資源簡介

3.2　基本不等式
第1課時　基本不等式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握基本不等式,從代數(shù)結(jié)構(gòu)、幾何直觀、數(shù)量關(guān)系、實(shí)際意義等角度分析、理解基本不等式.
2.初步運(yùn)用基本不等式解決簡單的證明問題,發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng),培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識與能力.
◆ 知識點(diǎn)　基本不等式
1.基本不等式:≥(a≥0,b≥0),當(dāng)且僅當(dāng)　　　　時,等號成立.
2.算術(shù)平均值與幾何平均值:設(shè)a≥0,b≥0,則 　　　稱為a,b的算術(shù)平均值,　　　 稱為a,b的幾何平均值.
3.基本不等式又稱為均值不等式,也可以表述為:兩個非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值.當(dāng)且僅當(dāng)a,b兩數(shù)相等時兩者相等.
【診斷分析】 判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)若ab≥0,則≥. (　 )
(2)當(dāng)x≠0時,有x+≥4. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　正確理解基本不等式
例1 (1)(多選題)下列說法正確的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.若a>0,b>0且a≠b,則a+b>2
B.若a>0,b>0,則ab≤
C.對任意的a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立
D.若a≠0,則a+≥2=2
(2)設(shè)0A.aB.a<<C.a<D.變式 (多選題)[2024·石家莊聯(lián)邦外國語中學(xué)高一期中] 下列不等式中恒成立的是 (　 )
A.a2+1>2a B.≥2
C.x2+≥1 D.≤2
[素養(yǎng)小結(jié)]
基本不等式的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了“和式”與“積式”的相互轉(zhuǎn)化,當(dāng)題目中不等號的一端是“和式”而另一端是“積式”時,就可以考慮利用基本不等式來解決.在應(yīng)用基本不等式的過程中要注意“一正、二定、三相等”.
◆ 探究點(diǎn)二　利用基本不等式求最值
例2 (1)已知函數(shù)y=9x+-2,當(dāng)x>0時,(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y有最大值4 B.y有最小值4
C.y有最小值8 D.y有最大值8
(2)若x>2,則x+的最小值為 (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
變式 (1)已知x>0,則4-2x-的最大值為(　 )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
(2)已知x>0,則的最小值為 (　 )
A.5 B.3
C.-5 D.-3
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用基本不等式求積的最大值或求和的最小值時,需滿足(1)a,b必須都是正數(shù)(一正);(2)當(dāng)a+b為定值時,可以知道ab的最大值,當(dāng)ab為定值時,可以知道a+b的最小值(二定);(3)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立(三相等).
◆ 探究點(diǎn)三　利用基本不等式比較大小
例3 已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,試比較+,,4的大小.
變式 已知a>1,則,,三個數(shù)的大小關(guān)系是 (　 )
A.<<
B.<<
C.<<
D.<<
[素養(yǎng)小結(jié)]
應(yīng)用基本不等式比較大小,一般有兩種思路:(1)結(jié)合基本不等式,確定每個式子的范圍,用不等式的傳遞性比較大小;(2)觀察待比較式子的結(jié)構(gòu)特征,合理選取基本不等式或其變式,利用不等式的性質(zhì)比較大小.
◆ 探究點(diǎn)四　利用基本不等式證明不等式
[提問] 要證明不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx,你會聯(lián)想到哪些不等式 通過怎樣的方式求證呢


例4 設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:++≥a+b+c.
變式 [2024·福建將樂一中高一月考] 已知a>0,b>0,且a+b=2,證明:+≤2.
[素養(yǎng)小結(jié)]
要證明的不等式具有一邊或兩邊是三個式子相加或相乘的形式時,通常先用基本不等式兩兩結(jié)合,再用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)來證明.
拓展 已知a,b,c都是正實(shí)數(shù),且a+b+c=1.
求證:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
3.2　基本不等式
第1課時　基本不等式
【課前預(yù)習(xí)】
知識點(diǎn)
1.a=b　2.　
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)在基本不等式中,要求a,b都是非負(fù)數(shù),故(1)錯誤.
(2)沒有考慮x的正負(fù),當(dāng)x>0時,x+≥2=4(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時,等號成立);當(dāng)x<0時,x+=-≤-2=-4(當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時,等號成立),故(2)錯誤.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)AB　(2)B　[解析] (1)由基本不等式可知A,B正確;當(dāng)a≥0,b≥0時,a+b≥2成立(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立),故C錯誤;而D中,當(dāng)a<0時,該不等式不成立.故選AB.
(2)因?yàn)閎>a>0,所以>,ab>a2,2b>b+a,所以b>,>a,所以a<<變式　BC　[解析] 對于A,當(dāng)a=1時, a2+1=2a=2,故A錯誤.對于B,由題意可知 x≠0,所以 |x|>0,>0,所以=|x|+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)|x|=,即x=±1時取等號,故B正確.對于C,因?yàn)閤2+1>0,所以x2+=x2+1+-1≥2-1=1,當(dāng)且僅當(dāng)x2+1=,即x=0時取等號,故C正確.對于D,當(dāng)a=1,b=4時,==>2,故D錯誤.故選BC.
探究點(diǎn)二
例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)由x>0,得y=9x+-2≥2-2=4,當(dāng)且僅當(dāng)9x=,即x=時,等號成立,所以當(dāng)x>0時,函數(shù)y=9x+-2有最小值4.故選B.
(2)由x>2,得x-2>0,所以x+=x-2++2≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=,即x=3時,等號成立,所以x+的最小值為4.故選C.
變式　(1)C　(2)B　[解析] (1)因?yàn)閤>0,所以4-2x-=4-≤4-2=4-4=0,當(dāng)且僅當(dāng)2x=,即x=1時,等號成立,所以4-2x-的最大值是0.故選C.
(2)由x>0,得=x+-1≥2-1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時等號成立,所以的最小值為3,故選B.
探究點(diǎn)三
例3　解:∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≤=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時,等號成立.
∴+==≥4,==-ab≥-=,即≤4.
故+≥4≥.
變式　C　[解析] 易知當(dāng)a,b是正數(shù)時,≤≤(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號同時成立),令b=1,得≤≤(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時,等號同時成立).又a>1,所以<<,故選C.
探究點(diǎn)四
提問 解:聯(lián)想到不等式x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時,三式中的等號同時成立),將它們相加再化簡即可.
例4　證明:∵a,b,c都是正數(shù),∴,,也都是正數(shù),
∴+≥2c,+≥2a,+≥2b,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,三式中的等號同時成立,三式相加得2≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.
變式　證明:因?yàn)椤痢?當(dāng)且僅當(dāng)a=1時等號成立,×≤,當(dāng)且僅當(dāng)b=1時等號成立,
所以×+×≤+=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時,等號成立,則(+)≤4,即+≤2,故得證.
拓展　證明:∵a+b+c=1,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b).
又∵a,b,c都是正實(shí)數(shù),∴≥>0,≥>0,≥>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時,三式中的等號同時成立.
∴≥abc,
∴(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.

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