資源簡介

第4章 圖形的相似（單元測試·培優卷）
一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，，若，，則等于（ ）
A． B．3 C． D．4
3．如圖，在直角三角形中，，，，，，若點到的距離是1，則與之間的距離是（ ）
A．2 B．1.4 C．3 D．2.4
4．如圖，在中，點D，E分別在邊，上，則不一定能判斷的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖，，直線與直線之間的距離為，直線與直線之間的距離為，且，點在直線上，點，在直線上，線段，分別交直線于點，，當平分銳角時，，則的面積為（　　）
A．9 B．18 C．36 D．72
6．如圖， ，，，則的值為（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，，射線和線段互相垂直，為線段上一點，點在射線上，且，作，并截取，連接并延長交射線于點，設，，則(　　)
A． B． C． D．
8．如圖，D是等邊△ABC邊AB上的一點，且AD：DB＝2：3，現將△ABC折疊，使點C與D重合，折痕為EF，點E，F分別在AC和BC上，則CE：CF＝（　　）
A． B． C． D．
9．如圖，中，，，，P為邊上的一動點，以，為邊作平行四邊形，則線段長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在正方形中，，交于點O，平分交于點M，交于點E，過點M作交于點F，，則的長為（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）
11．若點C是線段的一個黃金分割點，，且，則 （結果保留根號）．
12．如圖，已知矩形中，，在上取一點，沿將向上折疊，使點落在上的點．若四邊形與矩形相似，則 ．
13．如圖，是的高，，點在邊上，點在邊上，，垂足為當時，則 ．
14．如圖，在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，將放大后得到．已知點，，則與的面積比是 ，點的坐標是 ．
15．如圖，已知為等腰三角形，且，延長至D，使得，連接，E是邊上的中點，連接，并延長交與點F，連接，則 ．

16．如圖，四邊形是平行四邊形，以點為圓心，任意長為半徑畫弧分別交和于點，，以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點；分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點，作直線交邊于點，連接，交于點，連接，若，，則 ．
17．如圖，在中，，，是的中點，過點作交的延長線于點，則線段的長度為 ．
18．如圖，正方形中，，點P為射線上任意一點（與點B、C不重合），連接，在的右側作正方形，連接．交射線于E．當長為1時，的長為 ．
三、解答題（本大題共6小題，共58分）
19．（8分）如圖，已知,與交于點，若 ，求和的長．
20．（8分）如圖，路燈（P點）距地面8米，小明在距路燈的底部（O點）20米的A點時，測得此時他的影長為5米．
（1）求小明的身高；
（2）小明沿所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？
21．（10分）如圖，四邊形中，，，點M在線段上，交的延長線于點E，．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，求的長．
22．（10分）在中，，，，現有動點從點出發，沿線段向點運動，動點從點出發，沿線段向點運動，連接．如果點的速度是，點的速度是，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為．
（1）求出的取值范圍；
（2）當時，，兩點之間的距離是多少？
（3）當為多少時，以點，，為頂點的三角形與相似？
23．（10分）如圖，為正方形對角線上的一點，連接并延長交于點，過作分別交，于，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，點與點關于直線對稱，連接并延長交直線于點，連接．
①設的度數為，求的度數：
②猜想與之間的數量關系，并證明．
24．（12分）【問題背景】（1）如圖1，，，．求證：；
【變式遷移】（2）如圖2，E為正方形ABCD外一點，，過點D作，垂足為F，連接CF．求的值；
【拓展創新】（3）如圖3，A是內一點，，，，，，直接寫出AB的長．
試卷第1頁，共3頁第4章 圖形的相似（單元測試·培優卷）
一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，，若，，則等于（ ）
A． B．3 C． D．4
3．如圖，在直角三角形中，，，，，，若點到的距離是1，則與之間的距離是（ ）
A．2 B．1.4 C．3 D．2.4
4．如圖，在中，點D，E分別在邊，上，則不一定能判斷的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖，，直線與直線之間的距離為，直線與直線之間的距離為，且，點在直線上，點，在直線上，線段，分別交直線于點，，當平分銳角時，，則的面積為（　　）
A．9 B．18 C．36 D．72
6．如圖， ，，，則的值為（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，，射線和線段互相垂直，為線段上一點，點在射線上，且，作，并截取，連接并延長交射線于點，設，，則(　　)
A． B． C． D．
8．如圖，D是等邊△ABC邊AB上的一點，且AD：DB＝2：3，現將△ABC折疊，使點C與D重合，折痕為EF，點E，F分別在AC和BC上，則CE：CF＝（　　）
A． B． C． D．
9．如圖，中，，，，P為邊上的一動點，以，為邊作平行四邊形，則線段長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在正方形中，，交于點O，平分交于點M，交于點E，過點M作交于點F，，則的長為（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）
11．若點C是線段的一個黃金分割點，，且，則 （結果保留根號）．
12．如圖，已知矩形中，，在上取一點，沿將向上折疊，使點落在上的點．若四邊形與矩形相似，則 ．
13．如圖，是的高，，點在邊上，點在邊上，，垂足為當時，則 ．
14．如圖，在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，將放大后得到．已知點，，則與的面積比是 ，點的坐標是 ．
15．如圖，已知為等腰三角形，且，延長至D，使得，連接，E是邊上的中點，連接，并延長交與點F，連接，則 ．

16．如圖，四邊形是平行四邊形，以點為圓心，任意長為半徑畫弧分別交和于點，，以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點；分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點，作直線交邊于點，連接，交于點，連接，若，，則 ．
17．如圖，在中，，，是的中點，過點作交的延長線于點，則線段的長度為 ．
18．如圖，正方形中，，點P為射線上任意一點（與點B、C不重合），連接，在的右側作正方形，連接．交射線于E．當長為1時，的長為 ．
三、解答題（本大題共6小題，共58分）
19．（8分）如圖，已知,與交于點，若 ，求和的長．
20．（8分）如圖，路燈（P點）距地面8米，小明在距路燈的底部（O點）20米的A點時，測得此時他的影長為5米．
（1）求小明的身高；
（2）小明沿所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？
21．（10分）如圖，四邊形中，，，點M在線段上，交的延長線于點E，．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，求的長．
22．（10分）在中，，，，現有動點從點出發，沿線段向點運動，動點從點出發，沿線段向點運動，連接．如果點的速度是，點的速度是，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為．
（1）求出的取值范圍；
（2）當時，，兩點之間的距離是多少？
（3）當為多少時，以點，，為頂點的三角形與相似？
23．（10分）如圖，為正方形對角線上的一點，連接并延長交于點，過作分別交，于，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，點與點關于直線對稱，連接并延長交直線于點，連接．
①設的度數為，求的度數：
②猜想與之間的數量關系，并證明．
24．（12分）【問題背景】（1）如圖1，，，．求證：；
【變式遷移】（2）如圖2，E為正方形ABCD外一點，，過點D作，垂足為F，連接CF．求的值；
【拓展創新】（3）如圖3，A是內一點，，，，，，直接寫出AB的長．
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】本題考查了比例的性質，能靈活運用比例的性質進行變形是解此題的關鍵．根據題意求出，代入所求式子中，即可求出答案．
【詳解】解：∵，
∴
∴，
故選：D．
2．C
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理，得到的關系，再根據可得到答案，正確運用定理找準對應關系是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
3．B
【分析】由題意直接根據三角形的面積和點到直線的距離進行分析解答即可．
【詳解】解：∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，
∴點A到BC的距離，
∵DE∥BC，
∴DE與BC的距離是.
故選：B.
【點撥】本題主要考查點到直線的距離，解答此題的關鍵是掌握三角形的面積公式．
4．D
【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握其判定方法是解題的關鍵．可利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似判斷A、B選項，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似判斷C選項，從而解題．
【詳解】解：A、，，
，不符合題意；
B、，，
，不符合題意；
C、，
，
，
，不符合題意；
D、，，
無法證明，符合題意；
故選：D．
5．C
【分析】此題重點考查平行線的性質、三角形的面積公式、相似三角形的判定與性質等知識．作于點，交于點，則，，所以，，再證明，則，求得，于是得到問題的答案．
【詳解】解：作于點，交于點，
∴，
∵，
，
，
，，且，，
，
，，
∵，
，
，
，
故選：C．
6．C
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，根據可證，，利用相似三角形對應邊成比例即可求解．
【詳解】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故選C．
7．A
【分析】本題考查了相似三角形的性質與判定，過點作于點，證明，根據相似三角形的性質結合已知得出，，證明，得出，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，

∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
即
整理得：．
故選：A．
8．A
【分析】依據翻折變換的性質得到DE＝CE、CF＝DF；設AD＝2k，則DB＝3k；根據相似三角形的判定與性質即可解決問題．
【詳解】解：設AD＝2k，則DB＝3k，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA＋∠FDB＝120°，
又∵∠EDA＋∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由折疊得CE＝DE，CF＝DF，
∴△AED的周長為7k，△BDF的周長為8k，
∴△AED與△BDF的相似比為7：8，
∴CE：CF＝DE：DF＝7：8．
故選：A．
【點撥】主要考查了翻折變換的性質、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用相似三角形的周長之比等于相似比，學會根據條件用字母表示相應的線段長度．
9．D
【分析】根據勾股定理求出，記與的交點為O，由平行四邊形的性質可得，，當最小時，最小；過O作，證得，從而利用相似三角形的性質求出的長，即可得到的最小值．
【詳解】解：∵，，，，
∴在中，，
記與的交點為O，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴當最小時，最小，
過O作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴的最小值為．
故選：D
【點撥】本題考查了勾股定理的運用，平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質以及垂線段最短的性質，解題的關鍵是作高線，構造相似三角形．
10．A
【分析】過點作于點，由角平分線的性質結合正方形的性質易得，為等腰直角三角形，于是設，則 ，，進而，，再利用，由等角的余角相等得到，以此，利用相似三角形的對應邊成比例列出等式求解即可．
【詳解】解：如圖，過點作于點，
∵四邊形為正方形，
∴，，，
∵平分，，，
∴，
由，，得為等腰直角三角形，
∴，
設，
則 ，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：．
故選：A．
【點撥】本題主要考查正方形的性質、角平分線的性質、等腰直角三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，根據角平分線的性質正確表示出、的長是解題關鍵．
11．/
【分析】本題考查黃金分割，根據黃金分割比“將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值”，結合題意列方程解題即可．
【詳解】解：設，則，
根據黃金分割點的定義得到，
解得，（舍去），
∴，
故答案為．
12．
【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質，可設，由四邊形與矩形相似，根據相似多邊形對應邊的比相等列出比例式，求解即可．
【詳解】，
設，則，，
四邊形與矩形相似，
，則，
解得，（不合題意舍去），
經檢驗是原方程的解．
故答案為：．
13．2
【分析】根據，可得出，故，再由相似三角形的性質可得出的長，進而可得出結論．
【詳解】解：，，，，
，
∴，
，即．
解得，
，
故答案為：．
【點撥】本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形對應高的比等于相似比是解答此題的關鍵．
14．
【分析】本題考查了位似圖形的性質，相似三角形的性質，求得位似比是解題的關鍵．
根據題意求得位似比，根據相似比等于位似比，面積比等于相似比的平方即可求解．
【詳解】解：∵將放大后得到．點，
∴與的相似比為，
∵，
∴，
∴點的坐標是，
∵與的相似比為，
則與的面積比是，
故答案為：；．
15．/
【分析】本題主要考查的是平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質等知識點，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．
如圖：過點B作交于H，根據平行線分線段成比例定理得到，根據等腰三角形的性質得到，根據線段垂直平分線的性質得到，再根據平行線分線段成比例定理解答即可．
【詳解】解：過點B作交于H，
∴
∴，

∵，E是邊上的中點，
∴，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵，即
∴,
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案為：．
16．/
【分析】本題考查了基本作圖，三角形的面積公式和相似三角形的判定和性質．先由作圖得出平分，垂直平分，再根據三角形的面積公式求出和的面積關系，再根據相似三角形的性質求解．
【詳解】解：由作圖得：平分，垂直平分，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
，，
，則，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
17．/
【分析】過點作于點，交于點，根據等腰三角形的性質求出，根據三角形中位線的判定與性質求出，利用證明，根據全等三角形的性質得出，則，根據勾股定理求出，根據線段的和差求解即可．
【詳解】解：過點作于點，交于點，
，，
，
∴H是的中點，
，，
，
∴，
∴，
∴F是的中點，
是的中位線，
，
，
，
是的中點，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案為：．
【點撥】此題考查等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質、勾股定理，熟記等腰三角形的性質是解題的關鍵．
18．或
【分析】由題可分兩種情況，當交點在線段上時，或當交點在線段延長線上時，分別將繞點順時針旋轉，可判定全等三角形，用勾股定理求出對應邊的長度即可．
【詳解】解：分兩種情況：
（1）當交點在線段上時，
四邊形為正方形，
將繞點順時針旋轉，如圖1所示，與重合，且，，三點共線，
四邊形是正方形，
，
，
由旋轉可得，
，
，
連接，
在和中，
，
，
，
設，
正方形邊長，，
，，，
在中，有勾股定理得：，
即：，
解得：；
（2）當交點在線段延長線上時，
同理旋轉到，如圖2所示，可得，
同理可證，
，
設，
正方形邊長，，
，，
在中，有勾股定理得：，
即：，
解得：；
，，
，
，
即，
解得：；
綜上所述：或．
故答案為：或．
【點撥】本題主要考查正方形的性質，利用旋轉圖形證三角形全等，根據勾股定理和相似圖形求出對應線段的長度是解題的關鍵，本題難點在于利用旋轉構造全等三角形．
19．,
【分析】本題主要考查了平行線等分線段定理，根據平行線等分線段定理列出比例式成為解題的關鍵．
先根據線段的和差求得，根據平行線等分線段定理可得即可得，進而得到，再根據平行線等分線段定理可得即，然后求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：．
20．(1)米
(2)變短了，變短了米
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例．
（1）通過證明，得出，即可解答；
（2）通過證明，得出，求出，即可解答．
【詳解】（1）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即
解得，．
即小明的身高為米．
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴（米），
∴小明的身影變短了，變短了米．
21．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由，，證明四邊形是平行四邊形，由得，而，所以，則，則四邊形是矩形；
（2）由，，，根據勾股定理求得，再證明，則，求得．
【詳解】（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形，
交的延長線于點，
，
，
，
，
四邊形是矩形；
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，
的長是．
【點撥】本題考查平行四邊形綜合，涉及平行四邊形的判定與性質、直角三角形的兩個銳角互余、矩形的判定與性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識，證明是解題的關鍵．
22．(1)
(2)
(3)為或
【分析】本題是動點問題，考查了勾股定理，相似三角形的性質等知識，掌握這些知識是關鍵．注意相似有兩種情況，考慮要周到．
（1）分別求出點P、Q在各自邊上運動的時間范圍，即可確定t的范圍；
（2）當時，可分別求得的長度，由勾股定理即可求得P，Q兩點之間的距離；
（3）分兩種情況：；，利用相似三角形的性質即可求得t的值．
【詳解】（1）解：由運動知，，．
∵，點P在線段上運動，
∴，
∴．
∵，點Q在線段上運動，
∴，
∴，
∴．
（2）當時，，，
在中，根據勾股定理，得．
（3）∵以點C，P，Q為頂點的三角形與相似，且，
∴①當時，
∴，
∴，
∴．
②當時，
∴，
∴，
∴．
綜上，當t為或時，以點C，P，Q為頂點的三角形與相似．
23．（1）見解析；（2）①；②．證明見解析．
【分析】（1）作，垂足為，得∠NHB=90°，由四邊形ABCD為正方形，可得∠B=∠NAB=90°，可證四邊形ABHN為矩形，可證即可；
（2）①，由點與點關于直線對稱，與四邊形是正方形，可得，，，在等腰中，，由外角性質；
②.連接，，由對稱性可知，，由勾股定理，，可證，可得．
【詳解】證明：（1）作，垂足為，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠NAB=90°，∠NHB=90°，
∴∠B=∠NAB=∠NHB=90°，
∴四邊形ABHN為矩形，
∴，
，
，又，
，
，
；
（2）①.
點與點關于直線對稱，且四邊形是正方形，
，，
，
在等腰中，，
又，
；
②.
證明：連接，，
由對稱性可知，
即是等腰直角三角形，
∴FC，
，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴，
，
，
又，
，
，
．
【點撥】本題考查正方形性質，矩形判定與性質，三角形全等判定與性質，軸對稱性質，等腰直角三角形，三角形外角性質，勾股定理，三角形相似判定與性質，掌握正方形性質，矩形判定與性質，三角形全等判定與性質，軸對稱性質，等腰直角三角形，三角形外角性質，勾股定理，三角形相似判定與性質．
24．（1）見解析；（2）；（3）
【分析】（1）證明，利用線段比等于相似比即可求證；
（2）證明，利用線段比等于相似比即可求得；
（3）作輔助線，根據已知條件，先求得EF的長，再根據勾股定理求得AB．
【詳解】解：（1）如圖，∵，，，
∴，且，
∴，
∴，
∴
（2）如圖2，連接BD，
∵，，
∴
在正方形ABCD中，，
∴，，
，
∴；
（3）如圖，過點作，交于點，連接
又
即
【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確的作出輔助線，構造三角形相似，是解題的關鍵．

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