資源簡介

§3　指數函數
3.1　指數函數的概念
3.2　指數函數的圖象和性質
第1課時　指數函數y=ax(a>1)的圖象和性質
【學習目標】
1.掌握指數函數的定義,會畫指數函數的圖象,掌握指數函數的性質,并會簡單應用.
2.通過作出函數的圖象,觀察,歸納出函數所具有的性質,提高觀察、歸納的能力.
3.會利用指數函數的圖象與性質解決比較大小、求定義域、作圖等問題.
4.進一步了解學習一種新函數的方法.
◆ 知識點一　指數函數的概念
一般地,　　　　(a>0,且a≠1)是一個定義在實數集上的函數,稱為指數函數,其中x是自變量,函數的定義域是　　　　.
特別提醒:
(1)規定y=ax中a>0,且a≠1的理由:
①當a≤0時,ax可能無意義;②當a>0時,x可以取任何實數;③當a=1時,ax=1(x∈R),無研究價值.因此規定y=ax中a>0,且a≠1.
(2)要注意指數函數的解析式:①底數是大于0且不等于1的常數;②指數函數的自變量必須位于指數的位置上;③ax的系數必須為1;④指數函數等號右邊不會是多項式,如y=2x+1不是指數函數.
【診斷分析】 下列所給函數是指數函數的在括號里打“√”,不是指數函數的在括號里打“×”.
(1)y=2×3x. (　 )
(2)y=. (　 )
(3)y=0.2x+1. (　 )
◆ 知識點二　指數函數y=ax(a>1)的圖象和性質
函數 y=ax(a>1)
圖象
(續表)
函數 y=ax(a>1)
性質 定義域 R
值域 y∈(0,+∞),當x>0時,　　　;當x=0時,y=1;當x<0時,　　　　
過定點 　　　
單調性 在定義域R上為　　函數
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)指數函數的值域為[0,+∞). (　 )
(2)在x軸上方任取一點,一定能確定過此點的圖象所對應的指數函數. (　 )
(3)指數函數y=2x與y=3x的單調性一致. (　 )
2.函數y=2x(x∈N*)的圖象與y=2x的圖象一致嗎
◆ 知識點三　指數函數y=ax與y=bx(a>b>1)的特點
如圖.
(1)當x<0時,0(2)當x=0時,ax=bx=1;
(3)當x>0時,ax>bx>1.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)指數函數y=ax(a>1)與y=bx(b>1)的圖象在第一象限內具有的性質為:圖象在上面的底數較大. (　 )
(2)3x>2x. (　 )
◆ 探究點一　指數函數的概念
例1 (1)(多選題)下列各函數中,是指數函數的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=(-3)x B.y=3x
C.y=3x-1 D.y=
(2)(多選題)[2024·江西新余六中高一期中] 若函數f(x)=(m2+2m-2)ax(a>0且a≠1)是指數函數,則實數m的值可能為 (　 )
A.-3 B.1
C.-1 D.-2
(3)已知指數函數y=(2a-1)x,則實數a的取值范圍是　　　　　　.
變式 (1)函數y=(a2-4a+4)ax是指數函數,則a的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1或3 B.1
C.3 D.4
(2)已知指數函數f(x)的圖象經過點,則f(-1)=　　　　,f(3)=　　　　.
[素養小結]
利用指數函數y=ax的概念判斷一個函數是否是指數函數時,必須滿足以下條件:(1)自變量是指數x,且指數位置只能有x這一項;(2)底數a只能有一項,且其系數必須為1;(3)底數a的取值范圍是a>0且a≠1.
◆ 探究點二　指數函數的圖象變換
例2 (1)函數f(x)=ax-4+3(a>1)的圖象恒過的定點的坐標為　　　　.
(2)若直線y=a與函數y=|2x-1|的圖象有兩個公共點,則a的取值范圍是　　　　.
變式 (1)若函數y=2x+1+m的圖象不經過第二象限,則實數m的取值范圍是 (　 )
A.m≤-1 B.m>-1
C.m≤-2 D.m>-2
(2)若函數f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,且f(-1)=0,則實數a,b的值分別可能為 (　 )
A.3,-3
B.,-
C.2,-
D.,-2
[素養小結]
常見的指數函數圖象的變換如下(以下a>0且a≠1):
拓展 函數y=a|x|(a>1)的大致圖象是 (　 )
◆ 探究點三　指數函數y=ax(a>1)的性質及其應用
角度1　比較大小
例3 設a=1.42,b=21.1,c=80.4,則 (　 )
A.a變式 已知a=(2)2,b=,c=2π,則a,b,c的大小關系為 (　 )
A.aC.b[素養小結]
同底數冪比較大小時可以構造指數函數,根據其單調性比較.能化成同底數冪的先化成同底數冪,再比較;當底數不同時可以借助圖象,利用圖象之間的關系比較.
角度2　解不等式
例4 (1)若x滿足不等式≤,則x的取值范圍是　　　　.
(2)[2024·江西贛州中學高一期中] 若2<<8,則實數x的取值范圍是 (　 )
A.(-4,-2)
B.(-2,2)
C.(-∞,-4)∪(-2,+∞)
D.(0,2)
變式 (1)使不等式23x-1>2成立的x的取值范圍為 (　 )
A. B.(1,+∞)
C. D.
(2)已知0.2x<25,則實數x的取值范圍是　　　　.
[素養小結]
解指數不等式時,可先將底數不同的表達式化為同底數的形式,底數統一后直接利用指數函數的單調性轉化為一元一次或一元二次不等式求解.
§3　指數函數
3.1　指數函數的概念
3.2　指數函數的圖象和性質
第1課時　指數函數y=ax(a>1)的圖象和性質
【課前預習】
知識點一
y=ax　R
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)中3x的系數是2,而不是1,故(1)不是指數函數;(2)中指數是x+1,而不是自變量x,故(2)不是指數函數;(3)中等號右邊不是單獨的一項,故(3)不是指數函數.
知識點二
y>1　0診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)指數函數的值域為(0,+∞),故錯誤.
(2)若取的點在y軸的正半軸上且不是點(0,1),則沒有指數函數的圖象過此點.故錯誤.
(3)兩個指數函數均為增函數,故正確.
2.解:不一致,函數y=2x(x∈N*)的圖象僅是指數函數y=2x的圖象上橫坐標為正整數的一些孤立的點.
知識點三
診斷分析
(1)√　(2)×　[解析] (1)正確.可令x=1,即可判斷出大小.(2)當x>0時,3x>2x;當x=0時,3x=2x;當x<0時,3x<2x.故錯誤.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)BD　(2)AB　(3)a>且a≠1　[解析] (1)根據指數函數的定義判斷可知B,D符合題意.故選BD.
(2)因為函數f(x)=(m2+2m-2)ax是指數函數,所以m2+2m-2=1,解得m=1或m=-3.故選AB.
(3)根據指數函數的定義知,底數要大于0且不等于1,所以解得a>且a≠1.
變式　(1)C　(2)　64　[解析] (1)由已知得即解得a=3.故選C.
(2)設f(x)=ax(a>0,且a≠1),將代入f(x)=ax,得=a-2,得a=4,即函數f(x)=4x,所以f(-1)=,f(3)=64.
探究點二
例2　(1)(4,4)　(2)(0,1)　[解析] (1)令x-4=0,得x=4,所以f(4)=a0+3=4,所以函數f(x)=ax-4+3(a>1)的圖象恒過定點(4,4).
(2)y=|2x-1|的圖象可由指數函數y=2x的圖象向下平移1個單位長度,再將x軸下方的部分向上翻折而得到,作出y=|2x-1|的圖象和直線y=a,如圖,由圖可知,a∈(0,1).
變式　(1)C　(2)C　[解析] (1)將函數y=2x的圖象至少向下平移1個單位長度時,所得圖象不經過第二象限,則1+m≤-1,得m≤-2,故選C.
(2)由函數f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的圖象,可得函數f(x)為增函數,所以a>1.由f(-1)=0,可得a-1+b=0,可得ab=-1,結合選項知,只有C符合.故選C.
拓展　B　[解析] y=a|x|=則y=a|x|(a>1)在[0,+∞)上的圖象與指數函數y=ax(a>1)在[0,+∞)上的圖象相同,且y=a-x(x<0)的圖象與y=ax(x>0)的圖象關于y軸對稱,故選B.
探究點三
例3　A　[解析] a=1.42,b=21.1=(20.55)2,c=80.4=21.2=(20.6)2,因為y=2x是R上的增函數,所以1.4<=20.5<20.55<20.6,又y=x2在(0,+∞)上單調遞增,所以a變式　B　[解析] a=(2)2=8=23,b==,因為2<3<π,y=2x為R上的增函數,所以<23<2π,即b例4　(1)[-3,1]　(2)A　[解析] (1)由≤可得≤=3-2(x-2),因為y=3x在R上是增函數,所以x2+1≤-2x+4,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,所以x的取值范圍是[-3,1].
(2)由2<<8,得21<2-(x+1)<23,又y=2x在R上是增函數,所以1<-x-1<3,即-4變式　(1)A　(2)(-2,+∞)　[解析] (1)由23x-1>2,得3x-1>1,∴x>,∴使不等式23x-1>2成立的x的取值范圍為.故選A.
(2)因為0.2x=5-x,所以原不等式等價于5-x<52,由此可得-x<2,即x>-2,故實數x的取值范圍為(-2,+∞).

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