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4.2　一元二次不等式及其解法
【學習目標】
1.能夠從實際情境中抽象出一元二次不等式模型,了解一元二次不等式的現實意義,發展數學建模素養.
2.探索并歸納一般的一元二次函數與一元二次方程、一元二次不等式之間的關系,進一步完成一元二次函數的再認識.
3.通過類比一元一次不等式的求解,從具體實例探究一元二次不等式的解法,感受從特殊到一般的研究方法及函數、方程、不等式的基本思想,感悟函數的基本觀點,總結求解一元二次不等式的步驟,發展數學運算素養.
◆ 知識點一　一元二次不等式
1.定義:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x為未知數,a,b,c均為常數,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解集:使一元二次不等式成立的所有未知數的值組成的集合叫作這個一元二次不等式的解集.
◆ 知識點二　三個“二次”之間的關系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次函數 y=ax2+bx+c (a>0)的圖象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有兩個相異實根x1,x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1【診斷分析】 1.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實根為x1,x2(x10(a≠0)的解集一定為{x|xx2}嗎
2.一元二次函數與一元二次不等式有什么關系
◆ 探究點一　解一元二次不等式
例1 解下列不等式:
(1)-2x2+x+1<0;
(2)3x2+5≤3x;
(3)-2x2+5x+7≥0.
變式 (1)[2024·廣東珠海金磚四校高一期中] 不等式(x+1)(2-x)>0的解集是 (　 )
A.{x|x<-1}
B.{x|x<-1或x>2}
C.{x|-1D.{x|x>2}
(2)[2024·江蘇徐州高級中學高一期中] 不等式x(x+2)[素養小結]
解一元二次不等式時,若二次項系數為負數,則可先將二次項系數化為正數,再求對應方程的根,并根據根的情況畫出對應函數的圖象,觀察圖象寫出解集.
◆ 探究點二　解含參數的一元二次不等式
例2 解關于x的不等式ax2-x>0(a∈R).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (多選題)[2024·安徽六安二中高一期中] 對于給定實數a,關于x的一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集可能為 (　 )
A. B.(-1,a) C.(a,-1) D.(a,+∞)
[素養小結]
含參數的一元二次不等式的解法
◆ 探究點三　三個“二次”之間的關系及應用
例3 若關于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為,求關于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.
變式 若將例3中的“”改為“”,其他條件不變,如何求解
[素養小結]
(1)在三個“二次”中,二次函數是主體,討論二次函數主要是為了將問題轉化為一元二次方程或一元二次不等式的形式來研究.
(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的二次函數相聯系,通過二次函數的圖象及性質來解決問題,關系如下:
4.2　一元二次不等式及其解法
【課前預習】
知識點二
診斷分析
1.解:不一定.當a>0時,不等式的解集為{x|xx2};當a<0時,不等式的解集為{x|x12.解:(1)從“形”的方面看:一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)在x軸上方的圖象上的所有點的橫坐標組成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集;一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)在x軸下方的圖象上的所有點的橫坐標組成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
(2)從“數”的方面看:當一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的函數值大于0時,相應的自變量的值組成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集;當一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的函數值小于0時,相應的自變量的值組成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)由-2x2+x+1<0得2x2-x-1>0,
因為方程2x2-x-1=0的Δ=1-4×2×(-1)>0,
所以該方程有兩個不相等的實數根,解得x1=-,x2=1,
畫出函數y=2x2-x-1的圖象,由圖可知原不等式的解集為.
(2)由3x2+5≤3x,得3x2-3x+5≤0,
令3x2-3x+5=0,可知Δ=9-4×3×5=-51<0,
又函數y=3x2-3x+5的圖象開口向上,
所以易知3x2-3x+5≤0的解集為 ,
即3x2+5≤3x的解集為 .
(3)由-2x2+5x+7≥0可得2x2-5x-7≤0,
因為方程2x2-5x-7=0的Δ=25-4×2×(-7)>0,
所以該方程有兩個不相等的實數根,解得x1=-1,x2=,
結合一元二次函數y=2x2-5x-7的圖象得原不等式的解集為.
變式　(1)C　(2)　[解析] (1)不等式(x+1)(2-x)>0可化為(x+1)(x-2)<0,解得-1(2)不等式x(x+2)探究點二
例2　解:①當a=0時,不等式即為-x>0,解得x<0,
此時不等式的解集為(-∞,0).
②當a≠0時,方程ax2-x=0有兩個不相等的實根,分別為0和.
當a>0時,>0,此時不等式的解集為(-∞,0)∪;當a<0時,<0,此時不等式的解集為.
綜上所述,當a>0時,不等式的解集為(-∞,0)∪;當a=0時,不等式的解集為(-∞,0);
當a<0時,不等式的解集為.
變式　ABC　[解析] 一元二次不等式(x-a)(x+1)<0對應的一元二次方程為(x-a)(x+1)=0,兩根為a和-1.當a>-1時,一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集為(-1,a);當a=-1時,不等式(x-a)(x+1)<0可化為(x+1)2<0,無解,則一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集為 ;當a<-1時,一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集為(a,-1).故選ABC.
探究點三
例3　解:由題意知可得
代入不等式cx2-bx+a>0,
得ax2+ax+a>0(a<0),
即x2+x+1<0,化簡得x2+5x+6<0,解得-3變式　解:由題意知可得
代入不等式cx2-bx+a>0,
得ax2+ax+a>0(a>0),
即x2+x+1>0,化簡得x2+5x+6>0,
解得x>-2或x<-3.
所以所求不等式的解集為{x|x>-2,或x<-3}.

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