資源簡介

§4　函數的奇偶性與簡單的冪函數
4.1　函數的奇偶性
第1課時　函數的奇偶性
【學習目標】
1.理解、掌握函數奇偶性的概念與圖象特征.
2.能夠根據定義和圖象判斷簡單函數的奇偶性.
3.能夠應用定義證明和解決與函數的奇偶性有關的問題.
4.通過函數奇偶性概念的學習和簡單的應用,體會數形結合、化歸與轉化等基本的數學思想方法,提高數學運算和直觀想象能力.
◆ 知識點　函數的奇偶性
1.奇偶性的定義
(1)奇函數定義:一般地,設函數f(x)的定義域是D,如果對任意的x∈D,有-x∈D,且　　　　　　,那么稱函數f(x)為奇函數.
(2)偶函數定義:一般地,設函數f(x)的定義域是D,如果對任意的x∈D,有-x∈D,且　　　　　　,那么稱函數f(x)為偶函數.
2.奇、偶函數的圖象特征
(1)f(x)為奇函數 f(x)的圖象關于原點對稱.
(2)f(x)為偶函數 f(x)的圖象關于y軸對稱.
(3)在x=0處有定義的奇函數f(x)的圖象必過原點,即f(0)=0.
【診斷分析】 若對定義域內的任意x都有f(-x)+f(x)=0或=-1(f(x)≠0),則函數f(x)是不是奇函數
◆ 探究點一　函數奇偶性的判斷
例1 判斷下列函數的奇偶性:
(1)m(x)=x2+;
(2)f(x)=;
(3)g(x)=
變式 (1)若f(x)是定義在R上的函數,則下列函數中一定是偶函數的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=|f(x)| B.y=f(|x|)
C.y= D.y=f(-x)-f(x)
(2)判斷下列函數的奇偶性:
①m(x)=x|x|;②h(x)=(x>0);
③g(x)=;④f(x)=+.
[素養小結]
函數奇偶性的判斷方法有多種,但不管采用哪種方法,都應先求出函數的定義域,觀察其定義域是否關于原點對稱,若定義域關于原點對稱,再判斷f(x)與f(-x)的關系,否則既不是奇函數也不是偶函數.
拓展 (多選題)已知函數f(x)的定義域為R,對任意的x,y∈R,都有f(xy)=x2f(y)+y2f(x)成立,則 (　 )
A.f(0)=0 B.f(-1)=0
C.f(x)是奇函數 D.f(x)是偶函數
◆ 探究點二　奇、偶函數圖象的應用
例2 已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,且當x≤0時,f(x)=x2+2x.現已畫出函數f(x)在y軸左側的圖象,如圖所示.
(1)請補出函數f(x)在y軸右側的圖象;
(2)根據圖象寫出函數f(x)的單調遞增區間;
(3)根據圖象寫出使f(x)<0的x的取值范圍.
變式 若將例2中的“偶函數”改為“奇函數”,其他條件不變,如何解答本題
[素養小結]
利用奇偶性作函數圖象,可先確定函數的奇偶性,作出函數在[0,+∞)(或(-∞,0])上的圖象,再根據奇(偶)函數的圖象關于原點(y軸)對稱作出函數在(-∞,0](或[0,+∞))上的圖象.
拓展 已知f(x)是定義在[-2,0)∪(0,2]上的奇函數,當x>0時,f(x)的圖象如圖所示,那么f(x)的值域是　　　　　　.
◆ 探究點三　利用函數奇偶性求值
[提問] 若函數f(x)為奇函數,且f(2)=1,則f(-2)=　　　　.
例3 (1)設函數f(x)=為奇函數,則實數a= (　 )
A.-1 B.1
C.0 D.-2
(2)已知函數f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,那么f(2)=　　　　.
變式 (1)已知f(x)是定義在[m-5,3-2m]上的奇函數,當x>0時,f(x)=x2+2x,則f(m)的值為 (　 )
A.8 B.0 C.-8 D.4
(2)已知函數f(x)=為奇函數,則a+b=　　　　.
(3)已知函數f(x)=ax3+bx-+2,若f(2023)=6,則f(-2023)=　　　　.
[素養小結]
(1)已知函數的奇偶性求函數值:利用奇偶性將待求值轉化為已知區間上的函數值求解.
(2)已知函數的奇偶性,求函數解析式中參數的值時常常利用待定系數法,利用f(x)±f(-x)=0得到關于待求參數的恒等式,由系數的對等性求得參數的值.
拓展 已知函數y=f(x)+x是偶函數,且f(2)=1,則f(-2)= (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
§4　函數的奇偶性與簡單的冪函數
4.1　函數的奇偶性
第1課時　函數的奇偶性
【課前預習】
知識點
1.(1)f(-x)=-f(x)　(2)f(-x)=f(x)
診斷分析
解:根據奇函數的定義知,滿足這兩種關系的函數都是奇函數.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)函數m(x)的定義域為[0,+∞),不關于原點對稱,故該函數不具有奇偶性.
(2)易知函數f(x)=的定義域為[-1,0)∪(0,1],則|x+2|-2=x,所以f(x)=,
因為f(-x)=-=-f(x),所以f(x)為奇函數.
(3)畫出函數g(x)的圖象如圖所示,
由于g(x)的圖象關于原點對稱,所以函數g(x)為奇函數.
變式　(1)B　[解析] 對于A,f(x)的奇偶性不確定,因此f(-x)與f(x)的關系不確定,則|f(-x)|與|f(x)|的關系不確定,故A錯誤;對于B,由題意知,函數f(x)的定義域為R,且f(|-x|)=f(|x|),則y=f(|x|)為偶函數,故B正確;對于C,f(x)的奇偶性不確定,因此與的關系不確定,故C錯誤;對于D,因為f(x)的定義域為R,且f(x)-f(-x)=-[f(-x)-f(x)],所以y=f(-x)-f(x)是奇函數,故D錯誤.故選B.
(2)解:①m(x)=x|x|的定義域為R,關于原點對稱,m(-x)=-x|-x|=-x|x|=-m(x),則m(x)為奇函數.
②h(x)=(x>0)的定義域不關于原點對稱,故h(x)既不是奇函數,也不是偶函數.
③因為g(x)=的定義域為R,關于原點對稱,
g(-x)===g(x),所以g(x)為偶函數.
④因為f(x)=+,
所以解得x=±1,則f(x)的定義域為{-1,1},關于原點對稱,
又f(x)=0,所以f(-x)=±f(x),
所以f(x)既為偶函數也為奇函數.
拓展　ABD　[解析] 令x=y=0,則f(0)=0,A正確;令x=y=1,則f(1)=2f(1),即f(1)=0,令x=y=-1,則f(1)=2f(-1),即f(-1)=0,B正確;令y=-1,則f(-x)=x2f(-1)+f(x)=f(x),故f(x)是偶函數,C錯誤,D正確.故選ABD.
探究點二
例2　解:(1)由題意作出函數f(x)的圖象如圖.
(2)由圖可知,f(x)的單調遞增區間為[-1,0],[1,+∞).
(3)由圖可知,使f(x)<0的x的取值范圍為(-2,0)∪(0,2).
變式　解:(1)由題意作出函數f(x)的圖象如圖.
(2)由圖可知,f(x)的單調遞增區間為[-1,1].
(3)由圖可知,使f(x)<0的x的取值范圍為(-2,0)∪(2,+∞).
拓展　[-3,-2)∪(2,3]　[解析] 利用奇函數圖象的性質可以作出函數f(x)在[-2,0)上的圖象,如圖所示,利用圖象得到函數f(x)的值域為[-3,-2)∪(2,3].
　　　　　　　探究點三
提問 -1
例3　(1)A　(2)6　[解析] (1)∵函數f(x)=為奇函數,∴在定義域內,f(-x)+f(x)=+=0恒成立,整理得(a+1)x=0恒成立,∴a+1=0,解得a=-1.
(2)設h(x)=f(x)-8,則h(x)=x5+ax3+bx(x∈R),因為h(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-x5-ax3-bx=-h(x),所以h(x)為奇函數,則f(2)=h(2)+8=-h(-2)+8=-f(-2)+8+8=6.
變式　(1)C　(2)-1　(3)-2　[解析] (1)因為f(x)是定義在[m-5,3-2m]上的奇函數,所以m-5+3-2m=0,解得m=-2,所以f(m)=f(-2)=-f(2)=-8.故選C.
(2)f(x)=的定義域為{x|x≠1且x≠a},因為函數f(x)=為奇函數,所以其定義域關于原點對稱,所以a=-1,則f(x)==.由f(-x)=-f(x),即==-,解得b=0,所以a+b=-1.
(3)設g(x)=ax3+bx-,則函數g(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),g(-x)=-ax3-bx+=-g(x),所以函數g(x)為奇函數.因為f(2023)=g(2023)+2=6,所以g(2023)=4,所以f(-2023)=g(-2023)+2=-g(2023)+2=-4+2=-2.
拓展　D　[解析] 設g(x)=f(x)+x,∵函數g(x)=f(x)+x是偶函數,∴g(-x)=g(x),即f(-x)-x=f(x)+x.令x=2,則f(-2)-2=f(2)+2=1+2=3,∴f(-2)=3+2=5.

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