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第2課時　充要條件
【學習目標】
1.理解充要條件的定義,掌握充分、必要條件的四種類型.
2.會判斷條件和結論的關系.
3.通過判斷p與q的關系引導充要條件的定義,由誘導探究的方法歸納出判斷“p是q的什么條件”的步驟及方法(定義法、集合法、傳遞法).
◆ 知識點　充要條件
1.一般地,如果p q,且q p,那么稱p是q的充分且必要條件,簡稱p是q的　　　　　,記作p　　　　q.
p是q的充要條件也常常說成“p成立當且僅當q成立”,或“p與q等價”.
當p是q的充要條件時,q也是p的充要條件.
2.如果p q,q / p,則稱p是q的充分不必要條件;
如果p / q,q p,則稱p是q的必要不充分條件;
如果p / q,q / p,則稱p是q的既不充分也不必要條件.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“x=y=0”是“x2+y2=0”的充要條件. (　 )
(2)若“p不能推出q”和“q不能推出p”有一個成立,則p一定不是q的充要條件. (　 )
◆ 探究點一　充要條件的判定　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)設A,B是兩個集合,則“A B”是“A∪B=B”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)(多選題)[2024·廣東東莞東華高級中學月考] 下列四個選項中,p是q的充要條件的有(　 )
A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在兩角相等
B.p:兩個三角形全等,q:兩個三角形的三邊分別相等
C.p:xy>0,q:x>0,y>0
D.p:四邊形是正方形,q:四邊形的對角線互相垂直且平分
[素養小結]
判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法
(1)定義法:直接判斷“若p,則q”以及“若q,則p”的真假.
(2)集合法:即利用集合之間的包含關系判斷.
(3)傳遞法:充分條件和必要條件具有傳遞性,即由p1 p2 … pn,可得p1 pn;充要條件也有傳遞性.
◆ 探究點二　根據充要條件求參數
例2 求“關于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有兩個不同的正根”的充要條件.(附:由a2-12a+20>0,得a<2或a>10)
變式 [2024·河北邢臺翰林中學高一月考] 若集合A={-2,m2},集合B={2,4},則“A∩B={4}”的充要條件是 　　　　.
[素養小結]
p是q的充要條件意味著“p成立則q成立;p不成立則q不成立”.已知兩個條件為充要條件求參數的值,通常轉化為兩個集合相等列方程(組)來求解.
◆ 探究點三　充要條件的證明
例3 求證:“關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1”的充要條件是“a+b+c=0”.
變式 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,求證:“a2-b2-ac+bc=0”的充要條件是“∠A=∠B”.
[素養小結]
有關充要條件的證明問題,要分清哪個是條件,哪個是結論,誰是誰的什么條件.證明充要條件要分兩個環節:一是證明充分性成立;二是證明必要性成立.
第2課時　充要條件
【課前預習】
知識點
1.充要條件　
診斷分析
(1)√　(2)√　[解析] (1)若x=y=0成立,則x2+y2=0成立;若x2+y2=0成立,則x=y=0成立.故(1)正確.
(2)當p q且q p時,p才是q的充要條件,故(2)正確.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)AB　[解析] (1)由A∪B=B可得A B,由A B可得A∪B=B,所以“A B”是“A∪B=B”的充要條件.故選C.
(2)若三角形是等腰三角形,則該三角形的兩底角相等;反之,當三角形中有兩角相等時,這兩角所對的邊相等,即該三角形為等腰三角形,所以“三角形是等腰三角形”是“三角形存在兩角相等”的充要條件,故A正確.若兩個三角形全等,則兩個三角形的三邊分別相等;反之,若兩個三角形的三邊分別相等,則這兩個三角形全等.所以“兩個三角形全等”是“兩個三角形的三邊分別相等”的充要條件,故B正確.當xy>0時,可能x<0,y<0或者x>0,y>0,故“xy>0”不是“x>0,y>0”的充要條件,故C錯誤.正方形的對角線互相垂直且平分,但是對角線互相垂直且平分的四邊形可以是任意的菱形,不一定是正方形,故“四邊形是正方形”不是“四邊形的對角線互相垂直且平分”的充要條件,故D錯誤.故選AB.
探究點二
例2　解:設x1,x2是方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0的兩個根,由已知可得解得110,即所求充要條件為“110”.
變式　m=±2　[解析] 因為A∩B={4},所以4∈A,又-2≠4,所以m2=4,解得m=±2.經驗證m=±2符合題意,則所求充要條件是“m=±2”.
探究點三
例3　證明:若關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1,
則x=1滿足方程ax2+bx+c=0,
∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
若a+b+c=0,則c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,因此,方程有一個根為1.故“關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1”的充要條件是“a+b+c=0”.
變式　證明:必要性:若∠A=∠B,則a=b,得a2-b2-ac+bc=0.
充分性:a2-b2-ac+bc=(a+b)·(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a+b-c),若a2-b2-ac+bc=0成立,
則(a-b)(a+b-c)=0成立.∵在△ABC中,a+b-c>0,
∴a-b=0,∴a=b,∴∠A=∠B.
綜上可知,“a2-b2-ac+bc=0”的充要條件是“∠A=∠B”.

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