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§3　函數的單調性和最值
第1課時　函數的單調性和最值
【學習目標】
1.利用圖象判斷函數的單調性、尋找函數的單調區間.
2.掌握函數的單調性的定義,會用定義法證明函數的單調性.
3.熟悉常見函數(絕對值函數、二次函數、分段函數等)的單調性及簡單應用.
4.通過函數單調性的概念的學習和簡單的應用,體會數形結合、分類討論等基本的數學思想方法,提高數學運算和直觀想象能力.
◆ 知識點一　函數單調性的定義
1.增函數
設函數y=f(x)的定義域是D.如果對于任意的x1,x2∈D,當x12.減函數
設函數y=f(x)的定義域是D.如果對于任意的x1,x2∈D,當x1【診斷分析】 判斷函數f(x)=x2在區間[-1,1]上的單調性時,因為-1,0∈[-1,1],f(-1)>f(0),所以函數f(x)在區間[-1,1]上單調遞減,這種敘述對嗎
◆ 知識點二　函數的單調性與單調區間
如果函數y=f(x)在區間I上單調遞增或單調遞減,那么就稱函數y=f(x)在區間I上具有　　　　.此時,區間I為函數y=f(x)的　　　　　　.
【診斷分析】 1.如果函數f(x)在定義域上的兩個區間D1,D2上都單調遞減,那么f(x)的單調遞減區間能寫成D1∪D2嗎
2.任何函數在定義域上都具有單調性嗎
◆ 知識點三　函數的最大值與最小值
最大值 最小值
條件 設函數y=f(x)的定義域為D,存在實數M,對所有的x∈D,都有
f(x)　　　　M f(x)　　　　M
存在x0∈D,使得　　　　　
結論 稱M為函數y=f(x)的最大值 稱M為函數y=f(x)的最小值
幾何 意義 f(x)圖象上最高點的　　　 f(x)圖象上最低點的　　　
【診斷分析】 若函數f(x)=x2滿足f(x)≥-1恒成立,則此函數的最小值就是-1嗎
◆ 探究點一　函數單調性定義的理解
例1 若函數f(x)的定義域為(0,+∞),且滿足f(2)A.是增函數 B.是減函數
C.先增后減 D.單調性無法確定
變式 下列說法正確的是 (　 )
A.在區間A上存在x1,x2,當x1B.所有的函數都具有單調性
C.函數f(x)=-在整個定義域上是增函數
D.若函數f(x)在R上單調,且f(0)>f(2),則函數f(x)在R上是減函數
[素養小結]
函數單調性的定義中x1,x2有三個特征:一是x1,x2屬于同一區間;二是x1,x2是該區間內的任意兩個實數,判斷單調性時不能用兩個特殊值代替;三是x1,x2有大小之分,通常規定x1◆ 探究點二　利用圖象求函數的單調區間、最值
例2-1 函數y=f(x),x∈[-4,7]的圖象如圖所示,求函數的單調區間及最值.
例2-2 已知函數f(x)=
(1)畫出函數f(x)的圖象;
(2)求函數f(x)的單調區間、最大值.
變式 (1)如圖所示是函數f(x)=x+的大致圖象,則函數f(x)的單調遞增區間是　　　　　　,單調遞減區間是　　　　　　.
(2)[2024·福建廈門高一期中] 設函數f(x)=x|x-2|.
①畫出函數f(x)的圖象;
②寫出函數f(x)的單調遞增區間;
③求f(x)在區間[1,a](a>1)上的最小值g(a).
[素養小結]
1.圖象法求函數單調區間的關鍵:
(1)作圖:準確作出函數圖象.
(2)結論:上升圖象對應單調遞增區間,下降圖象對應單調遞減區間.
2.利用圖象求函數最值,關鍵是在圖象上找到最高點和最低點的縱坐標,從而確定函數的最大值與最小值.
拓展 [2024·湖北孝感高一期中] 設函數f(x)=x+2,g(x)=x2.用M(x)表示f(x),g(x)中的較大者,記為M(x)=max{f(x),g(x)},則M(x)的最小值是　　　　.
◆ 探究點三　一元二次函數的單調性與最值
例3 已知函數f(x)=2x2+mx-1,m為實數.
(1)若m=4,求f(x)在[-2,1]上的取值范圍;
(2)若x∈[-1,1],求函數f(x)的最小值.
變式 已知函數f(x)=-x2+mx-m.
(1)若函數f(x)的值域是(-∞,0],求實數m的值.
(2)若函數f(x)在[-1,0]上單調遞減,求實數m的取值范圍.
(3)是否存在實數m,使得f(x)在[2,3]上的取值范圍是[2,3] 若存在,求出實數m的值;若不存在,說明理由.
[素養小結]
對于不含參數的一元二次函數的最值問題,只需確定二次函數圖象的對稱軸,由函數的圖象確定最高點、最低點,代入相應的自變量的值求出最值.
而對于含參數的一元二次函數的最值問題,通常需根據所給區間及圖象的對稱軸位置進行分類討論,即常見的有“動軸動區間”“動軸定區間”“定軸動區間”三種類型.
以一元二次函數f(x)的圖象開口向上、對稱軸為直線x=m為例,在區間[a,b]上,
①最小值:f(x)min=
②最大值:f(x)max=
§3　函數的單調性和最值
第1課時　函數的單調性和最值
【課前預習】
知識點一
1.f(x1)f(x2)
診斷分析
解:不對.判斷函數在區間上的單調性時不能取特殊值,而應在此區間上任選兩數x1,x2,且有大小之分,再比較f(x1)與f(x2)的大小,從而判斷單調性.
知識點二
單調性　單調區間
診斷分析
1.解:不能.單調區間不能取并集,如y=在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上也單調遞減,但不能說y=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數.
2.解:函數的單調性是指函數在定義域上或定義域的某個區間上的變化趨勢,是單調遞增或單調遞減的一種定性描述,它是函數的局部性質.有的函數不具有單調性,例如函數y=再如函數y=x+1(x∈Z),它的定義域不能用區間表示,也不能說它在定義域上具有單調性.
知識點三
≤　≥　f(x0)=M　縱坐標　縱坐標
診斷分析
解:不是.雖然x2≥-1恒成立,但在函數定義域內找不到一個x0的值使f(x0)=-1,根據最小值的定義可知題中結論不成立.
【課中探究】
探究點一
例1　D　[解析] 函數單調性的定義突出了x1,x2 的任意性,僅憑區間內有限個函數值的大小關系是不能判斷函數的單調性的,排除A,B,C.故選D.
變式　D　[解析] 根據單調性的定義可知A錯誤;不是所有的函數都具有單調性,如函數f(x)=1,B錯誤;對于C,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均單調遞增,但不能說在整個定義域上是增函數,如-1<2,而f(-1)>f(2),故C錯誤;對于D,由函數f(x)在R上單調,即f(x)在R上是增函數或減函數,且0<2,f(0)>f(2),可以判斷函數f(x)在R上是減函數,D正確.故選D.
探究點二
例2-1　解:由題圖可知,函數的單調遞增區間是[-1.5,3],[5,6],單調遞減區間是[-4,-1.5],[3,5],[6,7].
當x=3時,f(x)取得最大值3,當x=-1.5時,f(x)取得最小值-2.
故函數的最大值為3,最小值為-2.
例2-2　解:(1)函數f(x)的圖象由三段構成,每段都為一次函數圖象的一部分,作出f(x)的圖象如圖所示.
(2)由函數f(x)的圖象可知,函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,1],單調遞減區間為(1,+∞).當x=1時,函數f(x)取得最大值6,
∴函數f(x)的最大值為6.
變式　(1)(-∞,-1],[1,+∞)　[-1,0),(0,1]　[解析] 觀察圖象可知f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1],[1,+∞),單調遞減區間為[-1,0),(0,1].
(2)解:①f(x)=x|x-2|=
畫出函數f(x)的圖象如圖所示.
②由圖可知,函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,1),(2,+∞).
③由圖知,當1此時g(a)=f(a)=2a-a2;當a>2時,g(a)=f(2)=0.
所以g(a)=
拓展　1　[解析] 令x2≥x+2,解得x≥2或x≤-1,則M(x)=
作出M(x)的圖象,如圖中實線所示.由圖可知,函數M(x)的最小值為M(-1)=1.
探究點三
例3　解:(1)當m=4時,f(x)=2x2+4x-1,其圖象開口向上,對稱軸為直線x=-1,
所以f(x)在[-2,-1]上單調遞減,在(-1,1]上單調遞增.
當x∈[-2,1]時,f(x)min=f(-1)=-3,f(x)max=f(1)=5,所以f(x)在[-2,1]上的取值范圍為[-3,5].
(2)函數f(x)=2x2+mx-1的圖象開口向上,對稱軸為直線x=-.
當-≤-1,即m≥4時,函數f(x)在區間[-1,1]上單調遞增,所以f(x)min=f(-1)=1-m;
當-≥1,即m≤-4時,函數f(x)在區間[-1,1]上單調遞減,所以f(x)min=f(1)=1+m;當-1<-<1,即-4綜上,當x∈[-1,1]時,f(x)min=
變式　解:(1)∵函數f(x)=-x2+mx-m的值域是(-∞,0],且二次函數f(x)的圖象是拋物線,其開口向下,
∴方程f(x)=0有且只有一個解,即Δ=m2-4m=0,
解得m=0或m=4,∴m的值為0或4.
(2)函數f(x)=-x2+mx-m的圖象是拋物線,其開口向下,對稱軸是直線x=,要使f(x)在[-1,0]上單調遞減,應滿足≤-1,∴m≤-2,∴m的取值范圍是(-∞,-2].
(3)假設存在實數m,使得f(x)在[2,3]上的取值范圍是[2,3].當≤2,即m≤4時,f(x)在[2,3]上單調遞減,
則即無解;
當≥3,即m≥6時,f(x)在[2,3]上單調遞增,
則即解得m=6;
當2<<3,即4且f(x)在x=處取得最大值,
由f=-+m·-m=3,
解得m=-2或m=6(不滿足4

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