資源簡介

4.3　一元二次不等式的應用
【學習目標】
1.能夠從實際生產和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解決.
2.掌握與一元二次不等式有關的恒成立問題的解法.
3.體會化歸與轉化思想的應用,加強數學建模素養的培養.
◆ 知識點　一元二次不等式的應用
利用不等式解決實際問題的一般步驟:
(1)選取合適的字母表示題中的未知數;
(2)由題中給出的不等關系,列出關于未知數的不等式(組);
(3)求解所列出的不等式(組);
(4)結合題目的實際意義確定答案.
◆ 探究點一　一元二次不等式恒成立問題
例1 (1)若對于一切實數x,不等式mx2-mx-1<0恒成立,則m的取值范圍是　　　　.
(2)若對任意的x∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范圍.
變式 (1)當10恒成立,則實數m的取值范圍為　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
(2)已知二次函數y=x2+mx-1,若對任意x∈[m,m+1],都有y<0,則實數m的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
[素養小結]
(1)對于一元二次不等式在R上恒成立的問題,通常轉化為不等式組來求解.一般地,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立的條件是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立的條件是若所給不等式未指明為一元二次不等式,還應注意對二次項的系數進行討論,需驗證二次項系數為0時是否滿足題意.
(2)對于給定區間的恒成立問題,通常轉化為最值問題來求解.
◆ 探究點二　一元二次不等式的實際應用
例2 某農貿公司按每擔200元的價格收購某農產品,并按收購金額的10%納稅(又稱征稅率為10個百分點),計劃可收購a萬擔.當地政府為了鼓勵農貿公司多收購這種農產品,決定將征稅率降低x(0(1)寫出降低征稅率后稅收y(萬元)與x的函數關系式;
(2)要使此項稅收在征稅率調節后不少于原計劃稅收的83.2%,試確定x的取值范圍.
變式 (多選題)[2024·四川合江馬街中學高一月考] 某文具店購進一批新型臺燈,若按每盞臺燈15元的價格銷售,每天能賣出30盞,若單價每提高1元,則日銷售量將減少2盞.為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400)的銷售收入,則這批臺燈的單價x(單位:元)的取值可以是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.18 B.15 C.16 D.20
[素養小結]
求解數學應用題,需要過三關.
(1)事理關:通過閱讀、理解,找出關鍵詞、句,確定條件是什么,要解決什么問題.
(2)文理關:將實際問題的文字語言轉化為數學符號語言,用數學式子表達數學關系.
(3)數理關:構建相應的數學模型,并求解模型,得到問題的答案.
拓展 為配制一種藥液,進行了二次稀釋,先在容積為V升的桶中盛滿純藥液,第一次將桶中藥液倒出10升后用水補滿,攪拌均勻,第二次倒出8升后用水補滿,若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%,則V的取值范圍為　　　　.
4.3　一元二次不等式的應用
【課中探究】
探究點一
例1　(1)-4解得-4(2)解:方法一:要使mx2-mx-1<-m+5對x∈[1,3]恒成立,需滿足m+m-6<0對x∈[1,3]恒成立.
令y=m+m-6,x∈[1,3],
則當m>0時,y在[1,3]上隨自變量x的增大而增大,所以ymax=7m-6<0,所以0當m=0時,-6<0恒成立;
當m<0時,y在[1,3]上隨自變量x的增大而減小,
所以ymax=m-6<0,所以m<6,所以m<0.
綜上所述,m<.
方法二:當x∈[1,3]時,mx2-mx-1<-m+5恒成立,
即當x∈[1,3]時,m(x2 -x+1)-6<0恒成立.
因為x2-x+1=+>0,
所以當x∈[1,3]時,m<恒成立.
易知函數y==在[1,3]上的最小值為,所以只需m<即可.
變式　(1)[-4,+∞)　(2)D　[解析] (1)令y=x2+mx+4,易知函數y=x2+mx+4的圖象的對稱軸為直線x=-.當-≤1,即m≥-2時,1+m+4≥0,解得m≥-5,所以m≥-2.當1<-<2,即-4(2)根據題意需滿足解得-探究點二
例2　解:(1)降低征稅率后的征稅率為(10-x)%,農產品的收購量為a(1+2x%)萬擔,收購總金額為200a(1+2x%)萬元,
依題意得y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(10-x)(0(2)原計劃稅收為200a×10%=20a(萬元).
依題意得a(10-x)≥20a×83.2%,化簡得x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2.
因為0故x的取值范圍是0變式　ABC　[解析] 由題意知,為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400)的銷售收入,需滿足x[30-2(x-15)]>400,整理得x2-30x+200<0,解得10拓展　10≤V≤40　[解析] 第一次操作后,桶中剩下的純藥液為(V-10)升,第二次操作后,桶中剩下的純藥液為升.由題意可知V-10-×8≤V·60%,化簡得V2-45V+200≤0,解得5≤V≤40,因為V≥10,所以10≤V≤40.

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