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§2　常用邏輯用語
2.1　必要條件與充分條件
第1課時　必要條件與充分條件
【學習目標】
1.理解必要條件、充分條件的概念.
2.能夠判斷命題之間的充分、必要關系.
3.通過對必要條件、充分條件的概念的理解和運用,培養學生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力.
◆ 知識點一　必要條件與性質定理
一般地,當命題“若p,則q”是真命題時,稱q是p的 　　　條件.也就是說,一旦q不成立,p一定也不成立,即q對于p的成立是必要的.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若A={中學生},B={學生},則“x∈A”是“x∈B”的必要條件. (　 )
(2)“x>5”是“x>3”的必要條件. (　 )
◆ 知識點二　充分條件與判定定理
一般地,當命題“若p,則q”是真命題時,稱p是q的　　　　條件.
對于真命題“若p,則q”,即p q時,稱q是p的　　　　條件,也稱p是q的　　　　條件.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“兩個三角形的面積相等”是“兩個三角形全等”的充分條件. (　 )
(2)若p是q的必要條件,則q是p的充分條件. (　 )
2.如果p是q的充分條件,q是r的充分條件,那么p是r的充分條件嗎
◆ 探究點一　必要條件的判定
例1 下列所給的各組p, q中,判斷p是否為q的必要條件,q是否為p的必要條件.
(1)p:x>1,q:x2>1;
(2)p:四邊形的對角線相等,q:四邊形是矩形;
(3)p:兩個三角形相似,q:兩個三角形的對應角相等.
變式 (多選題)[2024·四川綿陽中學月考] 下列命題中,p是q的必要條件的有 (　 )
A.p:x,y是偶數, q:x+y是偶數
B.p:a<2,q:方程x2-2x+a=0有實根
C.p:四邊形的對角線互相垂直,q:四邊形是菱形
D.p:ab=0,q:a=0
[素養小結]
(1)判斷q是否為p的必要條件時,主要判斷“若p成立,能否推出q成立”,若p q,則q是p的必要條件;判斷p是否為q的必要條件時,主要判斷“若q成立,能否推出p成立”,若q p,則p是q的必要條件.
(2)也可利用集合的關系判斷,已知甲:x∈A,乙:x∈B,若A B,則甲是乙的必要條件.
◆ 探究點二　 充分條件的判定
例2 下列所給的各組p, q中,判斷p是否為q的充分條件,q是否為p的充分條件.
(1)p:a∈A∩B,q:a∈A∪B;
(2)p:x>5或x<-5;q:x<-5;
(3)p:兩個三角形的三邊成比例,q:兩個三角形相似;
(4)p:x2=1,q:x=1;
(5)p:a=b,q:ac=bc.
變式 (多選題)[2024·四川綿陽高一期中] 下列選項中滿足p是q的充分條件的是 (　 )
A.p:x>,q:x>1
B.p:m=0,q:mn=0
C.p:x2≠0,q:x≠0
D.p:x>y,q:x2>y2
[素養小結]
(1)判斷p是q的充分條件時,主要判斷“若p成立,能否推出q成立”,若p q,則p是q的充分條件.
(2)也可利用集合的關系判斷,已知甲:x∈A,乙:x∈B,若A B,則甲是乙的充分條件.
◆ 探究點三　由必要條件、充分條件求參數的范圍
例3 [2024·江蘇宿遷青華中學高一月考] 設全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分條件,求實數a的取值范圍;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要條件,求實數a的取值范圍.
變式 設p:x<1,q:xA.a>1 B.a<1
C.a≥1 D.a≤1
[素養小結]
利用必要條件或充分條件求參數的值或取值范圍,關鍵是將已知條件轉化為集合間的包含關系,再通過解不等式(組)來求解.但要注意集合為空集的情況,還要注意等號的取舍.
§2　常用邏輯用語
2.1　必要條件與充分條件
第1課時　必要條件與充分條件
【課前預習】
知識點一
必要
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)“x∈B”是“x∈A”的必要條件,故(1)錯誤.
(2)“x>3”是“x>5”的必要條件,故(2)錯誤.
知識點二
充分　必要　充分
診斷分析
1.(1)×　(2)√　[解析] (1)“兩個三角形的面積相等”不能推出“兩個三角形全等”,故(1)錯誤.
(2)符合充分條件、必要條件的定義,故(2)正確.
2.解:是.因為p q,q r,所以p r,所以p是r的充分條件.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)因為當x>1時,x2>1,所以p q,即q是p的必要條件;當x2>1時,x>1或x<-1,所以q / p,即p不是q的必要條件.
(2)因為當四邊形的對角線相等時,四邊形不一定是矩形,即p / q,所以q不是p的必要條件;當四邊形是矩形時,四邊形的對角線相等,即q p,所以p是q的必要條件.
(3)因為當兩個三角形相似時,兩個三角形的對應角相等,即p q,所以q是p的必要條件;當兩個三角形的對應角相等時,兩個三角形相似,即q p,所以p是q的必要條件.
變式　BCD　[解析] 對于A,x+y是偶數,不能保證x,y均是偶數,x,y也有可能都是奇數,故A不符合題意;對于B,若方程x2-2x+a=0有實根,則需滿足Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故B符合題意;對于C,若四邊形是菱形,則這個四邊形的對角線互相垂直,故C符合題意;對于D,若a=0,則ab=0,故D符合題意.故選BCD.
探究點二
例2　解:(1)若a∈A∩B,則a∈A且a∈B,可以推出a∈A∪B,反之不一定成立,即p q,q / p,所以p是q的充分條件,q不是p的充分條件 .
(2)x>5或x<-5推不出x<-5,反之成立,即p / q,q p,所以p不是q的充分條件,q是p的充分條件.
(3)根據相似三角形的判定定理,可得p q,所以p是q的充分條件.由相似三角形的性質可得q p,所以q是p的充分條件.
(4)由x2=1,得x=1或x=-1,推不出x=1,所以p不是q的充分條件.由x=1可以推出x2=1,所以q是p的充分條件.
(5)由等式的性質知, p q,所以p是q的充分條件;當c=0時,a與b不一定相等,q / p,故q不是p的充分條件.
變式　ABC　[解析] 對于A,由x>可推出x>1,所以“x>”是“x>1”的充分條件,A正確.對于B,由m=0可推出mn=0,所以“m=0”是“mn=0”的充分條件,B正確.對于C,由x2≠0可推出x≠0,所以“x2≠0”是“x≠0”的充分條件,C正確.對于D,當x=2,y=-2時,滿足x>y,但是x2=y2,所以“x>y”不是“x2>y2”的充分條件,D錯誤.故選ABC.
探究點三
例3　解:(1)全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a},
因為“x∈A”是“x∈B”的充分條件,所以A B,
所以即解得a≥2,
所以實數a的取值范圍是[2,+∞).
(2)因為“x∈A”是“x∈B”的必要條件,所以B A,
所以即解得≤a≤1,
所以實數a的取值范圍是.
變式　C　[解析] 因為p:x<1,q:x

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