資源簡介

第2課時　基本不等式的簡單應用
【學習目標】
1.能夠運用基本不等式變形求最值.
2.掌握基本不等式在實際問題中的應用.
◆ 知識點一　基本不等式與最大(小)值
當x,y均為正數(shù)時,下面的命題均成立:
(1)若x+y=s(s為定值),則當且僅當x=y時,xy取得最大值;
(2)若xy=p(p為定值),則當且僅當x=y時,x+y取得最小值2.
拓展:當a>0,b>0時,≤≤≤,當且僅當a=b時,等號同時成立.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)對于實數(shù)a,b,若ab為定值,則a+b有最小值. (　 )
(2)若x>2,則x+的最小值為2. (　 )
◆ 知識點二　基本不等式在實際問題中的應用
用基本不等式解決實際問題時的常用思路
(1)理解題意,設出變量,設變量時一般把需要求最大值或最小值的變量定義為函數(shù);
(2)建立相應的函數(shù)關系式,把實際問題轉化、抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題;
(3)根據(jù)已知變量的范圍,求出函數(shù)的最大值或最小值;
(4)結合實際意義求出正確的答案,回答實際問題.
◆ 探究點一　利用基本不等式的變形求最值
例1 (1)若x>3,則x+的最小值為　　　　.
(2)若x>0,y>0,且+=1,則x+2y的最小值是　　　　.
(3)設0(4)設x>1,則y=的最小值為　　　　.
變式 (1)已知x<,則y=4x-2+的最大值為　　　　.
(2)已知x>0,y>0,且+=1,則xy的最小值為　　　　.
[素養(yǎng)小結]
(1)利用基本不等式求最值時,各項必須為正數(shù),小于0的項可以通過取相反數(shù)或絕對值變?yōu)榇笥?的項后再求解;(2)等號能否成立是一個關鍵步驟,要認真驗證,不能省略;(3)主要方法有常數(shù)代換法、湊配法、分離變量法、多元化一元法等.　　　　　 　　　　　 　　　　　
拓展 [2024·黑龍江龍東五地高一期中] 已知a>0,b>0,2a+b=ab,則+的最小值為 (　 )
A.2 B.3 C.2 D.4
◆ 探究點二　基本不等式在實際問題中的應用
例2 某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境,計劃建一個八邊形的休閑區(qū)域,它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200 m2的“十字形”地域,如圖所示.現(xiàn)計劃在正方形MNPO上建一花壇,造價為4200元/m2,在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪花崗巖地坪,造價為210元/m2,再在四個空角上鋪草坪,造價為80元/m2.設總造價為S元,AD邊的長為x m.
(1)試建立S關于x的函數(shù)關系式;
(2)至少要投入多少元才能建造這個休閑區(qū)域
變式 [2024·陜西榆林府谷中學高一月考] 某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙(記為矩形ABCD,如圖)上設計四個等高的宣傳欄(欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且GH=2EF),宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為36 000 cm2.為了美觀,要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10 cm(宣傳欄中相鄰兩個三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10 cm),設EF=x cm.
(1)當x=60時,求海報紙(矩形ABCD)的周長;
(2)為節(jié)約成本,應如何選擇海報紙的尺寸,可使用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小)
[素養(yǎng)小結]
在應用基本不等式解決實際問題時,應注意以下兩點:
(1)從題意中要確定使得基本不等式中等號成立的條件,或者從構建的函數(shù)模型中直接求出等號成立的條件;
(2)所求出的最值必須符合實際情況.
第2課時　基本不等式的簡單應用
【課前預習】
知識點一
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)要求a,b都為正實數(shù)且等號能取到,才會有最值,故(1)錯誤;(2)取不到等號,錯誤.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)+3　(2)8　(3)　(4)2　[解析] (1)(湊配法)因為x>3,所以2x-6>0,所以x+=x-3++3≥2+3=+3,當且僅當x-3=,即x=3+時,等號成立,故x+的最小值為+3.
(2)(常數(shù)代換法)因為x>0,y>0,且+=1,所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,當且僅當即時,等號成立,所以x+2y的最小值為8.
(3)(湊配法)∵0(4)(分離變量法) ∵x>1, ∴ y===x-1+≥2=2, 當且僅當x-1=,即x=+1時等號成立,∴y=的最小值為2.
變式　(1)1　(2)36　[解析] (1)因為x<,所以5-4x>0,所以y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,當且僅當5-4x=,即x=1時,等號成立.故y=4x-2+的最大值為1.
(2)因為x>0,y>0,所以+=≥==(當且僅當y=9x時,等號成立),又因為+=1,所以≤1,則xy≥36,當且僅當x=2,y=18時,等號成立,即xy的最小值為36.
拓展　A　[解析] (多元化一元法)由a>0,b>0,2a+b=ab,得(a-1)(b-2)=2,∴b-2=,∴b=>0,故a-1>0.又a-1=,∴+= +(a-1)≥2,當且僅當=a-1,即a=2,b=4時等號成立,即+的最小值為2,故選A.
探究點二
例2　解:(1)設DO邊的長為y m,則x2+4xy=200,即y=,∴S=4200x2+210×4xy+80×4×y2=38 000+4000x2+(0(2)S=38 000+4000x2+≥38 000+2=118 000,當且僅當4000x2=,即x=時,等號成立,故Smin=118 000.
因此,至少要投入118 000元才能建造這個休閑區(qū)域.
變式　解:(1)設陰影部分直角三角形中EF邊上的高為y cm,
則陰影部分的面積S=6×xy=3xy=36 000,所以xy=12 000,又x=60,所以y=200.
由圖可知AD=y+20=220(cm),AB=3x+50=230(cm),
故海報紙的周長為2×(220+230)=900(cm).
(2)由(1)知xy=12 000,x>0,y>0,
則S矩形ABCD=(3x+50)(y+20)=3xy+60x+50y+1000≥3xy+2+1000=49 000,
當且僅當6x=5y,即x=100,y=120時等號成立,
此時,AB=350 cm,AD=140 cm.
故選擇長、寬分別為350 cm,140 cm的矩形海報紙,可使用紙量最少.

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