資源簡(jiǎn)介

1.2　集合的基本關(guān)系
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解集合之間的包含、相等關(guān)系的含義.
2.理解子集、真子集的概念.
3.能利用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系.
【課前預(yù)習(xí)】
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　子集
1.子集:一般地,對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A中的任何一個(gè)元素都屬于集合B,即若a∈A,則a∈B,那么稱集合A是集合B的子集,記作　　　　(或　　　　),讀作“A　　　　　B”(或“B　　　　A”).
2.子集的性質(zhì):
(1)任何一個(gè)集合都是它本身的子集,即　　　　.
(2)規(guī)定:空集是任何集合的子集.也就是說,對(duì)于任意一個(gè)集合A,都有　　　　.
3.Venn圖:為了直觀地表示集合間的關(guān)系,常用平面上封閉曲線的內(nèi)部表示集合,稱為Venn圖.如A B,可用Venn圖(如圖)表示.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若A B,且B C,則A C. (　 )
(2)若A B,則集合A是由集合B的部分元素組成的. (　 )
(3){0} Z, {1,2}. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　集合相等
1.定義:對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么稱集合A與集合B相等,記作A=B.
2.表示:可用Venn圖(如圖)表示.即對(duì)于兩個(gè)集合A與B,若A B,且B A,則A=B.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若x∈A且x∈B,則A=B. (　 )
(2){2,7}={(2,7)}. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　真子集
1.真子集:對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果　　　,且　　　　,那么稱集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A),讀作“A　　　　　B”(或“B　　　　　A”).可用Venn圖(如圖)表示.
2.集合的基本關(guān)系(如圖):
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若A B,則集合A,B都是非空集合. (　 )
(2){x|x>3} {x|x≥3}. (　 )
(3)當(dāng)A B時(shí),A B一定成立. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點(diǎn)一　判斷集合之間的關(guān)系
例1 (1)下列表示集合M={1,-1,2,-2}和集合N={x|x2-4=0}關(guān)系的Venn圖中正確的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A B C D
(2)已知集合P={x|y=},集合Q={y|y=},則P與Q的關(guān)系是 (　 )
A.P=Q B.P Q
C.Q P D.Q P
(3)(多選題)已知集合A={x|x>2},B={x|x>3},則下列說法中正確的是 (　 )
A.存在x∈A,使x B
B.對(duì)于任意的x∈A,都有x∈B
C.A B
D.B是A的真子集
變式 判斷下列各組中兩個(gè)集合之間的關(guān)系.
(1)集合A={-1,1}與B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)集合A={x|-1(3)集合A={x|x是等邊三角形}與B={x|x是等腰三角形};
(4)集合M={x|x=2n-1,n∈N*}與N={x|x=2n+1,n∈N*};
(5)集合A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z}與B={x|x=4m-3n,m∈Z,n∈Z}.
[素養(yǎng)小結(jié)]
判斷集合間關(guān)系的方法:
(1)用定義判斷.(2)結(jié)合數(shù)軸判斷.(3)用Venn圖判斷.
◆ 探究點(diǎn)二　確定有限集合的子集、真子集
[提問] 當(dāng)所給集合中元素的個(gè)數(shù)較少時(shí),求其子集(或真子集)的個(gè)數(shù)可采用什么方法


例2 已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={0,1,2,3,4},寫出滿足A C B的集合C.
變式1 若集合A={x∈Z|mA.[-1,0) B.(-1,0]
C.(-1,0) D.[-1,0]
變式2 設(shè)Y是由6的所有正約數(shù)組成的集合,寫出集合Y的所有子集.
[素養(yǎng)小結(jié)]
1.對(duì)于含有有限個(gè)元素的集合,求該集合的子集或真子集時(shí),有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):
(1)確定該集合;
(2)合理分類;
(3)注意兩個(gè)特殊的集合,即空集和集合本身.
2.非空集合(元素個(gè)數(shù)為n)的子集的個(gè)數(shù)為2n.
拓展 已知集合A={x|x≤2,x∈N},若B A且B≠A,則滿足條件的集合B的個(gè)數(shù)為 (　 )
A.3 B.4 C.7 D.8
◆ 探究點(diǎn)三　由集合的基本關(guān)系求參數(shù)
例3 (1)設(shè)集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k≤0},若M N,則k的取值范圍是 (　 )
A.k≤2 B.k≥2
C.k>-1 D.k≤-1
(2)設(shè)集合A={x|x2-9x+14=0},B={x|ax-1=0},若B A,則實(shí)數(shù)a的值組成的集合C=　　　　　　.
(3)已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求實(shí)數(shù)x,y的值.
變式 已知a>0,集合A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|x≤3,或x≥4}.若A B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍時(shí), 需要把集合語言轉(zhuǎn)換為方程或不等式,然后靈活應(yīng)用解方程的方法或利用數(shù)形結(jié)合求解.要特別注意考慮 是否滿足題意.
拓展 已知集合A={x|ax=1},B={x|x2+3x-4=0},是否存在實(shí)數(shù)a,使B A成立 并說明理由.
1.2　集合的基本關(guān)系
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.A B　B A　包含于　包含　2.(1)A A　(2) A
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)如圖,利用Venn圖可知正確.
(2)集合A也可以是空集,所以錯(cuò)誤.
(3)因?yàn)?∈Z,空集是任何集合的子集,所以{0} Z, {1,2},正確.
知識(shí)點(diǎn)二
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)如A={1,2},B={2,3},滿足2∈A,2∈B,但A≠B,錯(cuò)誤.
(2)集合{2,7}是數(shù)集,含有兩個(gè)元素2,7,集合{(2,7)}是點(diǎn)集,含有一個(gè)元素(2,7),錯(cuò)誤.
知識(shí)點(diǎn)三
1.A B　A≠B　真包含于　真包含
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)A可以是空集,但集合B一定是非空集合.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)B　(2)B　(3)AD　[解析] (1)集合M={1,-1,2,-2},集合N={2,-2},所以N是M的真子集.故選B.
(2)因?yàn)镻={x|y=},所以x-1≥0,即x≥1,故P=[1,+∞).因?yàn)镼={y|y=},且y=≥0,所以Q=[0,+∞).則P Q,因此A,C,D錯(cuò)誤,B正確.
(3)當(dāng)x=時(shí),滿足x∈A,x B,所以A正確,B不正確;由A={x|x>2},B={x|x>3},可得B A,且B是A的真子集,所以C不正確,D正確.故選AD.
變式　解:(1)集合A中的元素表示實(shí)數(shù),集合B中的元素表示有序?qū)崝?shù)對(duì),故A與B之間無包含關(guān)系.
(2)由題意知,集合B={x|x<5},用數(shù)軸表示集合A,B,如圖所示,由圖可知A B.
(3)等邊三角形是三邊相等的三角形,等腰三角形是兩邊相等的三角形,故A B.
(4)集合M是正奇數(shù)組成的集合,包含元素“1”,集合N是大于或等于3的正奇數(shù)組成的集合,不包含元素“1”,故N M.
(5)因?yàn)閷?duì)于任意的k1∈Z,有k1=2×(-k1)+3k1∈A,所以A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z}=Z.
因?yàn)閷?duì)于任意的k2∈Z,有k2=4k2-3k2∈B,所以B={x|x=4m-3n,m∈Z,n∈Z}=Z,所以A=B=Z.
探究點(diǎn)二
提問 解:列舉法.
例2　解:由題知A={1,3},B={0,1,2,3,4},因?yàn)锳 C B,所以C一定含有元素1,3,故滿足A C B的集合C為{1,3},{1,3,0},{1,3,2},{1,3,4},{1,3,0,2},{1,3,0,4},{1,3,2,4},{1,3,0,2,4},共8個(gè).
變式1　A　[解析] 因?yàn)榧螦有15個(gè)真子集,所以集合A中有4個(gè)元素,所以-1≤m<0,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-1,0).故選A.
變式2　解:因?yàn)?的正約數(shù)為1,2,3,6,所以集合Y={1,2,3,6},所以集合Y的子集為 ,{1},{2},{3},{6},{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6},{1,2,3},{1,2,6},{1,3,6},{2,3,6},{1,2,3,6},共16個(gè).
拓展　C　[解析] 集合A={x|x≤2,x∈N}={0,1,2},因?yàn)锽 A且B≠A,所以集合B為 ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},所以滿足條件的集合B的個(gè)數(shù)為7.故選C.
探究點(diǎn)三
例3　(1)B　(2)　[解析] (1)由題意知N={x|x≤k},∵M(jìn) N,M={x|-1≤x<2},∴k≥2.故選B.
(2)由x2-9x+14=0,解得x=2或x=7,所以集合A={x|x2-9x+14=0}={2,7}.當(dāng)a=0時(shí),方程ax-1=0無解,則B={x|ax-1=0}= ,滿足題意;當(dāng)a≠0時(shí),由ax-1=0,解得x=,所以=2或=7,解得a=或a=.綜上所述,實(shí)數(shù)a的值組成的集合C=.
(3)由A=B,可得或解得或或
當(dāng)x=0,y=0時(shí),集合A,B中的元素不滿足互異性,舍去.
所以或
變式　(0,2]　[解析] 因?yàn)锳={x|1-a≤x≤1+a},B={x|x≤3,或x≥4},A B,且a>0,所以1+a≤3或1-a≥4,可得0拓展　解:不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a.因?yàn)榧螧={1,-4},而集合A中無論a取什么值,集合A要么是空集,要么是只含有一個(gè)元素的集合,所以僅從元素的個(gè)數(shù)就可判斷B A不可能成立.

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