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第2課時(shí)　函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
掌握函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、最大值或最小值、奇偶性),能應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)解決一些問(wèn)題.
◆ 知識(shí)點(diǎn)　函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性
(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.
(2)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大(小)值;奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的最大(小)值與最小(大)值互為相反數(shù).
(3)奇偶性與單調(diào)性都是函數(shù)的重要性質(zhì),單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì),研究的是函數(shù)值隨自變量的變化趨勢(shì);而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì),研究的是函數(shù)圖象在整個(gè)定義域上的對(duì)稱(chēng)性.
◆ 探究點(diǎn)一　利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2-x+1,求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足y=f(x)-x2-3為奇函數(shù),函數(shù)y=f(x)+2x為偶函數(shù),求f(x)的解析式.
變式 (1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),函數(shù)g(x)為偶函數(shù),f(x)+g(x)=x2-x+1,則f(2)=(　 )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(2)將例1(1)中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”,其他條件不變,求當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)的解析式.
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用奇偶性求函數(shù)解析式的思路:(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”,即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式,x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間上.(2)利用f(x)在已知區(qū)間上的解析式,寫(xiě)出f(-x).(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出-f(x)或f(x),從而得到f(x)的解析式.
◆ 探究點(diǎn)二　利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式
例2 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,求不等式f(2x)>f(x-1)的解集.
變式 f(x)是定義在[-4,2b]上的偶函數(shù),且在[-2b,0]上單調(diào)遞增,則f(x+1)≤f(-1)的解集為 (　 )
A.[-2,0]
B.[-5,3]
C.[-5,-2]∪[0,3]
D.(-∞,-2]∪[0,+∞)
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式,首先應(yīng)利用已知條件,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)f(x2)的形式,然后再根據(jù)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性一致,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相反,脫掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式(組)求解.
◆ 探究點(diǎn)三　利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較大小
例3 f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,則 (　 )
A.f(-2)B.f(1)C.f(3)D.f(3)變式 (多選題)[2024·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中] 已知函數(shù)f(x)是定義在[-5,5]上的奇函數(shù),f(x)在[0,5]上單調(diào),且f(-4)A.f(4)[素養(yǎng)小結(jié)]
利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較大小時(shí),當(dāng)自變量在同一單調(diào)區(qū)間上時(shí),直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小;當(dāng)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間上時(shí),需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,然后利用單調(diào)性比較大小.
◆ 探究點(diǎn)四　函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性的判斷
例4 已知函數(shù)g(x)=,證明:函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,-4)對(duì)稱(chēng).
變式 (多選題)已知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對(duì)稱(chēng)的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是 (　 )
A.f(x)=x3-3x2的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱(chēng)
B.若f(x+1)+f(1-x)=2,則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)
C.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)的充要條件是y=f(x+a)為偶函數(shù)
D.若f(x)=x2-2x+5,則y=f(x-1)為偶函數(shù)
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)要證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=h對(duì)稱(chēng),只需證明對(duì)定義域內(nèi)的任意x,都有f(h-x)=f(h+x).
(2)要證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng),只需證明對(duì)定義域內(nèi)的任意x,都有f(a+x)+f(a-x)=2b.
拓展 若定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=-x+,則f(π)= (　 )
A.-π B.-π
C.π- D.π-
第2課時(shí)　函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　解:(1)當(dāng)x>0時(shí),-x<0,所以f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1.
因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x),
所以當(dāng)x>0時(shí),-f(x)=x2+x+1,
即f(x)=-x2-x-1.
故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=
(2)∵y=f(x)-x2-3為奇函數(shù),
∴f(-x)-(-x)2-3=-f(x)+x2+3,
∴f(x)+f(-x)=2x2+6①.
∵y=f(x)+2x為偶函數(shù),∴f(-x)-2x=f(x)+2x,
∴f(x)-f(-x)=-4x②.
由①+②,得2f(x)=2x2-4x+6,∴f(x)=x2-2x+3.
變式　(1)A　[解析] 根據(jù)題意,由f(x)+g(x)=x2-x+1①,得f(-x)+g(-x)=x2+x+1,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以-f(x)+g(x)=x2+x+1②.由①-②得2f(x)=-2x,所以f(x)=-x,則f(2)=-2.故選A.
(2)解:當(dāng)x>0時(shí),-x<0,所以f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1.
因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),
所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+x+1.
探究點(diǎn)二
例2　解:因?yàn)閷?duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)在R上為減函數(shù).由f(2x)>f(x-1),得2x變式　C　[解析] 因?yàn)閒(x)是定義在[-4,2b]上的偶函數(shù),所以-4+2b=0,解得b=2,所以f(x)的定義域?yàn)閇-4,4],又因?yàn)閒(x)在[-4,0]上單調(diào)遞增,所以f(x)在[0,4]上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(x+1)≤f(-1),所以f(|x+1|)≤f(|-1|),所以解得-5≤x≤-2或0≤x≤3,所以f(x+1)≤f(-1)的解集為[-5,-2]∪[0,3].故選C.
探究點(diǎn)三
例3　C　[解析] 由題意得,對(duì)任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以f(1)>f(2)>f(3).又f(x)是偶函數(shù),所以f(-2)=f(2),所以f(1)>f(-2)>f(3),故選C.
變式　BCD　[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在[-5,5]上的奇函數(shù),所以f(-4)=-f(4),f(-2)=-f(2),因?yàn)閒(-4)f(2),故A錯(cuò)誤;因?yàn)閒(x)在[0,5]上單調(diào),f(4)>f(2),所以f(x)在[0,5]上單調(diào)遞增,所以f(x)在[-5,5]上單調(diào)遞增,所以f(2)探究點(diǎn)四
例4　證明:∵g(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
∴g(4-x)==,
∴g(x)+g(4-x)=+==-8.
即對(duì)任意的x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
都有g(shù)(x)+g(4-x)=-8成立,
∴函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,-4) 對(duì)稱(chēng).
變式　BC　[解析] 由題意知,若函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù),則f(x+a)-b=-f(-x+a)+b,則f(x+a)+f(-x+a)=2b.對(duì)于A,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),a=1,b=2,則f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x+1-3)+(-x+1)2(-x+1-3)=-4≠2b=4,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由f(x+1)+f(1-x)=2,得f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0,設(shè)F(x)=f(x+1)-1,則F(x)+F(-x)=0,所以F(x)是奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng),故B正確;對(duì)于C,若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng),則f(x)=f(2a-x),令x=t+a,則f(t+a)=f(a-t),用x替換t,則f(x+a)=f(a-x),故y=f(x+a)是偶函數(shù),若y=f(x+a)是偶函數(shù),則f(x+a)=f(-x+a),令h=x+a,則f(h)=f(2a-h),故函數(shù)y=f(h)的圖象關(guān)于直線h=a對(duì)稱(chēng),用x替換h,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng),故C正確;對(duì)于D,因?yàn)閒(x-1)=x2-4x+8,f(-x-1)=x2+4x+8,所以f(x-1)≠f(-x-1),所以y=f(x-1)不是偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選BC.
拓展　D　[解析] ∵f(x)是偶函數(shù),且其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴f(x)=f(-x),f(1-x)=-f(x),∴f(1-x)=-f(-x),∴f(x+1)=-f(x),則f(x+2)=-f(x+1)=f(x).又當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=-x+,∴f(π)=f(π-2+2)=f(π-2)=f(π-4+2)=f(π-4)=f(4-π)=-(4-π)+=π-.故選D.

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