資源簡介

2.2　全稱量詞與存在量詞
第1課時　全稱量詞命題與存在量詞命題
【學習目標】
1.掌握常用的全稱量詞和存在量詞及其含義.
2.掌握全稱量詞命題和存在量詞命題的概念,并能準確判斷真假.
◆ 知識點一　全稱量詞命題
1.全稱量詞命題:在給定集合中,斷言所有元素都具有同一種性質的命題叫作全稱量詞命題.
2.全稱量詞:在命題中,諸如“所有”“每一個”“任意”“任何”“一切”這樣的詞叫作全稱量詞,用符號“　　　　”表示,讀作“對任意的”.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“平行四邊形的對角線互相平分”是全稱量詞命題. (　 )
(2)“能被6整除的數也能被3整除”是全稱量詞命題. (　 )
(3)“至少有一個實數x,使得|x|=4”是全稱量詞命題. (　 )
(4)全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題. (　 )
2.全稱量詞命題中一定含有全稱量詞嗎
◆ 知識點二　存在量詞命題
1.存在量詞命題:在給定集合中,斷言某些元素具有一種性質的命題叫作存在量詞命題.
2.存在量詞:在命題中,諸如“有些”“有一個”“存在”這樣的詞叫作存在量詞.用符號“　　　”表示,讀作“存在”.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“有些自然數是偶數”是存在量詞命題. (　 )
(2)“存在一個菱形,它的四條邊不相等”是存在量詞命題. (　 )
(3)“對每一個無理數x,x2也是無理數”是存在量詞命題. (　 )
(4)存在量詞命題是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種性質的命題. (　 )
2.怎樣判定一個存在量詞命題的真假
◆ 探究點一　全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷與表示
例1 (1)判斷下列給出的命題是全稱量詞命題,還是存在量詞命題 并指出其中的量詞.
①存在一個實數,它的絕對值不是正數;
②對任何實數a,方程ax2+x+1=0都有解;
③在平面直角坐標系中,每一個有序實數對(x,y)都對應一個點;
④有一個質數是偶數.
(2)將下列命題用“ ”或“ ”表示.
①實數的平方是非負數;
②方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一個負實根;
③有一個有理數x滿足x2=3.
變式 (多選題)[2024·陜西西安慶安高級中學高一月考] 下列命題是存在量詞命題的是 (　 )
A.能被5整除的整數都是偶數
B.有的偶數是質數
C.梯形的對角線相等
D.某些平行四邊形不是菱形
[素養小結]
全稱量詞命題的判斷:常用的全稱量詞有“所有”“每一個”“任何”“任意”“一切”“任給”“全部”等,只要含有這些量詞,或者命題具有全稱量詞所表達的含義,就是全稱量詞命題.
存在量詞命題的判斷:常用的存在量詞有“有些”“有一個”“存在”“某個”“有的”等,只要含有這些量詞,或者命題具有存在量詞所表達的含義,就是存在量詞命題.
◆ 探究點二　全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
例2 (多選題)下列命題中,為真命題的是 (　 )
A. x∈R,有x2>0
B.空集是任何一個非空集合的真子集
C. x∈{-2,-1,0,1,2},使|x-2|<2
D. a∈R,方程ax+1=0恰有一解
變式 (多選題)下列命題中為真命題的是 (　 )
A. x∈R,有x3≥0
B. x∈Z,有|x|∈N
C. x∈Z,使x2+x為奇數
D. x∈N,使x3<1
[素養小結]
(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題,必須對限定集合M中的每一個元素x證明其具有性質p(x),但要判定全稱量詞命題為假命題,只要能舉出集合M中的一個x不具有性質p(x)即可,這就是通常所說的“舉一個反例”;
(2)要判定一個存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中能找到一個x具有性質p(x)即可,否則這個存在量詞命題就是假命題.
◆ 探究點三　由含量詞的命題的真假求參數的范圍
例3 (1)若“ x∈[1,2],有x2+2x-a<0”是真命題,求實數a的取值范圍.
(2)若“ x∈[1,2],使x2+2x-a<0”是真命題,求實數a的取值范圍.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)[2024·遼寧部分學校高一期中] 若“ x∈(-∞,a],使x2=2”是假命題,則實數a的取值范圍是　　　　.
(2)已知“ x∈[1,2],使2x-1≥m”是真命題,則實數m的最大值是　　　　.
[素養小結]
由含量詞的命題的真假求參數取值范圍的策略:
(1)含參數的全稱量詞命題為真時,常與不等式恒成立有關,可根據有關代數恒等式,確定參數的取值范圍;
(2)含參數的存在量詞命題為真時,常轉化為方程或不等式有解問題來處理,可借助根的判別式等知識解決.
2.2　全稱量詞與存在量詞
第1課時　全稱量詞命題與存在量詞命題
【課前預習】
知識點一
2.
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)是指“所有平行四邊形的對角線都互相平分”,是全稱量詞命題.
(2)是指“所有能被6整除的數也都能被3整除”,是全稱量詞命題.
(3)中沒有“所有”的意思.
(4)根據全稱量詞命題的定義可知其正確.
2.解:不一定,如“三角形的內角和等于180°”.
知識點二
2.
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)(2)均含有存在量詞,是存在量詞命題.(3)中“每一個”為全稱量詞,它是全稱量詞命題.(4)根據存在量詞命題的定義可知其正確.
2.解:要判定一個存在量詞命題是真命題,只需在給定的集合中找到一個元素,使命題為真即可.如果在給定的集合中,使命題為真的元素不存在,那么這個存在量詞命題是假命題.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)①為存在量詞命題,“存在”是存在量詞;
②為全稱量詞命題,“任何”是全稱量詞;
③為全稱量詞命題,“每一個”是全稱量詞;
④為存在量詞命題,“有一個”是存在量詞.
(2)① x∈R,有x2≥0;
② x<0,使ax2+2x+1=0(a<1);
③ x∈Q,使x2=3.
變式　BD　[解析] A,C中命題是全稱量詞命題,B,D中命題是存在量詞命題.故選BD.
探究點二
例2　BC　[解析] 對于A,當x=0時,x2=0,故A是假命題;對于B,空集是任何一個非空集合的真子集,B是真命題;對于C,存在x=1,使|x-2|<2,故C是真命題;對于D,當a=0時,方程ax+1=0無解,故D是假命題.故選BC.
變式　BD　[解析] 對于A,當x=-1時,x3=-1<0,A是假命題;對于B, x∈Z,有|x|∈N,B是真命題;對于C,當x∈Z時,因為x2+x=x(x+1),x,x+1中必有一個是偶數,所以x2+x=x(x+1)為偶數,故不存在x∈Z,使x2+x為奇數,C是假命題;對于D,當x=0時,x3<1,故存在x∈N,使x3<1,D是真命題.故選BD.
探究點三
例3　解:(1)當1≤x≤2時,3≤x2+2x≤8.因為當x∈[1,2]時,x2+2x-a<0恒成立,所以a>(x2+2x)max=8,故實數a的取值范圍為a>8.
(2)當1≤x≤2時,3≤x2+2x≤8,因為存在x∈[1,2],使x2+2x-a<0成立,所以a>(x2+2x)min=3,故實數a的取值范圍為a>3.
變式　(1)a<-　(2)3　[解析] (1)由x2=2,解得x=-或x=,又“ x∈(-∞,a],使x2=2”是假命題,所以a<-.
(2)當x∈[1,2]時,2x-1∈[1,3],由題意可得m≤3,即實數m的最大值是3.

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