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第三章　指數運算與指數函數
§1　指數冪的拓展
【學習目標】
1.理解分數指數冪的概念,會進行分數指數冪與根式的互化.
2.了解無理數指數冪的概念,了解無理數指數冪可以用有理數指數冪逼近得到的思想方法.
3.通過指數冪的拓展的學習,培養邏輯推理的核心素養;通過分數指數冪與根式的互化,培養數學運算的核心素養.
◆ 知識點一　分數指數冪
1.正分數指數冪的定義:給定正數a和正整數m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正數b,使得bn=am,則稱b為a的次冪,記作b=　　　　,這就是正分數指數冪.
2.負分數指數冪的定義:給定正數a和正整數m,n(n>1,且m,n互素),定義==.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)=. (　 )
(2)若(1-2x有意義,則x≠. (　 )
(3)分數指數冪(a>0)可以理解為個a相乘. (　 )
2.根式(n∈N+)一定有意義嗎
◆ 知識點二　無理數指數冪
　 無理數指數冪aα(a>0,α是無理數)是一個確定的正實數.至此,指數冪aα中指數的取值范圍擴充為R.
◆ 探究點一　根式與分數指數冪
例1 (1)(多選題)下列各式中,根式化成分數指數冪的形式正確的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.=(a>0)
B.==(a>0)
C.=y3(y>0)
D.=a3(a>0)
(2)將-(x>0)表示為根式的形式為　　　　.
變式 (多選題)[2024·四川南充高級中學高一月考] 已知xy≠0,且=-3xy2,則下列不等關系可能成立的是 (　 )
A.x>0,y>0
B.x<0,y<0
C.x>0,y<0
D.x<0,y>0
[素養小結]
(1)根式與分數指數冪互化的規律:根指數指數位置分數的分母,被開方數(式)的指數指數位置分數的分子.
(2)在具體計算時,通常會把根式轉化成分數指數冪的形式,然后利用有理數指數冪的運算性質解題.
◆ 探究點二　化簡、求值
例2 化簡:
(1);
(2)(x(3)-,x∈(-3,1).
變式 (1)(多選題)下列各式的值相等的是 (　 )
A.-和 B.和 C.和 D.和
(2)計算:--8×(-)0+.
[素養小結]
(1)解決根式的化簡或求值問題,首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式,然后運用根式的性質進行化簡或求值.
(2)開偶次方時,先用絕對值表示開方的結果,再去掉絕對值符號化簡,化簡時要結合條件或分類討論.
拓展 化簡:+.
第三章　指數運算與指數函數
§1　指數冪的拓展
【課前預習】
知識點一
1.
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)=.
(2)根據分數指數冪的定義知,要使(1-2x有意義,應滿足1-2x>0,即x<.
(3)分數指數冪不可以理解為個a相乘,其實質是一個數.
2.解:①若n為奇數,則對任意的實數a,都有意義;
②若n為偶數,則當a≥0時,才有意義,當a<0時,沒有意義.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)ABD　(2)-　[解析] (1)==(y>0),C錯誤,易知A,B,D正確.故選ABD.
(2)由分數指數冪的意義可知,-=-.
變式　BD　[解析] 因為=3|x|·y2,且=-3xy2,所以3|x|·y2=-3xy2,故x<0,又xy≠0,所以y>0或y<0.故選BD.
探究點二
例2　解:(1)=-0.1.
(2)因為x(3)因為-3變式　(1)BC　[解析] 對于A,===,不符合題意;對于B,=,符合題意;對于C,===,符合題意;對于D,==,=23=8,不符合題意.故選BC.
(2)解:原式=(100-1-(-1)-8+(23=10-+1-8+=10+1-8=3.
拓展　解:原式=+
=+=
|-|+|+|=2.

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