資源簡介

§3　不等式
3.1　不等式的性質
【學習目標】
1.通過具體情境,感受、理解不等關系在現實生活中是普遍存在的.
2.掌握不等式的基本性質,運用基本性質比較兩個實數的大小,掌握證明不等式的基本方法“作差法”.
◆ 知識點一　不等關系基本事實
關于實數a,b大小的比較,有以下基本事實:
如果a-b是正數,那么a>b;
如果a-b等于0,那么a=b;
如果a-b是負數,那么a這個基本事實可以表示為a>b a-b>0;
a=b a-b=0;a◆ 知識點二　不等式的性質
序號 別名 性質內容 注意
1 傳遞性 a>b,b>c a>c 不可逆
2 可加性 a>b a+c　　　　b+c 可逆
3 可乘性 a>b,c>0 ac　　　bc c的符號
a>b,c<0 ac　　　bc
4 同向可加性 a>b,c>d a+c　　　　b+d 不可逆
(續表)
序號 別名 性質內容 注意
5 同向正值 可乘性 a>b>0,c>d>0 ac　　　　bd 不可逆
a>b>0,c6 可開方性 a>b>0 > n∈N+,n≥2
特殊地,當a>b>0時,an>bn,其中n∈N+,n≥2.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若a>b,c>d,則a-c>b-d. (　 )
(2)若a>b,c>d,則ac>bd. (　 )
(3)若b>0,且>1,則a>b. (　 )
◆ 探究點一　比較大小
例1 (1)[2024·中央民族大學附中高一月考] 設a=,b=3-,則a 　　　b.(填“>”或“<”)
(2)已知x∈R,比較x3-1與2x2-2x的大小.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 已知a=,b=-,c=-,則a,b,c的大小關系為 (　 )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
[素養小結]
作差法比較兩個實數(或代數式)的大小的一般步驟為作差、變形、判斷符號、得到結論.這里的“判斷符號”是目的,“變形”是關鍵.其中變形的方法技巧較多,常見的有因式分解法、配方法、有理化法等.若變形后所得式子的符號不能確定,則需要通過分類討論來進行大小的比較.
◆ 探究點二　不等式性質的應用
例2 (1)若a,b,c∈R,且a>b,則下列不等式一定成立的是 (　 )
A.a+cbc
C.>0 D.(a-b)c2≥0
(2)已知a>b>c,且a+b+c=0,求證:>.
變式 (1)(多選題)[2024·江蘇徐州高級中學高一期中] 已知a,b,c,d都是正數,且a>b,c>d,則下列關系式中正確的有 (　 )
A.a-cB.a+c>b+d
C.<
D.<
(2)已知a,b,x,y∈(0,+∞),且>,x>y,求證:>.
[素養小結]
利用不等式的性質進行不等式的證明,常用方法有兩種:一是通過作差、變形、判斷符號來證明;二是從條件出發,結合不等式的性質,不斷變形構造出所證不等式.
◆ 探究點三　利用不等式的性質求代數式的取值范圍
例3 已知-1(1)求x-y的取值范圍;
(2)求3x+2y的取值范圍.
變式 (多選題)[2024·河南濟源高級中學高一月考] 設x,y為實數,滿足2≤x≤5,1A.3≤x+y≤8 B.2C.-1≤x-y<4 D.<≤5
[素養小結]
在應用不等式的性質求范圍時要注意,同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減),這種轉化不是等價變形,如果在解題過程中多次使用這種轉化,就有可能擴大取值范圍.有時需建立待求代數式的整體與已知代數式的整體之間的關系,最后利用一次不等式的性質進行運算,從而求得待求代數式的取值范圍.
§3　不等式
3.1　不等式的性質
【課前預習】
知識點二
>　>　<　>　>　<
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)取a=3,b=2,c=-1,d=-3,滿足a>b,c>d,但a-c(2)取a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,則a>b,c>d,但ac(3)∵b>0,>1,∴·b>b,即a>b,故(3)正確.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)>　[解析] ∵===>=1,b>0,∴a>b.
(2)解:(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),
∵x2-x+1=+≥>0,
∴當x>1時,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x;
當x=1時,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;
當x<1時,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.
變式　B　[解析] a-b=+-,且(+)2=5+2>7,故a>b;a-c=2-且(2)2=8>6,故a>c;b-c=(+)-(+)且(+)2=9+2>9+2=(+)2,故c>b.所以a>c>b,故選B.
探究點二
例2　(1)D　[解析] 因為a>b,所以a+c>b+c,故A不成立;當c=0時,ac=bc=0,故B不一定成立;當c=0時,=0,故C不一定成立;因為a>b,所以a-b>0,又c2≥0,所以(a-b)c2≥0,故D一定成立.故選D.
(2)證明:因為a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,
a-c>b-c>0,則(a-c)(b-c)>0,則>0,
所以·(a-c)>·(b-c)>0,
即>>0.
又c<0,所以>.故得證.
變式　(1)BCD　[解析] 對于A選項,當a=4,b=1,c=2,d=1時滿足已知條件,但此時a-c>b-d,A選項錯誤;對于B選項,由不等式的同向可加性及a>b,c>d,可得a+c>b+d,B選項正確;對于C選項,由a>b>0,c>d>0,可得ac>bd>0,所以<,C選項正確;對于D選項,由a>b>0,c>d>0,可得(b+c)(b+d)>0,(a+c)(b+d)-(b+c)(a+d)=ad+bc-bd-ac=(a-b)(d-c)<0,所以>0,0<(a+c)(b+d)<(b+c)(a+d),得<,D選項正確.故選BCD.
(2)證明:-=.
∵>且a,b∈(0,+∞),∴b>a>0.
又∵x>y>0,∴bx>ay>0,x+a>0,y+b>0,
∴>0,∴>.
探究點三
例3　解:(1)因為-1(2)由-1變式　BC　[解析] 因為2≤x≤5,1

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