資源簡介

4.2　簡單冪函數的圖象和性質
【學習目標】
1.掌握冪函數的概念和定義.
2.學會使用函數的知識自主分析、研究指數不同時冪函數的圖象和性質的不同情況,學會從函數的定義域、奇偶性、單調性等方面入手分析冪函數的性質,掌握探究函數性質的一般方法和步驟.
3.通過自主探究冪函數的圖象和性質,培養知識的應用能力,提高數學運算和邏輯推理的核心素養.
◆ 知識點　冪函數
1.冪函數的定義:一般地,形如　　　　(α為常數)的函數,即底數是自變量、指數是常數的函數稱為冪函數.
2.簡單冪函數的圖象和性質
(1)在(0,+∞)上都有意義,圖象都過點　　　　.
(2)當α>0時,圖象都過原點,并且在(0,+∞)上　　　　;當α=0時,圖象是除去點(0,1)的直線y=1;當α<0時,圖象都不過原點,并且在(0,+∞)上　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=-x2是冪函數. (　 )
(2)函數y=x-1是冪函數. (　 )
(3)冪函數的圖象都過點(0,0)和點(1,1). (　 )
(4)若冪函數的圖象與坐標軸相交,則交點一定是原點. (　 )
(5)當n<0時,冪函數y=xn是定義域上的減函數. (　 )
◆ 探究點一　冪函數的定義　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)[2024·遼寧阜新高級中學高一月考] 現有下列函數:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中冪函數的個數為 (　 )
A.4 B.3 C.2 D.1
(2)已知函數f(x)=(m2-m-1)是冪函數,則實數m= (　 )
A.2或-1 B.-1
C.4 D.2
[素養小結]
在利用冪函數的定義解題時要特別注意,冪函數y=xα的系數必須是1,且沒有其他項.
◆ 探究點二　冪函數的圖象的認識
例2 已知函數①y=xa,②y=xb,③y=xc,④y=xd的大致圖象如圖所示,
則有理數a,b,c,d的大小關系為 (　 )
A.dB.aC.bD.a變式 已知冪函數f(x)的圖象過點,則f(x)的大致圖象為 (　 )
A B C D
[素養小結]
(1)依據圖象高低判斷冪函數的指數大小,相關結論為:①在(0,1)上,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低);②在(1,+∞)上,指數越大,冪函數圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高).
(2)依據圖象確定冪函數的指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=或y=x3的圖象)來判斷.
◆ 探究點三　冪函數性質的應用
例3 (1)已知冪函數y=(p∈Z)的圖象關于y軸對稱,如圖所示,則 (　 )
A.p為奇數,且p>0
B.p為奇數,且p<0
C.p為偶數,且p>0
D.p為偶數,且p<0
(2)比較下列各題中兩個值的大小.
①2.,2.;
②(,(.
變式 (1)已知a=,b=1.,c=,則a,b,c的大小關系為 (　 )
A.cC.a(2)若冪函數f(x)的圖象過點,則f(x)在[1,3]上的最大值為 (　 )
A. B.-1
C.1 D.-3
(3)已知冪函數f(x)=m滿足f(3-a)>f(a),則實數a的取值范圍是　　　　.
[素養小結]
1.比較冪函數的函數值大小的方法:
(1)若指數相同,則利用冪函數的單調性比較大小.
(2)若指數不同,則可采用中介值法,如先與0比較大小,若都大于0,再與1比較,直到比較出所有數的大小.若中介值法不行則要采用估值法,判斷各數的范圍,進而比較出各數的大小.
2.利用冪函數的性質解不等式,應借助相應的冪函數的單調性和奇偶性,將不等式轉化為自變量的大小關系來求解.
4.2　簡單冪函數的圖象和性質
【課前預習】
知識點
1.y=xα　2.(1)(1,1)　(2)單調遞增　單調遞減
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　[解析] (1)根據冪函數的定義可知,y=-x2不是冪函數.
(2)根據冪函數的定義可知,y=x-1是冪函數.
(3)只有當α>0時,冪函數y=xα的圖象才同時過點(0,0)和點(1,1).
(4)由冪函數的定義及圖象知,對于冪函數y=xα(α為常數),當α>0時,該函數的圖象與坐標軸相交于原點,當α≤0時,該函數的圖象與坐標軸不相交.
(5)如函數y=x-1在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是減函數.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)A　[解析] (1)冪函數的一般表達式為y=xα(α為常數),逐一對比可知題中的冪函數有①y=x3,⑤y=x,共2個.故選C.
(2)由冪函數的定義知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.故選A.
探究點二
例2　B　[解析] 根據冪函數的圖象可知,a<0,b>c>1,0變式　B　[解析] 因為函數f(x)為冪函數,所以設f(x)=xa,由f(2)=2a=,可得a=-2,所以f(x)=x-2=,則x≠0,所以函數f(x)的定義域為{x|x≠0},排除A,C,D,故選B.
探究點三
例3　(1)D　[解析] 因為函數y=(p∈Z)的圖象關于y軸對稱,所以函數y=為偶函數,即p為偶數.由題圖知函數y=的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上單調遞減,則有<0,所以p<0.故選D.
(2)解:①因為y=為[0,+∞)上的增函數,且2.3<2.4,
所以2.<2..
②因為y=為(0,+∞)上的減函數,且<,
所以(>(.
變式　(1)A　(2)C　(3)　[解析] (1)因為a=,b=,c=,且y=在[0,+∞)上單調遞增,>>>0,所以>>,即b>a>c.故選A.
(2)設冪函數f(x)=xα,將代入,得(-2)α=-,解得α=-1,則f(x)=x-1,它在[1,3]上單調遞減,故f(x)在[1,3]上的最大值為f(1)=1.故選C.
(3)因為f(x)=m為冪函數,所以m=1,則f(x)=,故f(x)的定義域為[0,+∞),且在定義域上為增函數.由f(3-a)>f(a),可得解得0≤a<,故a的取值范圍為.

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