資源簡介

第二章　函數
§1　生活中的變量關系
【學習目標】
1.通過生活中的實際例子,認識到生活中處處可以遇到變量間的依賴關系.能夠利用初中對函數的認識,了解依賴關系與函數關系的聯系與區別.
2.培養類比分析問題的能力,并通過對現實生活中依賴關系的觀察、分析歸納和比較來提高實踐能力.
◆ 知識點一　依賴關系與函數關系
1.依賴關系
在某變化過程中有兩個變量,如果其中一個變量的值發生了變化,另一個變量的值也會隨之發生變化,那么就稱這兩個變量具有依賴關系.
2.函數關系
如果在一個變化過程中,有兩個變量x和y,對于變量x的　　　　,變量y都有　　　　的值和它對應,那么y就是x的　　　　,其中x是　　　　,y是　　　　　.
注意:函數關系一定是依賴關系,而依賴關系不一定是函數關系,要確定兩變量間的函數關系,關鍵是分清楚誰是自變量,誰是因變量.
【診斷分析】 下列兩個變量之間存在依賴關系的是　　　　,其中是函數關系的是　　　　.
①圓的周長和它的半徑;
②某同學的數學成績與他在數學學科上所花的時間;
③家庭收入與消費支出.
◆ 知識點二　分段函數
有些函數在其定義域中,對于自變量x的不同　　　　　,有著不同的　　　　　,這樣的函數叫作分段函數.
【診斷分析】 分段函數中x的取值集合分別是各段函數中x的取值集合的　　　,y的取值集合分別是各段函數中y的取值集合的　　　.
◆ 探究點一　變量間的關系
例1 (1)(多選題)若變量y是變量x的函數,則 (　 )
A.變量x,y之間具有依賴關系
B.變量x是變量y的函數
C.當x每取一個值時,變量y都有唯一的值與之對應
D.當y每取一個值時,變量x都有唯一的值與之對應
(2)下列變量間的關系是函數關系的是 (　 )
A.某種農作物單位種植面積的施肥量與產量
B.某地蔬菜的價格與蔬菜的供應量的關系
C.正方形的面積S與其邊長a之間的關系
D.光照時間和蘋果的畝產量
變式 下列過程中,各變量之間是否存在依賴關系 其中哪些是函數關系
(1)做自由落體運動的物體下落的距離與時間的關系;
(2)商品的銷售額與廣告費之間的關系;
(3)家庭的食品支出與電視機價格之間的關系.
[素養小結]
依賴關系與函數關系的判斷方法與步驟:對于兩個變量,首先判斷一個變量的改變是否影響另一個變量,若是,則兩個變量具有依賴關系;若不是,則兩個變量不具有依賴關系.當兩個變量具有依賴關系時,再判斷一個變量的確定是否決定另一個變量的確定,若是,則兩個變量是函數關系;若不是,則兩個變量是非函數關系.
◆ 探究點二　變量關系的應用
例2 大家都聽說過“龜兔賽跑”的故事:領先的兔子看著緩慢爬行的烏龜,驕傲起來,睡了一覺.當它醒來時,發現烏龜快到終點了,于是急忙追趕,但為時已晚,烏龜還是先到達了終點.用S1,S2分別表示烏龜和兔子所行的路程,t為時間,則下列圖象中與故事情節相吻合的是 (　 )
A B C D
變式 (多選題)一輛賽車在一個周長為3 km的封閉跑道上行駛,跑道由幾段直道和彎道組成,圖①反應了賽車在“計時賽”整個第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關系.
根據圖①,以下說法中正確的是 (　 )
A.在這第二圈的2.6 km到2.8 km之間,賽車速度逐漸增加
B.在整個跑道,最長的直線路程不超過0.6 km
C.大約在這第二圈的0.4 km到0.6 km之間,賽車開始了那段最長直線路程的行駛
D.在圖②的四條曲線(注:S為初始記錄數據時的位置)中,曲線B最能符合賽車的運動軌跡
[素養小結]
利用圖象表示兩個變量間的關系更加直觀,更能反映兩個變量相互影響的變化趨勢.解題時要注意關注圖象的上升、下降,增加、減小的速度快慢等特征.還要注意利用圖象中的數據.
拓展 列車從A地出發直達500 km外的B地,途中要經過離A地200 km的C地.假設列車勻速行駛,5 h后從A地到達B地.
(1)求列車的行駛速度,并建立列車與C地的距離s(單位:km)關于時間t(單位:h)的函數關系;
(2)在平面直角坐標系中畫出函數的圖象.
第二章　函數
§1　生活中的變量關系
【課前預習】
知識點一
2.每一個值　唯一確定　函數　自變量　因變量
診斷分析
①②③　①
知識點二
取值范圍　對應關系
診斷分析
并集　并集
【課中探究】
探究點一
例1　(1)AC　(2)C　[解析] (1)因為變量y是變量x的函數,所以變量x,y之間具有依賴關系,且當x每取一個值時,變量y都有唯一的值與之對應,故選AC.
(2)A是依賴關系,B是依賴關系,C是函數關系,D是依賴關系.故選C.
變式　解:(1)科學家通過實驗發現,做自由落體運動的物體下落的距離h與時間t的關系為h=gt2,其中g是常量,很顯然,對于時間t在其變化范圍內的每一個取值,都有唯一的下落距離h與之對應,故這兩個變量之間存在依賴關系,且下落距離是時間的函數.
(2)商品的銷售額與廣告費這兩個變量在現實生活中存在依賴關系,但商品的銷售額還受其他因素的影響,如產品的質量、價格、售后服務等,所以商品的銷售額與廣告費之間不是函數關系.
(3)家庭的食品支出與電視機價格之間不存在依賴關系.
探究點二
例2　D　[解析] 對于A,此函數圖象中,S2先取到最大值,即兔子先到達終點,不符合題意.對于B,此函數圖象中,S2第2段隨時間的增加一直保持不變,與“當它醒來時,發現烏龜快到終點了,于是急忙追趕”不符.對于C,此函數圖象中,S1,S2同時到達終點,不符合題意.對于D,易知符合題意.故選D.
變式　AD　[解析] 由題圖①知,在2.6 km到2.8 km之間,圖象上升,故在這第二圈的2.6 km到2.8 km之間,賽車速度逐漸增加,故A正確;在整個跑道上,高速行駛時長最長在1.8 km到2.4 km之間,但直道加減速也有過程,故最長的直線路程一定超過0.6 km,故B不正確;最長直線路程應在1.4 km到1.8 km之間開始,故C不正確;由圖①可知,跑道應有3個彎道,且直線路段兩長一短,故D正確.故選AD.
拓展　解:(1)列車的行駛速度為500÷5=100(km/h).
由題意知s=
(2)圖象如圖所示.

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