資源簡介

2.2　函數的表示法
【學習目標】
1.掌握函數常用的三種表示法.
2.能根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數,了解函數不同表示法的優缺點.
3.理解分段函數及其表示法,會處理某些簡單的分段函數問題.
4.培養數形結合與分類討論的數學思想,激發學習熱情.
◆ 知識點　函數的表示法
函數的 表示 方法 解析法 一個函數的對應關系可以用　　　的解析表達式(簡稱解析式)表示出來,這種方法稱為解析法
列表法 用　　　　的形式表示兩個變量之間的函數關系的方法,稱為列表法
圖象法 用　　　　把兩個變量間的函數關系表示出來的方法,稱為圖象法
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)任何一個函數都可以用圖象法表示. (　 )
(2)函數的圖象一定是其定義域上的一條連續不斷的曲線. (　 )
(3)函數f(x)=x+1與g(x)=x+1(x∈N)的圖象相同. (　 )
◆ 探究點一　函數的解析式
例1 根據下列條件,求f(x)的解析式.
(1)已知f(x)滿足f(x+1)=x2+4x+1;
(2)已知f(x)是二次函數,且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x;
(3)已知f(x)滿足f()=x-1;
(4)已知f(x)滿足2f+f(x)=x(x≠0).
變式 (1)已知f(-1)=2x-8+11,則函數f(x)的解析式為　　　　　　　　　　　.
(2)(多選題)已知一次函數f(x)滿足f[f(x)]=81x+80,則f(x)的解析式可能為 (　 )
A.f(x)=9x+8
B.f(x)=-9x-8
C.f(x)=9x+10
D.f(x)=-9x-10
[素養小結]
求解函數解析式的幾種常用方法:
(1)待定系數法,如果已知函數的類型,通常用待定系數法;
(2)換元法或配湊法,已知復合函數f[g(x)]的表達式可用換元法,當表達式較簡單時也可用配湊法;
(3)消參法,若已知抽象函數f(x)的表達式,則可用解方程組消參的方法求解f(x).
拓展 [2024·四川自貢高一期中] 已知f(x)+2f(-x)=9x+2,則f(x)的解析式為　　　　.
◆ 探究點二　作函數圖象
例2 作出下列函數的圖象.
(1)y=x+1(x∈Z);
(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).
變式 已知函數f(x)=
(1)求f,f的值;
(2)在給出的平面直角坐標系(如圖)中,畫出f(x)的圖象;
(3)由(2)中作出的圖象指出函數f(x)的值域.
[素養小結]
作函數圖象時通常需通過列表、描點、連線三個步驟來完成,具體作圖時需注意四點:(1)先確定函數的定義域,要在定義域內作圖;(2)圖象是實線還是虛線,定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象;(3)作分段函數的圖象時,應根據不同取值范圍上的解析式分別作出;(4)函數圖象可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等.
◆ 探究點三　列表法表示函數
例3 (1)已知函數f(x),g(x)分別由下表給出,則
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
①f[g(1)]=　　　　;
②若g[f(x)]=2,則x=　　　　.
(2)已知函數f(x)由下表給出,
x x<1921 1921≤ x<1949 1949≤ x<2021 2021≤ x<2049 x≥2049
f(x) 1 2 3 4 5
則f[1949f(2022)]的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3 C.4 D.5
[素養小結]
用列表法表示函數時不用計算函數值,看表就知道函數值,列表法必須羅列出所有的自變量與函數值之間的對應關系.不是所有函數都可以用列表法表示,如函數f(x)=x.
◆ 探究點四　求分段函數的解析式
[提問] 如何求分段函數的解析式


例4 某市出租汽車收費標準如下:路程在3 km以內(含3 km)按起步價11元收費,超過3 km的路程按2.4元/km收費.
(1)試寫出收費額y(單位:元)關于路程x(單位:km)的函數解析式;
(2)若王先生某次乘車付車費35元,求此次出租車行駛的路程.
變式 已知函數f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式是　　　　　　　　.
[素養小結]
求實際問題中的分段函數,應結合實際問題的意義進行分段,求出自變量在各個取值范圍內的對應關系(解析式或圖象)即可.
2.2　函數的表示法
【課前預習】
知識點
自變量　表格　圖象
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)有些函數是不能畫出圖象的,如f(x)=
(2)函數圖象可以是連續不斷的曲線,也可以是直線、折線、孤立的點等.如f(x)=的圖象就不是連續不斷的曲線.
(3)兩函數的定義域不同,故圖象不同.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+2(x+1)-2,
所以f(x)=x2+2x-2.
(2)設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因為f(0)=1,所以c=1,
因為f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,整理得2ax+a+b=2x,
所以解得所以f(x)=x2-x+1.
(3)令t=,則t≥0,所以x=t2-1,則f(t)=t2-1-1=t2-2,t≥0,所以f(x)=x2-2(x≥0).
(4)在2f+f(x)=x(x≠0)①中,用替換x得2f(x)+f=(x≠0)②,
由②得f=-2f(x)③,
將③代入①得f(x)=-(x≠0).
變式　(1)f(x)=2x2-4x+5(x≥-1)　(2)AD
[解析] (1)設t=-1,則t≥-1,=t+1,所以f(t)=2(t+1)2-8(t+1)+11=2t2-4t+5,所以f(x)的解析式為f(x)=2x2-4x+5(x≥-1).
(2)設f(x)=kx+b(k≠0),則f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=81x+80,所以解得或則f(x)=9x+8或f(x)=-9x-10.故選AD.
拓展　f(x)=-9x+　[解析] 因為f(x)+2f(-x)=9x+2,所以f(-x)+2f(x)=-9x+2,兩式聯立解得f(x)=-9x+.
探究點二
例2　解:(1)這個函數的圖象由一些點組成,這些點都在直線y=x+1上,其部分圖象如圖①所示.
(2)因為0≤x<3,所以這個函數的圖象如圖②所示.
變式　解:(1)因為f(x)=
所以f=+2×=-, f=-+2×=.
(2)f(x)的圖象如圖所示.
(3)由f(x)的圖象可知函數f(x)的值域為[-1,1].
探究點三
例3　(1)①1?、?　(2)D　[解析] (1)①由表知g(1)=3,∴f[g(1)]=f(3)=1.
②由表知g(2)=2,∵g[f(x)]=2,∴f(x)=2,由表知x=1.
(2)∵f(2022)=4,∴f[1949f(2022)]=f(1949×4)=5.故選D.
探究點四
提問 解:根據不同“段”上的自變量,分段求出解析式.
例4　解:(1)由題意知當0≤x≤3時,y=11,當x>3時,y=11+2.4(x-3)=2.4x+3.8,
因此y關于x的函數解析式為y=
(2)由(1)可知y=由y=35,
得2.4x+3.8=35,解得x=13,
即此次出租車行駛的路程為13 km.
變式　f(x)=　[解析] 函數f(x)的圖象由兩條線段組成,結合圖象知f(x)=

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