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第2課時　集合的基本運算(二)—— 全集與補集
【學習目標】
1.在具體情境中,了解全集的含義.
2.理解在給定集合中一個子集的補集的含義,能求給定子集的補集.
3.能使用Venn圖表達集合的基本運算,體會圖形對理解抽象概念的作用.
◆ 知識點　全集與補集
1.全集的概念:在研究某些集合的時候,它們往往是某個給定集合的子集,這個給定的集合叫作全集,常用符號　　　　表示.
2.補集的概念:
定義 設U是全集,A是U的一個子集(即A U),則由U中所有不屬于A的元素組成的集合,叫作U中子集A的補集
符號表示 記作 UA,即 UA=　　　　　　　
圖形表示
3.補集的性質:
(1)A∪( UA)=　　　,A∩( UA)=　　　.
(2) U( UA)=　　　, UU=　　　, U =　　　.
(3) U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA) ∩( UB).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若全集U={1,2,3,4},集合A={2,3,4},則 UA=1. (　 )
(2)若集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5},C={3},則 AB={2,4}, BC={1,2,4,5}. (　 )
(3)若集合A={1,3,5}, UA={2,4},則U={1,2,3,4,5}. (　 )
◆ 探究點一　補集的運算　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)已知集合U={0,1,2,3,4,5},M={3,4,5},則 UM= (　 )
A.{0,1,2,3,4,5} B.{0,1,2}
C.{3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
(2)已知集合A=(1,+∞),則 RA= (　 )
A.(-∞,1] B.(-∞,1)
C.(-1,+∞) D.[-1,+∞)
(3)已知全集U={x|x是實數},A={x|x是有理數},則 UA=　　　　　　　.
[素養小結]
求集合補集的方法:(1)定義法:當集合是由列舉法表示時,可利用定義直接求解.(2)Venn圖法:借助Venn圖可直觀地求出補集.(3)數軸法:當集合是用描述法表示的連續數集時,可借助數軸求解,但需注意端點能否取到.
◆ 探究點二　交集、并集、補集的混合運算
例2 已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2A∪( RB).
變式 (1)設全集U={x∈N|x≤4},集合A={1,2},B={2,3},則( UA)∩( UB)= (　 )
A.{0,4} B.{4}
C.{1,2,3} D.
(2)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,4,8},B={2,4,5,6},則圖中陰影部分所表示的集合是 (　 )
A.{2,5} B.{4,6}
C.{2,5,6} D.{1,3,8}
[素養小結]
交集、并集、補集的綜合運算問題的解法:(1)對于有限集,先把集合中的元素一一列舉出來,再結合交集、并集、補集的定義求解,在解答過程中也常常借助于Venn圖.(2)對于連續的無限集,常借助于數軸,先把已知集合及全集分別表示在數軸上,再根據交集、并集、補集的定義求解,解答過程中注意端點值的取舍.
◆ 探究點三　由補集運算求參數
例3 設集合A={x|x+m≥0},B={x|-2變式 (1)設全集U={1,2,3,4},集合M={x∈U|x2-5x+p=0},若 UM={1,4},則p的值為 (　 )
A.-4 B.4
C.-6 D.6
(2)(多選題)[2024·河南濟源高級中學高一月考] 已知全集U=R,集合A={x|x≤a},集合B={x|x<1},則下列說法中正確的是 (　 )
A.若B∪( UA)=R,則實數a的取值范圍是(-∞,1)
B.若B∪( UA)=R,則實數a的取值范圍是(-∞,1]
C.若B∩( UA)= ,則實數a的取值范圍是(1,+∞)
D.若B∩( UA)= ,則實數a的取值范圍是[1,+∞)
[素養小結]
根據補集的運算結果求參數的值或取值范圍時,關鍵是利用補集的定義,即補集 UA中的元素在全集中不在集合A中,列方程(組)求解.但要注意分類討論并檢驗所得結果是否保證U是全集、是否滿足集合中元素的互異性.
第2課時　集合的基本運算(二)—— 全集與補集
【課前預習】
知識點
1.U　2.{x|x∈U,且x A}
3.(1)U　 　(2)A　 　U
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)補集也是集合之間的一種運算,其結果也是集合形式,所以(1)錯誤.
(2) BC所對應的全集是集合B,而不是集合A,所以 BC={1,5},所以(2)錯誤.
(3)根據補集與全集的定義可知(3)正確.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)B　(2)A　(3){x|x是無理數}　[解析] (1)因為集合U={0,1,2,3,4,5},M={3,4,5},
所以 UM={0,1,2},故選B.
(2)由集合A=(1,+∞),得 RA=(-∞,1].故選A.
(3)因為實數包含有理數和無理數,所以 UA={x|x是無理數}.
探究點二
例2　解:因為集合A={x|3≤x<7},B={x|2所以 R(A∩B)={x|x<3,或x≥7}.
因為A={x|3≤x<7},所以 RA={x|x<3,或x≥7},
所以( RA)∩B={x|2因為B={x|2所以A∪( RB)={x|x≤2,或3≤x<7,或x≥10}.
變式　(1)A　(2)C　[解析] (1)∵全集U={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4},∴ UA={0,3,4},
UB={0,1,4},∴( UA)∩( UB)={0,4}.
(2)由題圖可知,圖中陰影部分所表示的集合為( UA)∩B,因為全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,4,8},B={2,4,5,6},故 UA={2,5,6,7},則( UA)∩B={2,5,6},故選C.
探究點三
例3　解:方法一:由A={x|x+m≥0}={x|x≥-m},
得 UA={x|x<-m}.
因為B={x|-2所以-m≤-2,即m≥2,故實數m的取值范圍是[2,+∞).
方法二:由( UA)∩B= 可知B A,因為B={x|-2所以-m≤-2,即m≥2,故實數m的取值范圍是[2,+∞).
變式　(1)D　(2)AD　[解析] (1)∵全集U={1,2,3,4}, UM={1,4},∴集合M={x∈U|x2-5x+p=0}={2,3},∴方程x2-5x+p=0的兩個根為2和3,則p=2×3=6.故選D.
(2)因為全集U=R,集合A={x|x≤a},所以 UA={x|x>a}.又集合B={x|x<1},所以若B∪( UA) =R,則實數a的取值范圍是(-∞,1);若B∩( UA)= ,則實數a的取值范圍是[1,+∞),故選AD.

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