資源簡介

§4　一元二次函數與一元二次不等式
4.1　一元二次函數
【學習目標】
1.通過具體實例研究一元二次函數的圖象和性質,得到一般性結論,培養歸納、抽象能力.
2.掌握一元二次函數的概念、表達式、圖象與性質,會用配方法解決有關問題,能熟練地求一元二次函數的最值.
◆ 知識點一　一元二次函數
定義:一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0),那么y叫作x的一元二次函數.
結構特征:(1)等號左邊是因變量,右邊是關于自變量x的二次式,x的最高次數是　　　　;
(2)二次項系數不為　　　　.
【診斷分析】 一元二次函數的解析式有哪幾種形式
◆ 知識點二　一元二次函數的圖象及變換
1.拋物線的定義:通常把一元二次函數的圖象叫作拋物線.
2.一元二次函數圖象的平移
一元二次函數y=a(x-h)2+k的圖象可以由y=ax2的圖象經過向左(或向右)平移　　　　個單位長度,再向上(或向下)平移　　　　個單位長度得到.且有以下規律:“h正右移,h負左移”,“k正上移,k負下移”.
◆ 知識點三　一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的性質
函數 一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)
圖象 a>0 a<0
(續表)
函數 一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)
性質 圖象開口　　　　,并向上無限延伸 圖象開口　　　　,并向下無限延伸
對稱軸方程為　　　　　, 頂點坐標為　　　　
在區間上,函數值y隨自變量x的增大而　　　　;在區間上,函數值y隨自變量x的增大而　　　　 在區間上,函數值y隨自變量x的增大而　　　　　;在區間上,函數值y隨自變量x的增大而　　　　
當x=-時,y取得最小值　　　 當x=-時,y取得最大值　　　
【診斷分析】 1.函數y=x2-4x+3,x∈[1,4]的最小值為　　　　.
2.如何判斷一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的交點個數
◆ 探究點一　一元二次函數解析式的求解
例1 已知一元二次函數的圖象經過點(2,-1),(-1,-1),且函數的最大值為8,求該一元二次函數的解析式.
變式 已知一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過原點,圖象關于直線x=1對稱且函數的最小值為-1,求該一元二次函數的解析式.
[素養小結]
一元二次函數解析式的求法
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,且a≠0).
當已知拋物線上的任意三點時,通常將函數的解析式設為一般式,然后列出三元一次方程組并求解.
(2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數,且a≠0).
當已知拋物線的頂點坐標和拋物線上另一點的坐標時,通常將函數的解析式設為頂點式.
(3)交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常數,且a≠0).當已知拋物線與x軸的交點的橫坐標時,通常將函數的解析式設為交點式.
◆ 探究點二　一元二次函數的圖象及變換
例2 (1)設abc>0,則一元二次函數y=ax2+bx+c的圖象可能是 (　 )
A B C D
(2)為了得到函數y=-2x2+4x+6的圖象,只需把函數y=-2x2的圖象 (　 )
A.向左平移1個單位長度,再向上平移8個單位長度
B.向右平移1個單位長度,再向上平移8個單位長度
C.向左平移1個單位長度,再向下平移8個單位長度
D.向右平移1個單位長度,再向下平移8個單位長度
變式 將函數y=x2+bx+c的圖象向左平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度,便得到函數y=x2-2x+1的圖象,求b,c的值.
[素養小結]
一元二次函數y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象在平移過程中,a不變,只是h或k發生變化,故對于一元二次函數圖象的平移問題,關鍵是準確地求出函數圖象的頂點坐標.
◆ 探究點三　一元二次函數性質的應用
例3 [2024·北京五十五中高一期中] (1)求函數y=x2+2x-3,x∈[-2,3]的最大值和最小值;
(2)若函數y=x2+ax-3在[1,3]上的最小值為1,求實數a的值.
變式 已知函數y=x2-2x+4在區間[0,m](m>0)上的最大值為4,最小值為3,則實數m的取值范圍是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1≤m≤2 B.0C.0[素養小結]
因為一元二次函數的最值與其圖象的對稱軸有關,所以求解一元二次函數的最值問題時,需要利用配方法,確定一元二次函數圖象的對稱軸的位置,從而確定當自變量x為何值時,一元二次函數取得最值.
§4　一元二次函數與一元二次不等式
4.1　一元二次函數
【課前預習】
知識點一
2　0
診斷分析
解:一元二次函數的解析式有以下三種形式.
一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0);
交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
任意一個一元二次函數的解析式都有一般式和頂點式,但不一定有交點式.
知識點二
2.|h|　|k|　
知識點三
向上　向下　x=-　　減小　增大　增大　減小　　
診斷分析
1.-1　[解析] 因為y=x2-4x+3=(x-2)2-1,x∈[1,4],所以當x=2時,函數取得最小值-1.
2.解:若b2-4ac>0,則函數圖象與x軸有兩個交點;若b2-4ac=0,則函數圖象與x軸有一個交點;若b2-4ac<0,則函數圖象與x軸沒有交點.
【課中探究】
探究點一
例1　解:方法一:利用一元二次函數的一般式.
根據題意可設y=ax2+bx+c(a≠0),
由題意得可得
故所求一元二次函數的解析式為y=-4x2+4x+7.
方法二:利用一元二次函數的交點式.
根據題意可設y+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
即y=ax2-ax-2a-1(a≠0).
∵函數有最大值8,∴=8,可得a=-4.
故所求一元二次函數的解析式為y=-4x2+4x+7.
方法三:利用一元二次函數的頂點式.
根據題意可設y=a(x+m)2+n(a≠0).
∵函數圖象經過點(2,-1),(-1,-1),∴函數圖象的對稱軸為直線x==,∴m=-,
又函數的最大值為8,∴n=8,∴y=a+8.
把點(2,-1)的坐標代入,得a+8=-1,可得a=-4,∴y=-4+8=-4x2+4x+7.
故所求一元二次函數的解析式為y=-4x2+4x+7.
變式　解:由題可得解得
所以該一元二次函數的解析式為y=x2-2x.
探究點二
例2　(1)D　(2)B　[解析] (1)由A中的圖象知,a<0,c<0,-<0,所以b<0,與abc>0矛盾;由B中的圖象知,a<0,c>0,->0,所以b>0,與abc>0矛盾;由C中的圖象知,a>0,c<0,-<0,所以b>0,與abc>0矛盾;由D中的圖象知,a>0,c<0,->0,所以b<0,abc>0成立.故選D.
(2)y=-2x2+4x+6可化為y=-2(x-1)2+8,故將y=-2x2的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移8個單位長度即可得到y=-2(x-1)2+8的圖象.故選B.
變式　解:∵y=x2-2x+1可變形為y=(x-1)2,
∴函數y=x2-2x+1的圖象的頂點坐標為(1,0).
根據題意,把此函數的圖象反向平移,可得到函數y=x2+bx+c的圖象,即把函數y=x2-2x+1的圖象向下平移3個單位長度,再向右平移2個單位長度,就可得到函數y=x2+bx+c的圖象,此時點(1,0)平移至點(3,-3)處,
∴函數y=x2+bx+c的圖象的頂點坐標是(3,-3),
則解析式為y=(x-3)2-3=x2-6x+6,
對照y=x2+bx+c,得b=-6,c=6.
探究點三
例3　解:(1)函數y=x2+2x-3的圖象開口向上,且圖象的對稱軸為直線x=-1,
又x∈[-2,3],所以當x=-1時,y=x2+2x-3取得最小值-4,當x=3時,y=x2+2x-3取得最大值12.
所以函數y=x2+2x-3,x∈[-2,3]的最大值為12,最小值為-4.
(2)y=x2+ax-3的圖象的對稱軸為直線x=-,圖象開口向上.
①當-≤1,即a≥-2時,函數y=x2+ax-3在x=1處取得最小值1,即a-2=1,得a=3,符合題意;
②當-≥3,即a≤-6時,函數y=x2+ax-3在x=3處取得最小值1,即3a+6=1,得a=-,與a≤-6矛盾,舍去;
③當1<-<3,即-6綜上可得a=3.
變式　A　[解析] 由y=x2-2x+4可知其圖象的對稱軸為直線x=1,圖象開口向上,所以易知ymin=1-2+4=3,所以m≥1.令x2-2x+4=4,解得x=0或x=2,易知1≤m≤2.

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