(1)【課本再現(xiàn)】
第一步：如圖1，對(duì)折矩形紙片，使與重合，折痕為，把紙片展平；
第二步：在上選一點(diǎn)P，沿折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，連接，根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，___________；
(2)【類比應(yīng)用】
如圖2，現(xiàn)將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接，當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，求的度數(shù)；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形紙片的邊長(zhǎng)為，改變點(diǎn)P在上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），沿折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．專題1.10 特殊平行四邊形（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）
第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】
【知識(shí)點(diǎn)一】菱形
1、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2、菱形的性質(zhì)
（1）邊：四條邊都相等.
即；
對(duì)邊平行.
即，.
（2）角：對(duì)角相等.
即，
（3）對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直且平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
即
平分，平分
（4）對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸.
3、菱形的判定
（1）方法一（定義法）：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
（2）方法二：四條邊都相等的四邊形是菱形.
（3）方法三：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形菱形.
4、菱形的面積
菱形的面積=底×高=兩對(duì)角線乘積的一半.
即
【知識(shí)點(diǎn)二】矩形
1、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2、矩形的性質(zhì)
（1）邊：對(duì)邊平行且相等.
即,
（2）角：四個(gè)角都是直角.
即
（3）對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相平分，
即
對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸.
3、矩形的判定
（1）方法一（定義法）：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.
（2）方法二：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；
（3）方法三：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.
【知識(shí)點(diǎn)三】正方形
1、正方形的定義
有一組鄰邊相等,并且有一個(gè)角是直角的的平行四邊形叫做正方形.
2、正方形的性質(zhì)
（1）邊：四條邊都相等.
即；
對(duì)邊平行.
即，.
（2）角：四個(gè)角都是直角.
即
（3）對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線都平分一組對(duì)角（對(duì)角線與邊的夾角為45°）.
即
（4）對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸.
3、正方形的判定
（1）方法一（定義法）：有一個(gè)角是直角，一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形.
（2）方法二：一組鄰邊相等的矩形是正方形.
（3）方法三：一個(gè)角是直角的菱形是正方形.
（4）方法四：對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形.
（5）方法五：對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形.
第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】
【題型1】利用菱形的性質(zhì)與判定求值或證明
【例1】（23-24八年級(jí)下·四川內(nèi)江·期中）問(wèn)題：如圖，在中，，，，的平分線分別與直線交于點(diǎn)E、F，求的長(zhǎng)．
探究：
(1) ．
(2)把“問(wèn)題”中的條件“”去掉，其余條件不變．
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)， ；
②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)， ；
(3)把“問(wèn)題”中的條件“”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C、D、E、F相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求的值．
【答案】(1)2； (2)①10 ②5； (3)；；
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再由等角對(duì)等邊得出，，結(jié)合圖形求解即可；
（2）①利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義先分別求出，，即可完成求解；
②證明出即可完成求解；
（3）本小題由于E、F點(diǎn)的位置不確定，故應(yīng)先分情況討論，再根據(jù)每種情況，利用 ，以及點(diǎn) C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等建立相等關(guān)系求解即可．
（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
．
平分，
．
．
．
同理可得：．
，
，
故答案為：2．
（2）①如圖1，四邊形是平行四邊形，
∴，
．
平分，
．
．
．
同理可得：．
點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，
②如圖2，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，
同理可證，
∴是菱形，
，
點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，
．
（3）情況1，如圖3，
可得，
．
情況2，如圖4，
同理可得，，
又，
．
情況3，如圖5，
由上，同理可以得到，
又，
．
綜上：的值可以是，，．
【點(diǎn)撥】本題屬于探究型應(yīng)用題，綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、菱形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確畫(huà)出圖形，建立相等關(guān)系求解等，本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的分析能力，本題涉及到的思想方法有分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想等．
【變式1】（2024八年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）如圖，剪兩張對(duì)邊平行且寬度相同的紙條隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）
A．， B．
C．， D．
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)．注意：“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，而非“鄰邊相等的四邊形是菱形”．首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的等積轉(zhuǎn)換可得鄰邊相等，則四邊形為菱形．所以根據(jù)菱形的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
解四邊形是用兩張等寬的紙條交叉重疊地放在一起而組成的圖形，
∴，，
四邊形是平行四邊形（對(duì)邊相互平行的四邊形是平行四邊形）；
過(guò)點(diǎn)分別作，邊上的高為，．則
（兩紙條相同，紙條寬度相同）；
平行四邊形中，，即，
，即．故B正確；
平行四邊形為菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
，（菱形的對(duì)角相等），故A正確；
，（平行四邊形的對(duì)邊相等），故C正確；
如果四邊形是矩形時(shí)，該等式成立．故D不一定正確．
故選：D．
【變式2】（23-24八年級(jí)下·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）在矩形中，，，P是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作，交邊于點(diǎn)G，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及線段最短問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握求兩條線段和最短的方法，先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，再由中位線的性質(zhì)可得，，再證明四邊形是平行四邊形，可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，故當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，值的最小，即值的最小，并求出最小值即可，
解：矩形中，，
，，，
E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
中，E是線段的中點(diǎn)，
，
當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，值的最小，即值的最小，
，
的最小值為，
故答案為：
【題型2】利用矩形的性質(zhì)與判定求值或證明
【例2】（23-24八年級(jí)下·河南信陽(yáng)·期末）如圖，的對(duì)角線 相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，于點(diǎn) G，于點(diǎn) F，連接．
(1)求證∶四邊形 是矩形；
(2)若 ，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析； (2)
【分析】（1）先得出，又，則四邊形為平行四邊形，再由，即可得出結(jié)論；
（2）由矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理得，，則，再由勾股定理求出，即可解決問(wèn)題．
（1）證明∶四邊形是平行四邊形，
是對(duì)角線的中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
，
，
四邊形是矩形；
（2）解∶四邊形是平行四邊形，
，
是的中點(diǎn)，
，
由（1）知，四邊形是矩形，
，
在中，
，
四邊形是矩形，
，
是的中點(diǎn)，O 是的中點(diǎn)，
，
，
，
解得，
．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（22-23八年級(jí)下·河南開(kāi)封·階段練習(xí)）如圖，在的兩邊上分別截取使，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，再連接，若，則四邊形的面積是（ ）

A．240 B．130 C．120 D．65
【答案】C
【分析】根據(jù)作圖可得四邊形是菱形，勾股定理，求得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)菱形的面積公式即可求解.
解：根據(jù)作圖可得，
四邊形是菱形，
，，
如圖所示，

設(shè)交于點(diǎn)D，
在中，，
，
四邊形的面積為：.
故選：C.
【點(diǎn)撥】此題考查了菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.
【變式2】（23-24八年級(jí)下·廣西南寧·期末）如圖，矩形內(nèi)有一點(diǎn)P，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)是 ．
【答案】/
【分析】此題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，延長(zhǎng)交于F，根據(jù)已知條件得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，進(jìn)一步推出，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，如圖，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案為：．
【題型3】利用正方形的性質(zhì)與判定求值或證明
【例3】（23-24八年級(jí)下·福建南平·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，，軸，交x軸于點(diǎn)C．
(1)求四邊形的面積；
(2)直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)P在線段上．
①若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②設(shè)，直接寫(xiě)出 m的最小值．
【答案】(1)24； (2)①；②6
【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，利用坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得，根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可；
（2）①設(shè)，根據(jù)結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)求得，根據(jù)，代入數(shù)據(jù)求解即可；
②連接，交直線l于點(diǎn)F，證明和，求得，推出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，m最小．據(jù)此求解即可．
（1）解：∵軸，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
又，
∴，且，
∴；
（2）解：①設(shè)，
∵，
∴，
∵在直線中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵軸，且，
∴，
∴，
∵，，
∴且，
∴，
即，
即，
解得：，
∴；
②m的最小值為6，
連接，交直線l于點(diǎn)F，
∵軸，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，可得，
即，得直線l垂直平分，
∴點(diǎn)A，C關(guān)于直線l對(duì)稱，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，m最小．如圖，
∵軸，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，，
∴四邊形是正方形，
∴，，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1】如圖，是正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線交對(duì)角線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，則的度數(shù)是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．不確定
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為．證明，然后得到，易得答案.
解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為．
∵四邊形是正方形，
∴平分，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故選A．
【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)以及矩形的判定．解題的關(guān)鍵是會(huì)作輔助線，證明兩個(gè)三角形全等.
【變式2】（23-24九年級(jí)上·廣東揭陽(yáng)·期中）如圖，在矩形中，交于點(diǎn)O，且，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，且、分別為、的中點(diǎn)，則四邊形的面積是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理可得，，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，得，從而知四邊形為正方形由此即可求解．
解：四邊形為矩形，，，
，
，
、分別為、的中點(diǎn)，
，，
，
四邊形為平行四邊形，
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
，，
，
四邊形為正方形，
，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，中位線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，正方形的判定與性質(zhì)，正方形面積公式等知識(shí)，需要較強(qiáng)的推理能力，正確判斷出四邊形為正方形是解題的關(guān)鍵．
【題型4】中點(diǎn)四邊形
【例4】（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·期中）我們把依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做“中點(diǎn)四邊形”．如圖，在四邊形中，E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到“中點(diǎn)四邊形”．
(1)如圖，“中點(diǎn)四邊形”的形狀是 ；
(2)求證：矩形的“中點(diǎn)四邊形”是菱形．（畫(huà)圖，寫(xiě)出已知、求證和證明）
【答案】(1)平行四邊形 (2)見(jiàn)解析
【分析】本題考查三角形的中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，得出是的中位線，即，，同理可得，，，即可證明；
（2）連接、，根據(jù)三角形中位線可得四邊形是平行四邊形，再利用矩形的性質(zhì)得出，即可證明．
（1）解：連接，如圖，
∵E、H分別是邊、的中點(diǎn)，
∴是的中位線
∴，，
同理，，，
∴, ,
∴“中點(diǎn)四邊形”的形狀是平行四邊形．
故答案為：平行四邊形．
（2）如圖，
已知：矩形中，E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)
求證：四邊形是菱形
證明：連接、．
∵E、F分別是邊、的中點(diǎn)
∴是的中位線
∴，
同理，可得，，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形
∵四邊形是矩形
∴
∴
∴四邊形是菱形．
【變式1】（23-24八年級(jí)下·山西朔州·期末）如圖，四邊形的對(duì)角線于點(diǎn)，點(diǎn)，，，分別為邊，，和的中點(diǎn)，順次連接，，和得到四邊形．若，則四邊形的面積等于（ ）
A．30 B．35 C．40 D．60
【答案】A
【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理、矩形的判定定理，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的判定定理，得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定定理，得出平行四邊形是矩形，再根據(jù)矩形的面積公式，即可得出答案．
解：點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
，
，
同理，可得：，，
，，
點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
同理，可得：，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
平行四邊形是矩形，
矩形的面積為：，
即四邊形的面積為30．
故選：A．
【變式2】（23-24八年級(jí)下·廣東河源·期中）如圖，四邊形的兩條對(duì)角線、互相垂直，將四邊形各邊中點(diǎn)依次相連，得到四邊形，若四邊形的面積為15，則四邊形的面積為 ．
【答案】30
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理證明四邊形是矩形，從而根據(jù)矩形的面積和三角形的每件公式進(jìn)行計(jì)算．此題主要考查中點(diǎn)四邊形和三角形的面積，注意三角形中位線定理這一知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，此題難易程度適中，是一道典型的題目．
解：，，，是四邊形的中點(diǎn)四邊形，
四邊形的對(duì)角線、互相垂直，
四邊形為矩形，
設(shè)，，
是的中位線，
，
同理可得，
四邊形的面積為．
，
四邊形的面積，
故答案為：30．
【題型5】矩形、菱形、正方形性質(zhì)與判定綜合
【例5】（23-24八年級(jí)下·河南周口·期末）如圖①，在正方形和正方形中，點(diǎn)，，在同一條直線上，是線段的中點(diǎn)，連接，．

(1)探究與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖②，將原問(wèn)題中的正方形和正方形換成菱形和菱形且．探究與的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想并加以證明
(3)如圖③，將圖②中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的邊恰好與菱形的邊在同一條直線上，問(wèn)題（2）中的其他條件不變．探究與的位置關(guān)系？直接寫(xiě)出你的猜想不需要證明．
【答案】(1)與的位置關(guān)系是．?dāng)?shù)量關(guān)系是 (2)與的位置關(guān)系是，證明見(jiàn)解析 (3)與的位置關(guān)系是，證明見(jiàn)解析
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證明得到，，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證明得到，，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，．證明．得到，．由菱形的性質(zhì)結(jié)合已知可得，，，再證明得到，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．
（1）解：與的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是．
如圖①，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

是線段的中點(diǎn)，
．
四邊形、四邊形是正方形，
∴，，，
由題意可知，
．
又，
，
，．
，
，
是等腰直角三角形
，
；
（2）解：猜想：與的位置關(guān)系是．
證明：如圖②，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
是線段的中點(diǎn)，
．
四邊形、四邊形是菱形，
∴，，，
．
又，
．
，．
．
．
．
又，
．
（3）猜想：與的位置關(guān)系是．
證明：如圖③，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，

連接，，．
是線段的中點(diǎn)，
．
又，
．
，．
四邊形、四邊形是菱形，
∴，，，，
，．
又，
∴，
．
點(diǎn)，，在一條直線上，，
．
．
，
．
又，
．
【變式1】（23-24八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在矩形中，，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)、分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、．若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)P分別作，延長(zhǎng)交于H，先證明四邊形是矩形，再根據(jù)角平分線定理得出，即可得到四邊形是正方形，即可求解．
解：過(guò)點(diǎn)P分別作，延長(zhǎng)交于H，
∵四邊形是矩形
∴
∴
∴
∴四邊形是矩形
∵平分，，
∴
∴四邊形是正方形
∵
∴，即
∵，
∴四邊形是矩形
∴，即
∵
∴與重合，與重合
∵四邊形是正方形
∴
∴
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，角平分線定理，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵．
【變式2】（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且，以為邊構(gòu)造菱形，將菱形與正方形組成的圖形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
【答案】
【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理，分別求出的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可得出答案．
解：由題意得：四邊形為正方形，且，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵將菱形與正方形組成的圖形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，
∴，，，，…，
∴不難發(fā)現(xiàn)從第五次旋轉(zhuǎn)開(kāi)始，點(diǎn)的坐標(biāo)與前面的重復(fù)了，
∵，
∴第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)與重合，為，
故答案為：．
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，，則的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明得到，進(jìn)而得到，則由直角三角形的性質(zhì)可得，如圖所示，在延長(zhǎng)線上截取，連接，易證明，則，可得當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長(zhǎng)的一半，求出，在中，由勾股定理得，責(zé)任的最小值為5．
解：∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴；
如圖所示，在延長(zhǎng)線上截取，連接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)H、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值即為的長(zhǎng)的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值為5，
故選：B．
【例2】（2021·青海·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，M在上，且，N是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
【答案】10
【分析】本題考查了軸對(duì)稱的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出圖形得到的最小值即為線段的長(zhǎng)．連結(jié)，，，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到，的最小值即的最小值，即為線段的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理，即可求得的長(zhǎng)，即得答案．
解：連結(jié)，，，
正方形是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)D是以直線為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，
直線即為的垂直平分線，
，
，
當(dāng)點(diǎn)N在與的交點(diǎn)P處，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，
正方形的邊長(zhǎng)為8，且，
，，，
，
的最小值為10．
故答案為：10．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年級(jí)下·青海果洛·期末）在正方形中，，且點(diǎn)為上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，如圖1所示，連接．

(1)求證：；
(2)如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
①求證：；
②若，求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)①見(jiàn)解析；②
【分析】（1）求出，利用“”證明即可；
（2）①由全等三角形的性質(zhì)可知，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)可證，求出，可證結(jié)論成立；②根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，然后利用勾股定理構(gòu)建方程求出，進(jìn)而可得的長(zhǎng)．
（1）解：∵四邊形為正方形，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①，
，
又∵四邊形為正方形，
∴，
，
，
，
，
又，
∴，
，
，
；
②，
，
又，，
∴，
∴，，
即，
∴，
．
【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．
【例2】（23-24八年級(jí)下·湖南永州·期末）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下：
(1)【課本再現(xiàn)】
第一步：如圖1，對(duì)折矩形紙片，使與重合，折痕為，把紙片展平；
第二步：在上選一點(diǎn)P，沿折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，連接，根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，___________；
(2)【類比應(yīng)用】
如圖2，現(xiàn)將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接，當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，求的度數(shù)；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形紙片的邊長(zhǎng)為，改變點(diǎn)P在上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），沿折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．
【答案】(1)30 (2) (3)或
【分析】（）由折疊的性質(zhì)得，，，，從而得到是等邊三角形即可求解；
（）同（1）可證，再利用折疊的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明，推出，可得；
（）分點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方、上方兩種情況，利用勾股定理求解即可．
（1）解：如圖，連接，
∵對(duì)折矩形紙片，使與重合，折痕為，
∴垂直平分,
∴，，
∵沿折疊紙片，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)處，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：如圖，
同（1）可證，
∴，
在正方形中，，，
由折疊知，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（3）解：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，如圖，
∵正方形中，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
設(shè)，由折疊知，
∴，，
在中，，
∴，
解得，即；
當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，如圖，
則，
∴，
∴，
設(shè)，
則，，
在中，，
∴，
解得，即；
綜上可知，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)撥】本題考查正方形折疊問(wèn)題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，掌握折疊前后對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．

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